Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Somme de deux dés

Considérons l'expérience aléatoire consistant à lancer deux dés équilibrés, dont le résultat est la somme des deux numéros sortis.

1. Quels sont les résultats de l'expérience ?
2. Pour calculer les probabilités exactes de chaque résultat, on se ramène à une situation d'équiprobabilité en considérant comme événements élémentaires les couples de numéros (a, b) où a est le résultat du premier dé et b celui du second. Écrire tous les couples possibles.
3. Ces événements élémentaires sont alors équiprobables. En déduire la probabilité de chaque résultat de l'expérience.

Solution

1. Les sommes possibles sont les entiers de 2 à 12.
2. Les couples possibles sont :
   (1, 1), (1,2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
   (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2,6),
   (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
   (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
   (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
   (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6,4), (6,5) et (6,6).
3. Pour chaque $n$, $P(a+b=n)$ est le produit de $1/36$ par le nombre de couples (a, b) de la liste précédente pour lesquels a + b = n. Ces couples correspondent bijectivement aux entiers a vérifiant à la fois

   $1\leq a\leq 6{\text{ et }}1\leq n-a\leq 6$, c'est-à-dire

   $1\leq a\leq 6{\text{ et }}n-6\leq a\leq n-1$,

   donc il y en a

   $1+\min(6,n-1)-\max(1,n-6)={\begin{cases}n-1&{\text{si }}n\leq 7\\13-n&{\text{si }}n\geq 7,\end{cases}}$

   ce qui donne :

   ${\begin{array}{c|ccccccccccc|}n&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline P(a+b=n)&1/36&1/18&1/12&1/9&5/36&1/6&5/36&1/9&1/12&1/18&1/36\\\hline \end{array}}$