Polynôme/Racines d’un polynôme
Déterminer les racines de revient donc à résoudre l'équation dans le corps . Par exemple, les racines de sont dans , alors qu’elles n'existent pas dans . Enfin, dans , ce polynôme n'a qu'une racine qui est 1.
Un des principaux intérêts de déterminer les racines d'un polynôme est de permettre sa factorisation, grâce à la propriété suivante :
Soit .
- est une racine de si, et seulement si, divise .
- sont des racines de si, et seulement si, divise .
- On effectue la division euclidienne de par :
.
On évalue en (c'est-à-dire "on remplace par ") :mais comme est constant, on a donc . - On montre facilement que les sont deux à deux premiers entre eux, puisque les sont distincts (par exemple avec une relation de Bézout : ). Le premier point permet alors de conclure.
On en déduit ce corollaire souvent utile :
- Tout polynôme non nul de degré admet au plus racines.
Cela équivaut à :
- Si un polynôme de degré au plus a au moins racines, alors ce polynôme est nul.
Nous admettrons le théorème suivant (souvent appelé « théorème fondamental de l'algèbre » mais qu'on ne peut démontrer qu'en passant par l'analyse). Sa formulation nécessite une définition préalable.
Un polynôme est dit scindé sur s'il est de la forme avec (non nécessairement distincts) et .
Ce théorème n’est pas vrai si on remplace par d'autres corps (voyez l'exemple ci-dessus). On dit que est un corps algébriquement clos.
Soit un polynôme non nul à coefficients dans et soit une racine de .
- On dit que est une racine de multiplicité si divise mais ne divise pas , ou encore : si divise mais n'est pas racine du polynôme quotient .
- Si est une racine de multiplicité au moins égale à 2, on parle de racine multiple.
L'ordre de multiplicité se caractérise par la propriété suivante :
On suppose ici que le corps est de caractéristique nulle, c'est-à-dire qu'il contient . Alors, est une racine de de multiplicité si et seulement si :
- et .
- :
Si et , alors par récurrence, on peut montrer qu’il existe des polynômes pour entre et tels que :
et
En effet, c’est évident pour , et si c’est vrai pour , alors :
.
On trouve alors la formule de récurrence :
Ainsi, on trouve bien et .
- :
Il suffit d’utiliser la formule de Taylor pour les polynômes :
.
La factorisation par est alors évidente.
Pour une recherche effective des racines d'un polynôme, on pourra consulter les leçons suivantes