Produit vectoriel/Double produit vectoriel

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Le vecteur ${\vec {u}}\wedge ({\vec {v}}\wedge {\vec {w}})$ appartient toujours au sous-espace engendré par ${\vec {v}}$ et ${\vec {w}}$, puisqu'il est orthogonal à l'orthogonal de ce sous-espace. Ce vecteur est donc combinaison linéaire de ${\vec {v}}$ et ${\vec {w}}$. La formule du double produit vectoriel explicite les coefficients de cette combinaison sous forme de produits scalaires :

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Début d’un théorème

Théorème

Soient ${\vec {u}}$, ${\vec {v}}$ et ${\vec {w}}$ trois vecteurs dans l'espace.

${\vec {u}}\wedge ({\vec {v}}\wedge {\vec {w}})=({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}){\vec {v}}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}){\vec {w}}$.

Fin du théorème

Démonstration

On peut développer les deux membres de l'équation en coordonnées dans une base orthonormée directe $({\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$ quelconque, et constater que les deux résultats sont égaux.

Les calculs sont plus simples si ${\vec {u}}$ est colinéaire à ${\vec {i}}$ et ${\vec {v}}$ combinaison linéaire de ${\vec {i}}$ et ${\vec {j}}$ (lorsque ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont colinéaires, on construit facilement une telle base orthonormée directe $({\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$ et lorsqu'ils ne le sont pas, il suffit d'appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt).

Dans une telle base, les trois vecteurs ont pour coordonnées :

${\vec {u}}:{\begin{pmatrix}a\\0\\0\end{pmatrix}},\qquad {\vec {v}}:{\begin{pmatrix}b\\c\\0\end{pmatrix}},\qquad {\vec {w}}:{\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}}$

avec $a,b,c,d,e,f$ réels.

Ainsi :

${\begin{aligned}({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\wedge {\vec {w}}&=(a{\vec {i}}\wedge (b{\vec {i}}+c{\vec {j}}))\wedge {\vec {w}}\\&=ac{\vec {k}}\wedge (d{\vec {i}}+e{\vec {j}}+f{\vec {k}})\\&=ac(d{\vec {j}}-e{\vec {i}})\\{\text{et}}&\\({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}){\vec {v}}-({\vec {v}}\cdot {\vec {w}}){\vec {u}}&=ad(b{\vec {i}}+c{\vec {j}})-(bd+ce)a{\vec {i}}\\&=ac(d{\vec {j}}-e{\vec {i}}),\end{aligned}}$

d'où l'égalité.

 

Remarque

De même (par antisymétrie) : $({\vec {v}}\land {\vec {w}})\land {\vec {u}}=({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}){\vec {w}}-({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}){\vec {v}}$, ou encore : $({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\wedge {\vec {w}}=({\vec {w}}\cdot {\vec {u}}){\vec {v}}-({\vec {w}}\cdot {\vec {v}}){\vec {u}}$, différent de ${\vec {u}}\wedge ({\vec {v}}\wedge {\vec {w}})$ en général.