Produit scalaire dans le plan/Produit scalaire de deux vecteurs

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Produit scalaire de deux vecteurs
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Chapitre no 1
Leçon : Produit scalaire dans le plan
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Produit scalaireModifier

DéfinitionsModifier

Norme d'un vecteurModifier


En vertu du théorème de Pythagore, si le vecteur   a pour coordonnées  , sa norme s'écrit

 


En partant des points   et   du vecteur, s'ils ont pour coordonnées respectives   et   alors :

 

Produit scalaireModifier

Le produit scalaire est une opération qui se note  , qui porte sur deux vecteurs et dont le résultat est un nombre réel (donc un scalaire).


Carré scalaireModifier


RemarquesModifier

  • Si  ,   et   sont trois points distincts, en posant   et   on a :

 

  • Si   et   sont colinéaires de même sens alors :

 

  • Si   et   sont colinéaires de sens contraires alors :

 

  • Quel que soit le vecteur  , on a  

PropriétésModifier

Soient  ,   et   trois vecteurs et   un réel.


  • Le produit scalaire est symétrique :  
Démonstration
   
 
  car la fonction cosinus est paire.
 


  • Le produit scalaire est linéaire :  
  • Soient   et   deux vecteurs :
1.
         
2.
         
3.
   
Démonstration de la 1ère formule
   
  par linéarité.
  par symétrie.

Produit scalaire et orthogonalitéModifier

Produit scalaire et orthogonalitéModifier


Début d’un théorème
Fin du théorème


RemarqueModifier

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l'espace. Ou bien deux vecteurs égal à 0 sont perpendiculaires

Produit scalaire et projeté orthogonalModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration
    (Chasles)
  par linéarité.
  car   car   car   est le projeté orthogonal de   sur  

Calcul d'un produit scalaire analytiquementModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


ConséquencesModifier

NormesModifier

Si  , alors  

Critère d'orthogonalitéModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Calcul du produit scalaire avec les normesModifier

Soit   et   et  

 

 

 

d'où :