Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Contrôle de qualité avec test

Dans un atelier, 6 % des pièces fabriquées sont défectueuses. On décide alors de contrôler toutes les pièces qui en sortent à l'aide d'une machine, afin de n'expédier que les pièces que celle-ci acceptera.

• Si la pièce est bonne, elle est acceptée avec une probabilité de 0,98.
• Si la pièce est défectueuse, elle est refusée avec une probabilité de 0,99.

On notera :

• D l'événement : « la pièce est défectueuse » ;
• R l'événement : « la pièce est refusée ».

1. Calculer la probabilité de l'événement A : « la pièce est défectueuse et elle est acceptée quand même ».
2. Calculer la probabilité de l'événement B : « la pièce est bonne et elle est refusée ».
3. Calculer $P(A\cup B)$. Interpréter ce résultat.
4. Calculer la probabilité que la pièce soit bonne, sachant qu'elle a été refusée.
5. On soumet une production à ce test, pour obtenir un stock de pièces acceptées et un stock de pièces refusées. Donner la composition de ces deux stocks en bonnes pièces et en pièces défectueuses.

Solution

1. $P(A)=P(D\cap {\overline {R}})=P(D)P({\overline {R}}\mid D)=0{,}06\times 0{,}01=0{,}0006$.
2. $P(B)=P({\overline {D}}\cap R)=P({\overline {D}})P(R\mid {\overline {D}})=0{,}94\times 0{,}02=0{,}0188$.
3. $A$ et $B$ sont disjoints donc $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0{,}0194$. C'est la probabilité d'erreur de diagnostic.
4. $P(R)=P(B)+P(D\cap R)=P(B)+P(D)P(R\mid D)=0{,}0188+0{,}06\times 0{,}99=0{,}0188+0{,}0594=0{,}0792$ donc
   $P({\overline {D}}\mid R)={\frac {P(B)}{P(R)}}={\frac {0{,}0188}{0{,}0792}}\approx 0{,}23737$.
5. Dans les pièces refusées, environ 23,74 % sont bonnes donc environ 76,26 % sont défectueuses.
   $P(D\mid {\overline {R}})={\frac {P(A)}{P({\overline {R}})}}={\frac {0{,}0006}{1-0{,}0792}}={\frac {0{,}0006}{0{,}9208}}\approx 0{,}000652$ donc dans les pièces acceptées, environ 0,07 % sont défectueuses et 99,93 % sont bonnes.