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Produit scalaire dans le plan : Produit scalaire de deux vecteurs Produit scalaire dans le plan/Produit scalaire de deux vecteurs », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Produit scalaire
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Norme d'un vecteur
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Définition
Soit u → = A B → {\displaystyle {\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {AB}}}
Sa norme , notée | | u → | | {\displaystyle ||{\overrightarrow {u}}||} est la longueur A B {\displaystyle AB} .
En vertu du théorème de Pythagore , si le vecteur u → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {u}}} a pour coordonnées ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} , sa norme s'écrit
‖ u → ‖ = x 2 + y 2 . {\displaystyle \|{\vec {u}}\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}
En partant des points A {\displaystyle A} et B {\displaystyle B} du vecteur, s'ils ont pour coordonnées respectives ( x A , y A ) {\displaystyle (x_{A},y_{A})} et ( x B , y B ) {\displaystyle (x_{B},y_{B})} alors :
‖ A B → ‖ = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 . {\displaystyle \|{\overrightarrow {AB}}\|={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}.}
Propriété
La norme d'un vecteur | | u → | | ∈ R + {\displaystyle ||{\overrightarrow {u}}||\in \mathbb {R} ^{+}}
| | u → | | = 0 ↔ u → = 0 → {\displaystyle ||{\overrightarrow {u}}||=0\leftrightarrow {\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {0}}}
Produit scalaire
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Le produit scalaire est une opération qui se note ⋅ {\displaystyle \cdot } , qui porte sur deux vecteurs et dont le résultat est un nombre réel (donc un scalaire ).
Définition
On appelle produit scalaire de u → {\displaystyle \textstyle {\vec {u}}} par v → {\displaystyle \textstyle {\vec {v}}}
le nombre réel noté u → ⋅ v → {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}} défini par :
u → ⋅ v → = ‖ u → ‖ × ‖ v → ‖ × cos ( u → , v → ) {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\|{\vec {u}}\|\times \|{\vec {v}}\|\times \cos({\vec {u}},{\vec {v}})}
Définition
Soit u → {\displaystyle {\vec {u}}} un vecteur :
u → ⋅ u → = ‖ u → ‖ × ‖ u → ‖ × cos ( u → , u → ) = ‖ u → ‖ 2 × cos ( 0 ) = ‖ u → ‖ 2 {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=\|{\vec {u}}\|\times \|{\vec {u}}\|\times \cos({\vec {u}},{\vec {u}})=\|{\vec {u}}\|^{2}\times \cos(0)=\|{\vec {u}}\|^{2}}
Ce nombre est appelé carré scalaire de u → {\displaystyle {\vec {u}}} et est aussi noté u → 2 {\displaystyle {\vec {u}}^{2}} .
Si A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} et C {\displaystyle C} sont trois points distincts, en posant u → = A B → {\displaystyle {\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {AB}}} et v → = A C → {\displaystyle {\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {AC}}} on a : A B → . A C → = A B × A C × cos ( B A C ^ ) {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {AC}}=AB\times AC\times \cos({\widehat {BAC}})}
Si u → {\displaystyle \textstyle {\vec {u}}} et v → {\displaystyle \textstyle {\vec {v}}} sont colinéaires de même sens alors : u → ⋅ v → = ‖ u → ‖ × ‖ v → ‖ {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\|{\vec {u}}\|\times \|{\vec {v}}\|}
Si u → {\displaystyle \textstyle {\vec {u}}} et v → {\displaystyle \textstyle {\vec {v}}} sont colinéaires de sens contraires alors : u → ⋅ v → = − ‖ u → ‖ × ‖ v → ‖ {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=-\|{\vec {u}}\|\times \|{\vec {v}}\|}
Quel que soit le vecteur v → {\displaystyle {\vec {v}}} , on a 0 → ⋅ v → = 0 {\displaystyle {\vec {0}}\cdot {\vec {v}}=0}
Soient u → {\displaystyle {\vec {u}}} , v → {\displaystyle {\vec {v}}} et w → {\displaystyle {\vec {w}}} trois vecteurs et k {\displaystyle k} un réel.
Le produit scalaire est symétrique : v → ⋅ u → = u → ⋅ v → {\displaystyle {\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}}
Démonstration
v → ⋅ u → {\displaystyle {\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {u}}}
= | | v → | | × | | u → | | × cos ( v → , u → ) {\displaystyle =\left|\left|{\overrightarrow {v}}\right|\right|\times \left|\left|{\overrightarrow {u}}\right|\right|\times \cos \left({\overrightarrow {v}},{\overrightarrow {u}}\right)}
= | | u → | | × | | v → | | × cos ( − ( u → , v → ) ) {\displaystyle =\left|\left|{\overrightarrow {u}}\right|\right|\times \left|\left|{\overrightarrow {v}}\right|\right|\times \cos \left(-\left({\overrightarrow {u}},{\overrightarrow {v}}\right)\right)}
= | | u → | | × | | v → | | × cos ( u → , v → ) {\displaystyle =\left|\left|{\overrightarrow {u}}\right|\right|\times \left|\left|{\overrightarrow {v}}\right|\right|\times \cos \left({\overrightarrow {u}},{\overrightarrow {v}}\right)} car la fonction cosinus est paire.
= u → ⋅ v → {\displaystyle ={\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}}
Le produit scalaire est linéaire : { ( k × u → ) ⋅ v → = k × ( u → ⋅ v → ) ( u → + w → ) ⋅ v → = u → ⋅ v → + w → ⋅ v → {\displaystyle {\begin{cases}(k\times {\overrightarrow {u}})\cdot {\overrightarrow {v}}=k\times ({\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}})\\({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {w}})\cdot {\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {w}}\cdot {\overrightarrow {v}}\end{cases}}}
Soient u → {\displaystyle {\vec {u}}} et v → {\displaystyle {\vec {v}}} deux vecteurs : 1.
| | u → + v → | | 2 {\displaystyle \left|\left|{\vec {u}}+{\vec {v}}\right|\right|^{2}}
= | | u → | | 2 + 2 u → ⋅ v → + | | v → | | 2 {\displaystyle =\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}+2{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}}
⟺ {\displaystyle \Longleftrightarrow }
u → ⋅ v → {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}
= 1 2 ( | | u → + v → | | 2 − | | u → | | 2 − | | v → | | 2 ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(\left|\left|{\vec {u}}+{\vec {v}}\right|\right|^{2}-\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}-\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}\right)}
2.
| | u → − v → | | 2 {\displaystyle \left|\left|{\vec {u}}-{\vec {v}}\right|\right|^{2}}
= | | u → | | 2 − 2 u → ⋅ v → + | | v → | | 2 {\displaystyle =\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}-2{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}}
⟺ {\displaystyle \Longleftrightarrow }
u → ⋅ v → {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}
= − 1 2 ( | | u → − v → | | 2 − | | u → | | 2 − | | v → | | 2 ) {\displaystyle =-{\frac {1}{2}}\left(\left|\left|{\vec {u}}-{\vec {v}}\right|\right|^{2}-\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}-\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}\right)}
3.
( u → + v → ) ⋅ ( u → − v → ) {\displaystyle \left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)\cdot \left({\vec {u}}-{\vec {v}}\right)}
= | | u → | | 2 − | | v → | | 2 {\displaystyle =\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}-\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}}
Démonstration de la 1ère formule
| | u → + v → | | 2 {\displaystyle \left|\left|{\vec {u}}+{\vec {v}}\right|\right|^{2}}
= ( u → + v → ) ⋅ ( u → + v → ) {\displaystyle =\left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)\cdot \left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)}
= u → ⋅ u → + u → ⋅ v → + v → ⋅ u → + v → ⋅ v → {\displaystyle ={\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}
par linéarité.
= | | u → | | 2 + 2 u → ⋅ v → + | | v → | | 2 {\displaystyle =\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}+2{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}}
par symétrie.
Produit scalaire et orthogonalité
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Produit scalaire et orthogonalité
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Début d’un théorème
Théorème
Soient u → {\displaystyle {\vec {u}}} et v → {\displaystyle {\vec {v}}} deux vecteurs.
u → {\displaystyle {\vec {u}}} et v → {\displaystyle {\vec {v}}} sont orthogonaux
si et seulement si
le produit scalaire u → ⋅ v → = 0 {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=0}
Fin du théorème
Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l'espace.
Ou bien deux vecteurs égal à 0 sont perpendiculaires
Produit scalaire et projeté orthogonal
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Début d’un théorème
Fin du théorème
Démonstration
A B → . A C → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {AC}}}
= A B → ⋅ ( A H → + H C → ) {\displaystyle ={\overrightarrow {AB}}\cdot \left({\overrightarrow {AH}}+{\overrightarrow {HC}}\right)} (Chasles)
= A B → ⋅ A H → + A B → ⋅ H C → {\displaystyle ={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AH}}+{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {HC}}} par linéarité.
= A B → ⋅ A H → {\displaystyle ={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AH}}} car A B → ⋅ H C → = 0 {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {HC}}=0} car H C → ⊥ A B → {\displaystyle {\overrightarrow {HC}}\bot {\overrightarrow {AB}}} car H {\displaystyle H} est le projeté orthogonal de C {\displaystyle C} sur ( A B ) {\displaystyle \left(AB\right)}
Calcul d'un produit scalaire analytiquement
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Début d’un théorème
Fin du théorème
Si u → ( x y ) {\displaystyle {\overrightarrow {u}}{\dbinom {x}{y}}} , alors | | u → | | = u → 2 = x 2 + y 2 {\displaystyle ||{\overrightarrow {u}}||={\sqrt {{\overrightarrow {u}}^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
Critère d'orthogonalité
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Début d’un théorème
Théorème
u → ⊥ v → {\displaystyle {\overrightarrow {u}}\bot {\overrightarrow {v}}} ssi x x ′ + y y ′ = 0 {\displaystyle xx'+yy'=0}
Fin du théorème
Calcul du produit scalaire avec les normes
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Soit u → ( x y ) {\displaystyle {\overrightarrow {u}}{\dbinom {x}{y}}} et v → ( x ′ y ′ ) {\displaystyle {\overrightarrow {v}}{\dbinom {x'}{y'}}} et u → + v → ( x + x ′ y + y ′ ) {\displaystyle {\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}{\dbinom {x+x'}{y+y'}}}
| | u → + v → | | 2 = ( x + x ′ ) 2 + ( y + y ′ ) 2 {\displaystyle ||{\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}||^{2}=(x+x')^{2}+(y+y')^{2}}
| | u → + v → | | 2 = x 2 + 2 x x ′ + x ′ 2 + y 2 + 2 y y ′ + y ′ 2 {\displaystyle ||{\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}||^{2}=x^{2}+2xx'+x'^{2}+y^{2}+2yy'+y'^{2}}
| | u → + v → | | 2 = x 2 + y 2 + x ′ 2 + y ′ 2 + 2 ( x x ′ + y y ′ ) = | | u → | | 2 + | | v → | | 2 + 2 u → ⋅ v → {\displaystyle ||{\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}||^{2}=x^{2}+y^{2}+x'^{2}+y'^{2}+2(xx'+yy')=||{\overrightarrow {u}}||^{2}+||{\overrightarrow {v}}||^{2}+2{\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}}
d'où :
u → ⋅ v → = 1 2 [ | | u → + v → | | 2 − | | u → | | 2 − | | v → | | 2 ] {\displaystyle {\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}={\frac {1}{2}}\left[||{\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}||^{2}-||{\overrightarrow {u}}||^{2}-||{\overrightarrow {v}}||^{2}\right]}