Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Probabilités conditionnelles

Test de dépistage

On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

Un test de dépistage d'une certaine maladie a les caractéristiques suivantes :

• le test appliqué à un malade est positif dans 90 % des cas,
• le test appliqué à une personne saine est négatif dans 70 % des cas.

On choisit au hasard une personne dans une population dont les deux tiers sont malades, et on lui fait subir le test.

On notera les événements :

• M : « la personne est malade »,
• P : « le test est positif »,
• S : « la personne est saine »,
• N : « le test est négatif ».

1. Traduire les données de l'énoncé en termes de probabilités (éventuellement conditionnelles) et en déduire un arbre pondéré de probabilités.
2. Calculer la probabilité que le test soit positif pour la personne choisie.
3. Calculer la probabilité que le test donne une fausse idée de l'état de santé de la personne.
4. Calculer la « valeur prédictive » $p_{P}(M)$ du test et interpréter ce nombre.

Solution

1. $p(P\mid M)={\frac {9}{10}}$, $p(N\mid S)={\frac {7}{10}}$ et $p(M)={\frac {2}{3}}$.

   ${\begin{array}{cccc}&&&P&\dots &M\cap P\\&&\nearrow _{9/10}&&&\\&M&&\\\nearrow _{2/3}&&\searrow ^{1/10}&&&\\&&&N&\dots &M\cap N\\&&&&&\\&&&P&\dots &S\cap P\\\searrow ^{1/3}&&\nearrow _{3/10}&&&\\&S&&&&\\&&\searrow ^{7/10}&&&\\&&&N&\dots &S\cap N\end{array}}$

2. $p(P)=p(M\cap P)+p(S\cap P)={\frac {2}{3}}\times {\frac {9}{10}}+{\frac {1}{3}}\times {\frac {3}{10}}={\frac {7}{10}}$.
3. $p\left((M\cap N)\cup (S\cap P)\right)={\frac {2}{3}}\times {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{3}}\times {\frac {3}{10}}={\frac {1}{6}}$.
4. $p_{P}(M)={\frac {p(M\cap P)}{p(P)}}={\frac {{\frac {2}{3}}\times {\frac {9}{10}}}{\frac {7}{10}}}={\frac {6}{7}}$ est la probabilité qu'une personne soit réellement atteinte, sachant que son test est positif.

 

Résultat au bac

On considère un établissement scolaire de 2 000 élèves, regroupant à la fois des collégiens et des lycéens.

19 % de l'effectif total est en classe de terminale.

Parmi ces élèves de terminale, 55 % sont des filles.

L'année considérée, le taux de réussite au baccalauréat dans cet établissement a été de 85 %.

Parmi les candidats ayant échoué, la proportion de filles a été de ${\frac {8}{19}}$.

1. Compléter le tableau des effectifs suivant :

Élèves de terminale	Garçons	Filles	Total
Réussite
Échec
Total

Après la publication des résultats, on choisit au hasard un élève dans l’ensemble des élèves de terminale.

On considère les événements suivants :

• G : « l'élève est un garçon » ; on note ${\overline {G}}$ l'événement contraire de $G$ ;
• R : « l'élève a obtenu son baccalauréat » ; on note ${\overline {R}}$ l'événement contraire de $R$.

2. Définir par une phrase les événements ${\overline {R}}$ et ${\overline {G}}\cap R$.

Dans la suite des questions, on donnera les résultats sous forme de nombres décimaux arrondis à $10^{-2}$.

3. Calculer les probabilités des événements ${\overline {R}}$, ${\overline {G}}\cap R$, $G$, $G\cap R$ et $R$.

4. Sachant que l'élève a obtenu son baccalauréat, calculer la probabilité qu'il soit une fille et celle qu'il soit un garçon.

5. Les événements $G$ et $R$ sont-ils indépendants ? Interpréter la réponse.

Solution

1. ${\begin{array}{c|cc|c|}&G&F&T\\\hline R&138&185&323\\E&33&24&57\\\hline T&171&209&380\\\hline \end{array}}$
2. ${\overline {R}}$ : « l'élève a échoué ». ${\overline {G}}\cap R$ : « l'élève est une fille et a réussi ».
3. $p({\overline {R}})=1-0{,}85=0{,}15$, $p({\overline {G}}\cap R)={\frac {185}{380}}\approx 0{,}49$, $p(G)={\frac {171}{380}}=0{,}45$, $p(G\cap R)={\frac {138}{380}}\approx 0{,}36$ et $p(R)=0{,}85$.
4. $p({\overline {G}}\mid R)={\frac {p({\overline {G}}\cap R)}{p(R)}}={\frac {185}{323}}\approx 0{,}57$ donc $p(G\mid R)=1-p({\overline {G}}\mid R)\approx 1-0{,}57=0{,}43$.
5. $p(G\mid R)<p(G)$. Les événements $G$ et $R$ sont dépendants : un élève a moins de chances d'être un garçon s'il a réussi. Autrement dit : un garçon réussit (en moyenne) moins bien qu'une fille. Ou plus directement, à partir de l'énoncé : $p({\overline {G}}\mid {\overline {R}})={\frac {8}{19}}\approx 0{,}42<0{,}55=p({\overline {G}})$.

 

Sondage

Dans cet exercice, on demande les valeurs exactes des probabilités soit sous forme décimale exacte, soit sous forme fractionnaire.

Un centre commercial possède deux magasins de chaussures A et B.

Le magasin A vend trois fois plus de chaussures que le magasin B.

Un enquêteur d'un institut de sondage s'intéresse à un modèle de chaussures C.

Le magasin A réalise 3 % du nombre de ses ventes avec ce modèle.

Le magasin B réalise 5 % du nombre de ses ventes avec ce modèle.

L'enquêteur interroge au hasard un client ayant acheté des chaussures.

On note A l'événement : la paire de chaussures a été achetée au magasin A.

On note B l'événement : la paire de chaussures a été achetée au magasin B.

On note C l'événement : la paire de chaussures est un modèle C.

1. Donner $p(C\mid A)$ et $p(C\mid B)$.
2. Construire un arbre de probabilités à deux étages et compléter entièrement cet arbre avec des probabilités.
3. Calculer $p(C)$.
4. Calculer $p(A\mid C)$.

Solution

1. $p(C\mid A)=0{,}03$ et $p(C\mid B)=0{,}05$.
2. ${\begin{array}{cccc}&&&C&\dots &p(A\cap C)=9/400\\&&\nearrow _{0{,}03}&&&\\&A&&\\\nearrow _{3/4}&&\searrow ^{0{,}97}&&&\\&&&{\overline {C}}&\dots &p(A\cap {\overline {C}})=291/400\\&&&&&\\&&&C&\dots &p(B\cap C)=5/400\\\searrow ^{1/4}&&\nearrow _{0{,}05}&&&\\&B&&&&\\&&\searrow ^{0{,}95}&&&\\&&&{\overline {C}}&\dots &p(B\cap {\overline {C}})=95/400\end{array}}$
3. $p(C)={\frac {9}{400}}+{\frac {5}{400}}={\frac {14}{400}}$.
4. $p(A\mid C)={\frac {9/400}{14/400}}={\frac {9}{14}}$.

 

Jetons et sac

On pioche au hasard un jeton dans un sac contenant 4 jetons verts et 3 jetons jaunes, puis on pioche au hasard un second jeton dans le même sac, sans avoir remis le premier.

On note :

• $A$ l'événement « le premier jeton pioché est vert » ;
• $B$ l'événement « le second jeton pioché est vert ».

1. Construire un arbre de probabilités.
2. Calculer $p(B)$.
3. Sachant que l’on a tiré un jeton vert au second tirage, calculer la probabilité que l’on en ait tiré un vert également au premier tirage.
4. On considère l'expérience aléatoire consistant en l’ensemble des deux tirages et dont le résultat est la couleur du second jeton. On répète n fois cette expérience, et l'on note $C_{n}$ l'événement « on n'a obtenu aucun jeton vert ». Quelle est la nature de la suite $\left(p(C_{n})\right)$ ? Est-elle convergente ?

Solution

1. ${\begin{array}{cccc}&&&B&\dots &A\cap B\\&&\nearrow _{1/2}&&&\\&A&&\\\nearrow _{4/7}&&\searrow ^{1/2}&&&\\&&&{\overline {B}}&\dots &A\cap {\overline {B}}\\&&&&&\\&&&B&\dots &{\overline {A}}\cap B\\\searrow ^{3/7}&&\nearrow _{2/3}&&&\\&{\overline {A}}&&&&\\&&\searrow ^{1/3}&&&\\&&&{\overline {B}}&\dots &{\overline {A}}\cap {\overline {B}}\end{array}}$
2. $p(B)=p(A\cap B)+p({\overline {A}}\cap B)={\frac {4}{7}}\times {\frac {1}{2}}+{\frac {3}{7}}\times {\frac {2}{3}}={\frac {4}{7}}$.
3. $p(A\mid B)={\frac {p(A\cap B)}{p(B)}}={\frac {{\frac {4}{7}}\times {\frac {1}{2}}}{\frac {4}{7}}}={\frac {1}{2}}$.
4. $p(C_{0})=1$ et $p(C_{n+1})=p(C_{n})\times p({\overline {B}})={\frac {3}{7}}p(C_{n})$ donc $p(C_{n})=\left({\frac {3}{7}}\right)^{n}$, suite géométrique décroissante et convergeant vers $0$.

 

Groupes sanguins

Les groupes sanguins furent découverts en 1901 par Karl Landsteiner. On distingue quatre phénotypes (c’est-à-dire groupes sanguins) : A, B, AB et O.

Les gènes A, B et O sont les trois allèles qui déterminent les quatre groupes sanguins. On sait que A et B sont dominants et que O est récessif. Ainsi, on peut dire :

• le phénotype O correspond au génotype O/O
• le phénotype A correspond aux génotypes A/A et A/O
• le phénotype B correspond aux génotypes B/B et B/O
• le phénotype AB correspond au génotype A/B.

On rappelle que le génotype d’un individu est déterminé par deux allèles : l'un hérité de la mère et l'autre du père. Ces deux transmissions d'allèles (père/mère) sont totalement indépendantes. Chaque parent a lui-même deux allèles qui définissent son groupe sanguin et il transmet l'un ou l'autre avec la même probabilité 0,5.

On sait que dans la population, la répartition des fréquences des transmissions d'allèles sont :

68 % pour l'allèle O, 25 % pour l'allèle A et 7 % pour l'allèle B.

1. Un individu (adulte) est pris au hasard dans la population. Donnez la probabilité qu'il transmette l'allèle A à son enfant (même question avec les allèles B et O).

2. Lorsqu'on prend un individu au hasard dans la population, on note [A] l'événement « être du groupe sanguin A » (de même pour [B], [O] et [AB]). Calculez la probabilité de ces quatre événements.

3. Au 19^e siècle, on réalisait les transfusions sanguines au hasard, sans se soucier des groupes sanguins. Aujourd'hui, on sait que les groupes sanguins ne sont pas forcément compatibles. Les incompatibilités sont résumées dans le tableau suivant (∅ signifie « incompatible ») :

Donneur	O	A	B	AB
Receveur O		∅	∅	∅
Receveur A			∅	∅
Receveur B		∅		∅
Receveur AB

On suppose qu'on fait une transfusion sanguine à un individu pris au hasard avec du sang prélevé chez un autre individu pris au hasard, sans se soucier des groupes sanguins. Calculez la probabilité qu'il y ait incompatibilité.

4. On suppose que 10 % des individus du groupe O sont hémophiles, 8 % des individus du groupe A sont hémophiles, 7% des individus du groupe B sont hémophiles et 8 % des individus du groupe AB sont hémophiles.

(a) Quelle est la probabilité qu'un individu qui est du groupe sanguin O soit hémophile ? Quelle est la probabilité qu'un individu soit du groupe sanguin O et hémophile ?

(b) Un individu du groupe sanguin O est pris au hasard. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas hémophile ?

(c) Un individu est pris au hasard dans la population. Quelle est la probabilité qu'il soit hémophile ?

(d) Quelle est la probabilité qu’un individu non hémophile soit du groupe sanguin A ?

Solution

1. 0,25, 0,07 et 0,68.

2. Notons P_X l'événement : « l'individu reçoit l'allèle X de son père » et M_X l'événement : « l'individu reçoit l'allèle X de sa mère ».

p([A]) = p(P_A∩M_O) + p(P_O∩M_A) + p(P_A∩M_A) = (par indépendance) 2×0,25×0,68 + 0,25×0,25 ≈ 0,40.

De même, p([B]) = 0,07×0,07 + 2×0,07×0,68 ≈ 0,10,

p([O]) = 0,68×0,68 ≈ 0,46 et

p([AB]) = 2×0,25×0,07 ≈ 0,04.

3. Notons D_X l'événement : « le donneur est du groupe X » et R_X l'événement : « le receveur est du groupe X ». D'après le tableau, l'indépendance et les résultats de la question 2,

p(Incompatible) = p(R_O∩D_A) + p(R_O∩D_B) + p(R_O∩D_AB) + p(R_A∩D_B) + p(R_A∩D_AB) + p(R_B∩D_A) + p(R_B∩D_AB) ≈ 0,46(1 – 0,46) + 0,40(0,10 + 0,04) + 0,10(0,40 + 0,04) ≈ 0,3484.

4.

(a) On note H l'événement « être hémophile ». Par hypothèse, p(H|[O]) = 0,10. Donc p(H∩[O]) = p(H|[O])×p([O]) ≈ 0,10×0,46 = 0,046.

(b) p(H|[O]) = 1 – p(H|[O]) = 0,9.

(c) La formule des probabilités totales donne

p(H) = p(H|[O])×p([O]) + p(H|[A])×p([A]) + p(H|[B])×p([B]) + p(H|[AB])×p([AB]) ≈ 0,10×0,46 + 0,08×0,40 + 0,07×0,10 + 0,08×0,04 ≈ 0,088.

(d) p([A]|H) = p([A]∩H)/p(H) = p(H|[A])×p([A])/p(H) ≈ (1 – 0,08)×0,40/(1 – 0,088) ≈ 0,404.

 

Allergie

Un laboratoire pharmaceutique vient de créer un produit anticoagulant qui provoque malheureusement des allergies. On suppose que la population est formée de 45 % d'hommes et de 55 % de femmes. On a remarqué que la proportion des individus qui sont à la fois allergiques et de sexe masculin est de 0,2. De même, la proportion des individus qui sont à la fois allergiques et de sexe féminin est de 0,1.

On choisit au hasard un homme dans la population. Calculez la probabilité qu'il soit allergique.

2. Calculez la probabilité qu'un individu pris au hasard soit allergique au produit.

3. Est-ce que le fait d'être allergique au produit est indépendant du sexe ? On sait que la répartition suivant les groupes sanguins est

O	A	B	AB
46 %	40 %	10 %	4 %

On a remarqué que parmi les individus du groupe sanguin A, 20 % sont allergiques. De même, 15 % des individus du groupe B sont allergiques et 5 % des individus du groupe AB sont allergiques.

4. On choisit au hasard un individu allergique au produit. Calculez la probabilité qu'il soit du groupe sanguin B.

5. Un individu de groupe sanguin O est choisi au hasard. Calculez la probabilité qu'il soit allergique.

On sait que parmi les individus de groupe sanguin O, 60 % sont de Rhésus positif. On a remarqué que la probabilité qu'un individu soit allergique sachant qu'il est du groupe O⁺ (groupe O rhésus +) est 0,2.

6. Calculez la probabilité qu’un individu soit à la fois allergique et du groupe sanguin O⁺.

Solution

1. p(All|H) = p(All∩H)/p(H) = 0,2/0,45 ≈ 0,444.

2. p(All) = Pr(All∩H) + p(All∩F) = 0,2 + 0,1 = 0,3.

3. On a par exemple p(All∩H) ≠ p(All)p(H) donc il n'y a pas indépendance.

4. p(B|All) = p(B∩All)/p(All) = p(All|B)p(B)/p(All) = 0,15×0,1/0,3 = 0,05.

5. La formule des probabilités totales donne :

0,3 = p(All) = Pr(All|O)p(O) + p(All|A)p(A) + p(All|B)p(B) + p(All|AB)p(AB) = p(All|O)×0,46 + 0,2×0,4 + 0,15×0,1 + 0,05×0,04

On en déduit p(All|O) ≈ 0,44.

6. p(All∩O⁺) = = p(All|O⁺)p(O∩Rh+) = p(All|O⁺)p(Rh+|O)p(O) = 0,2×0,6×0,46 = 0,0552.