Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Dé truqué

On utilise un dé truqué avec les probabilités suivantes :

Numéro	1	2	3	4	5	6
Probabilité	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{12}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{12}}$

1. Probabilités de quelques événements :

a) On note $A_{k}$ l’événement « obtenir k ». Calculer la probabilité de ${\overline {A_{4}}}$ et interpréter ce résultat.

b) On note $B$ l'événement : « obtenir un numéro pair ». Calculer la probabilité de $B$.

c) On note $C$ l'événement : « obtenir un multiple de 3 ». Calculer la probabilité de $C$.

d) Interpréter l'événement $B\cap C$ et donner sa probabilité.

e) Calculer la probabilité de $B\cup C$ grâce à une formule et interpréter cet événement.

2. Chnu lance ce dé. Il parie qu’il va obtenir un numéro pair, alors que Chno parie que non.

Lequel a le plus de chances de gagner ? Expliquer en utilisant le langage des événements et des probabilités.

Solution

1. Probabilités de quelques événements :

a) $P({\overline {A_{4}}})=1-{\frac {1}{12}}={\frac {11}{12}}$ est la probabilité d'obtenir un autre numéro que 4.

b) $P(B)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{2}}$.

c) $P(C)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{4}}$.

d) $P(B\cap C)=P(\{6\})={\frac {1}{12}}$.

e) $P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(B\cap C)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{12}}={\frac {2}{3}}$ est la probabilité d'obtenir un numéro pair ou multiple de 3, c'est-à-dire 2, 4, 6 ou 3.

2. Ils ont la même chance car $P(B)=P({\overline {B}})={\frac {1}{2}}$.