Produit scalaire dans le plan/Applications du produit scalaire dans le plan

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Théorème d'Al Kashi

Début d’un théorème

Théorème

Dans un triangle ABC quelconque du plan :

$BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2AB\cdot AC\cdot \cos({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}})$

Fin du théorème

Démonstration

$BC^{2}={\overrightarrow {BC}}^{2}$

$BC^{2}=({\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}})^{2}$

$BC^{2}={\overrightarrow {BA}}^{2}+2.{\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {AC}}^{2}$

$BC^{2}={\overrightarrow {BA}}^{2}-2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {AC}}^{2}$

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB.AC.cos({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}})$

 

Théorème de la médiane

Début d’un théorème

Théorème

Soit I le milieu d'un segment [AB] du plan, et M un point quelconque du plan :

$MA^{2}+MB^{2}=2MI^{2}+{\frac {1}{2}}AB^{2}$

Fin du théorème

Démonstration

$AB^{2}={\overrightarrow {AB}}^{2}$

$AB^{2}=({\overrightarrow {AM}}+{\overrightarrow {MB}})^{2}$

$AB^{2}=MA^{2}+MB^{2}+2{\overrightarrow {AM}}\cdot {\overrightarrow {MB}}$

$AB^{2}=MA^{2}+MB^{2}+2({\overrightarrow {AI}}+{\overrightarrow {IM}})\cdot ({\overrightarrow {MI}}+{\overrightarrow {IB}})$

$AB^{2}=MA^{2}+MB^{2}+2({\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {IM}})\cdot ({\overrightarrow {MI}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AB}})$

$AB^{2}=MA^{2}+MB^{2}+{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {MI}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AB}}^{2}-2IM^{2}+{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {IM}}$

$AB^{2}=MA^{2}+MB^{2}+{\frac {1}{2}}AB^{2}-2MI^{2}$

$MA^{2}+MB^{2}=2MI^{2}+{\frac {1}{2}}AB^{2}$

 

Distance d'un point à une droite

Début d’un théorème

Théorème

Dans un repère orthonormé du plan,

Soit une droite D d'équation cartésienne $ax+by+c=0$.

• Un vecteur directeur de D est ${\overrightarrow {u}}(-b;a)$
• Un vecteur normal (c'est-à-dire orthogonal non nul) à D est ${\overrightarrow {n}}(a;b)$

Fin du théorème

Démonstration

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Voir une démonstration vidéo

Début d’un théorème

Théorème

Dans un repère orthonormé du plan,

Soit une droite D d'équation cartésienne $ax+by+c=0$,

soit $M(x_{M};y_{M})$ un point quelconque du plan,

la distance du point M à la droite :

• est réalisée par MH où H est le projeté orthogonal de M sur D.
• vaut $d(M,D)=d(M,H)={\frac {|ax_{M}+by_{M}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Fin du théorème

Démonstration

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Cercle et produit scalaire

Début d’un théorème

Théorème

Dans un repère orthonormé du plan,

soit C le cercle de centre $A(x_{A}\ ;\ y_{A})$

• Une équation de C est : $(x-x_{A})^{2}+(y-y_{A})^{2}=R^{2}$
• Si (BD) est un diamètre de C, alors C est l’ensemble des points M du plan tel que :

${\overrightarrow {MB}}\cdot {\overrightarrow {MD}}=0$

Fin du théorème

Démonstration

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