Polynôme/Racines d’un polynôme
Déterminer les racines de revient donc à résoudre l'équation dans le corps . Par exemple, les racines de sont dans , alors qu’elles n'existent pas dans . Enfin, dans , ce polynôme n'a qu'une racine qui est 1.
Un des principaux intérêts de déterminer les racines d'un polynôme est de permettre sa factorisation, grâce à la propriété suivante :
Soit .
- est une racine de si, et seulement si, divise .
- sont des racines de si, et seulement si, divise .
- On effectue la division euclidienne de par :
.
On évalue en (c'est-à-dire "on remplace par ") :mais comme est constant, on a donc . - On montre facilement que les sont deux à deux premiers entre eux, puisque les sont distincts (par exemple avec une relation de Bézout : ). Le premier point permet alors de conclure.
On en déduit ce corollaire souvent utile :
Cela équivaut à :
- Si un polynôme de degré au plus a au moins racines, alors ce polynôme est nul.
Nous admettrons le théorème suivant (souvent appelé « théorème fondamental de l'algèbre » mais qu'on ne peut démontrer qu'en passant par l'analyse). Sa formulation nécessite une définition préalable.
Ce théorème n’est pas vrai si on remplace par d'autres corps (voyez l'exemple ci-dessus). On dit que est un corps algébriquement clos.
- On dit que est une racine de multiplicité si divise mais ne divise pas , ou encore : si divise mais n'est pas racine du polynôme quotient .
- Si est une racine de multiplicité au moins égale à 2, on parle de racine multiple.
L'ordre de multiplicité se caractérise par la propriété suivante :
Alors, est une racine de de multiplicité si et seulement si :
- et .
- :
Si et , alors par récurrence, on peut montrer qu’il existe des polynômes pour entre et tels que :
et
En effet, c’est évident pour , et si c’est vrai pour , alors :
.
On trouve alors la formule de récurrence :
Ainsi, on trouve bien et .
- :
Il suffit d’utiliser la formule de Taylor pour les polynômes :
.
La factorisation par est alors évidente.