Polynôme/Dérivation formelle

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C'est une notion « formelle » et purement algébrique : bien que définie par analogie avec l’analyse, elle se définit ici sans référer à la notion de limite.

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Définition : Dérivées d'un polynôme

Soit $P=\sum _{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\in K[X]$.

• La dérivée (formelle) de $P$ est le polynôme :

$P'=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}X^{k-1}$.

• La dérivée p-ième de $P$ ($p\in \mathbb {N}$) est définie par récurrence :

$P^{(0)}=P$ et $P^{(p+1)}=(P^{(p)})'$.

On remarquera que, si la caractéristique du corps K n'est pas nulle (en particulier si K est un corps fini), cette notion peut donner lieu à des bizarreries (surtout en référence à l'analyse) : par exemple, si $K=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ et $P=X^{3}$ , alors $P'=3X^{2}=0$ mais $P$ n’est pas constant.

On dispose d'une formule de Taylor-Young (sans reste, comme pour une fonction polynomiale en analyse) :

Début d’un théorème

Formule de Taylor pour les polynômes

Soient $K$ un corps de caractéristique nulle, $P$ un polynôme de $P\in K[X]$ de degré inférieur ou égal à $n$ et $a\in K$. Alors :

$P=\sum _{k=0}^{n}{\frac {P^{(k)}(a)}{k!}}(X-a)^{k}=P(a)+P^{\prime }(a)\left(X-a\right)+{\frac {P''(a)}{2!}}\left(X-a\right)^{2}+\ldots +{\frac {P^{(n)}\left(a\right)}{n!}}\left(X-a\right)^{n}$.

Fin du théorème

Démonstration

Les $n+1$ polynômes $(X-a)^{p},\;0\leq p\leq n$, forment une base de $K_{n}[X]$ et chacun d'eux vérifie l'équation, d'où le résultat par linéarité.