Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Utilisation de tableaux

Élèves

Une classe est composée de 36 élèves de 16, 17 ou 18 ans exclusivement.

Elle comprend 22 garçons dont 18 âgés de 17 ans et 3 âgés de 18 ans.

On dénombre d’autre part 6 filles âgées de 18 ans et une seule de 16 ans.

1) Reproduire et compléter le tableau suivant.

	Garçons	Filles	Totaux
16 ans
17 ans
18 ans
Totaux

2) On choisit un élève au hasard de manière équiprobable.

On définit les événements suivants :

A : l'élève choisi a 17 ans ;

B : l'élève choisi est une fille ;

C : l'élève choisi est une fille de 17 ans.

Calculer sous forme de fractions irréductibles $P(A)$, $P(B)$ et $P(C)$.

3) Définir en une phrase les événements $A\cap B$ et $A\cup B$.

4) Calculer leurs probabilités sous forme de fraction irréductible.

Solution

1. ${\begin{array}{c|cc|c|}&G&F&{\text{Totaux}}\\\hline 16&1&1&2\\17&18&7&25\\18&3&6&9\\\hline {\text{Totaux}}&22&14&36\\\hline \end{array}}$
2. $P(A)={\frac {25}{36}}$, $P(B)={\frac {14}{36}}={\frac {7}{18}}$ et $P(C)={\frac {7}{36}}$.
3. $A\cap B=C$ et $A\cup B$ est l'événement : l'élève choisi est une fille ou a 17 ans.
4. $P(A\cap B)={\frac {7}{36}}$ donc $P(A\cup B)={\frac {25}{36}}+{\frac {7}{18}}-{\frac {7}{36}}={\frac {8}{9}}$.

 

Urne

Une urne contient 4 boules :

3 blanches notées $B_{1}$, $B_{2}$ et $B_{3}$.

1 noire notée $N_{1}$

On prélève au hasard une boule, puis on la remet dans l'urne et l'on répète la même épreuve.

1) À l'aide d'un tableau, indiquer tous les résultats possibles.

2) On suppose que les résultats possibles sont équiprobables.

Calculer sous forme de fraction irréductible les probabilités des événements suivants :

A : les deux boules tirées sont noires ;

B : les deux boules tirées sont blanches ;

C : les deux boules tirées sont de la même couleur ;

D : les deux boules tirées sont de couleurs différentes ;

E : les deux boules tirées ont le même numéro.

3) Parmi les événements précédents, déterminer :

• deux événements incompatibles ;
• deux événements contraires.

Solution

1. L'auteur de l'énoncé devrait préciser sa pensée. Un tableau ne semble pas utile pour la question suivante.
2. $P(A)={\frac {1}{16}}$, $P(B)={\frac {9}{16}}$, donc $P(C)={\frac {1}{16}}+{\frac {9}{16}}={\frac {5}{8}}$, donc $P(D)=1-{\frac {5}{8}}={\frac {3}{8}}$. $P(E)={\frac {4+1+1}{16}}={\frac {3}{8}}$.
3. A et B sont incompatibles. C et D sont contraires.

 

Aux caisses

Un relevé de caisse d'un magasin d'outillage a fourni les renseignements suivants concernant les modes de paiement et le montant des achats de 100 clients.

	Inférieur à 1 000 €	Strictement supérieur à 1 000 €
En espèces	14	4
Par chèque	48	24
Par carte bancaire	6	4

On choisit au hasard un achat (de manière équiprobable).

1) Calculer les probabilités des événements suivants sous forme de fraction irréductible :

A : l'achat est strictement supérieur à 1 000 € ;

B : l'achat est strictement supérieur à 1 000 € et payé en espèces ;

C : l'achat est strictement supérieur à 1 000 € ou payé en espèces.

2) En utilisant les intitulés du tableau, citer deux événements incompatibles et deux événements contraires.

Solution

La seule partie utile du tableau (complété par les totaux par ligne et par colonne) est la suivante :

${\begin{array}{c|cc|c|}&\leq 1000&>1000&{\text{total}}\\\hline {\text{espèces}}&\dots &4&18\\{\text{chèque}}&\dots &\dots &\dots \\{\text{carte}}&\dots &\dots &\dots \\\hline {\text{total}}&\dots &32&100\\\hline \end{array}}$

1. $P(A)={\frac {32}{100}}={\frac {8}{25}}$, $P(B)={\frac {4}{100}}={\frac {1}{25}}$ et $P(C)={\frac {32+18-4}{100}}={\frac {23}{50}}$.
2. « En espèces » et « par chèque » sont incompatibles. « Inférieur à 1 000 € » et « strictement supérieur à 1 000 € » sont contraires.

 

Construction mécanique

Dans une usine de construction mécanique, on a relevé sur une série de 60 pièces les diamètres suivants en mm.

Diamètre	48	49	50	51	52
Nombre de pièces	1	15	30	14	0

La norme pour une telle pièce exige un diamètre de 50 mm à 1 mm près.

On tire au hasard une pièce parmi les 60, de manière équiprobable.

Soit A l'événement « la pièce est acceptable ».

Calculer la probabilité de A et de son contraire à $10^{-2}$ près.

Solution

$P({\overline {A}})={\frac {1+0}{60}}\approx 0{,}02$ donc $P(A)\approx 0{,}98$.

 

Urne 2

Une urne contient 15 boules, numérotées de 1 à 15.

Sept sont vertes, les autres sont jaunes.

Cinq boules jaunes ont un numéro pair.

1) Représenter la situation à l'aide d'un tableau.

2) On tire une boule au hasard de manière équiprobable.

Calculer les probabilités des événements suivants :

A : la boule tirée est jaune ;

B : la boule tirée est jaune et porte un numéro pair ;

C : la boule tirée est jaune ou porte un numéro pair.

Solution

1. On peut facilement compléter le tableau mais la seule partie utile pour la suite est :

   ${\begin{array}{c|cc|c|}&{\text{vert}}&{\text{jaune}}&{\text{total}}\\\hline {\text{pair}}&\dots &5&7\\{\text{impair}}&\dots &\dots &\dots \\\hline {\text{total}}&\dots &8&15\\\hline \end{array}}$

2. $P(A)={\frac {8}{15}}$, $P(B)={\frac {5}{15}}={\frac {1}{3}}$ et $P(C)={\frac {8+7-5}{15}}={\frac {2}{3}}$.