Phénomènes d'induction/Exercices/Induction mutuelle, induction propre
{Solénoïde, Spire}
modifierSoit un solénoïde infiniment long, de rayon R, d'axe (Oz) comportant n spires par unité de longueur, chacune étant parcourue par un courant d'intensité I orientée en concordance avec .
Soit une spire carrée de côté a>2R, d'axe (Oz), parcourue par une intensité i orientée en accord avec .
- Calculer le coefficient d'induction propre d'une longueur λ de solénoïde.
- Calculer le coefficient d'induction mutuelle du système {solénoïde, spire}.
- Calculer le coefficient d'induction propre d'une longueur λ de solénoïde.
- Dans le solénoïde, il règne un champ
- Le flux de à travers une spire Σ orientée en concordance avec vaut
- Par définition, le flux Φ à travers une longueur λ de solénoïde vaut Φ = I L. Or, Φ = λ n ΦΣ
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- Calculer le coefficient d'induction mutuelle du système {solénoïde, spire}.
- On note Σ la surface de la spire carrée, orientée en concordance avec i
- Par définition,
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{Fil,Tore}
modifierSoit un fil rectiligne infiniment long, concordant avec (Oz), parcouru par une intensité I.
Soit le tore de centre O engendré par la rotation autour du fil d'un carré de côtés parallèles ou orthogonaux à l'axe, de longueur a, le côté le plus proche étant situé à la distance a de l'axe. Sur le tore sont bobinées N spires parcourues par une intensité i orientée en concordance avec le vecteur de la base cylindrique.
- Calculer le champ magnétique créé par le fil en tout point de l'espace.
- Calculer le coefficient d'induction propre du tore.
- Calculer le coefficient d'induction mutuelle du système {fil, tore}.
1. Calculer le champ magnétique créé par le fil en tout point de l'espace.
En un point M de l'espace séparé de (Oz) d'une distance r, le champ magnétostatique engendré par le fil vaut |
Voir le cours de magnétostatique pour avoir le détail du calcul.
2. Calculer le coefficient d'induction propre du tore.
La résolution de cette question se fait en plusieurs étapes :
- Calcul du champ engendré par le tore en tout point intérieur au tore
- Calcul du flux de à travers le tore
- Écriture de la définition de L pour trouver son expression littérale
- Calcul du champ engendré par le tore en tout point intérieur au tore
On se place en coordonnées cylindriques.
- Le plan (MOz) est plan de symétrie du système donc
- À l'intérieur du tore, le champ ne dépend pas de z donc
- Le système est de révolution autour de (Oz), donc les lignes du champ magnétique sont des cercles :
On utilise alors le théorème d'Ampère pour trouver l’expression de :
- On choisit pour contour d'Ampère un cercle Γ centré sur (Oz), orienté en concordance avec , de rayon
- On applique le théorème d'Ampère :
Donc tant que |
- Calcul du flux de à travers le tore :
On note la surface d'une spire du tore, orientée en concordance avec i. Le flux de à travers Σ vaut :
Le tore est en réalité composé de N spires.
Le flux de à travers le tore vaut |
- Expression de L :
Par définition de L : Φ=iL.
Finalement |
- 3. Calculer le coefficient d'induction mutuelle du système {fil, tore}.
Par définition, le coefficient d'induction mutuelle est tel que . Il suffit de calculer .
On note la surface d'une spire du tore, orientée en concordance avec i. Le flux de à travers Σ vaut :
Le tore est en réalité composé de N spires :
Finalement |
Les deux inductances diffèrent d'un facteur N.