Produit vectoriel/Avancé

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Orientation de l'espace

Orientation des bases

Approche informelle

Considérons une main droite. Si ${\vec {i}}$ est l'index et ${\vec {j}}$ le majeur, une base directe de l'espace est une base pour laquelle le troisième vecteur ${\vec {k}}$ est dans la direction du pouce.

Règle de la main droite.

Cette « définition » est courante en physique mais n'a aucun sens mathématique. Il faut lui substituer la suivante :

Définition

On dit que deux bases ont même orientation si le déterminant de la matrice de passage est positif (strictement, puisqu'il est non nul).

Ceci définit, sur l'ensemble des bases de l'espace, une relation d'équivalence qui partitionne cet ensemble en deux classes.

Orienter l'espace, c'est choisir l'une de ces deux classes et décréter que ses éléments sont les bases directes, les autres bases étant alors dites indirectes.

Un tel choix revient à décider, pour une base particulière, si elle est directe ou indirecte. Lorsque l'espace possède une base canonique, l'« orientation canonique » est celle pour laquelle cette base est directe.

Exemples

Point ajouté pour une réponse juste :
Point retiré pour une réponse incorrecte :
Ignorer les coefficients des questions :

Dans un repère orthonormé direct $(O,{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$, donner les triplets qui forment une base directe.

Base directe	Base indirecte
		$({\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$
		$({\vec {i}},{\vec {k}},{\vec {j}})$
		$({\vec {j}},{\vec {k}},{\vec {i}})$
		$({\vec {j}},{\vec {i}},{\vec {k}})$
		$({\vec {k}},{\vec {j}},{\vec {i}})$
		$({\vec {k}},{\vec {i}},{\vec {j}})$

Produit vectoriel

Définition géométrique

Définition

Soient ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ deux vecteurs dans l'espace. Le produit vectoriel de ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$, noté ${\vec {u}}\wedge {\vec {v}}$, est :

• ${\vec {0}}$ si ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont colinéaires ;
• sinon : l'unique vecteur ${\vec {w}}$ tel que :
  • ${\vec {w}}$ est orthogonal à ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$,
  • $\|{\vec {w}}\|=\|{\vec {u}}\|\ \|{\vec {v}}\|\ \left|\sin({\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}})\right|$,
  • la base $({\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}})$ est directe.

Exemples

Point ajouté pour une réponse juste :
Point retiré pour une réponse incorrecte :
Ignorer les coefficients des questions :

Dans un repère orthonormé direct $(O,{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$, calculer avec cette définition :

${\vec {i}}$	$-{\vec {i}}$	${\vec {j}}$	$-{\vec {j}}$	${\vec {k}}$	$-{\vec {k}}$
						${\vec {i}}\wedge {\vec {j}}$
						${\vec {i}}\wedge {\vec {k}}$
						${\vec {j}}\wedge {\vec {i}}$
						${\vec {j}}\wedge {\vec {k}}$
						${\vec {k}}\wedge {\vec {i}}$
						${\vec {k}}\wedge {\vec {j}}$

Animation

Plus l'angle entre les deux vecteurs de départ est proche d'un angle droit, plus la norme du produit vectoriel est grande. Plus cet angle est petit, ou proche de 180°, plus le produit vectoriel est proche de zéro.

Premières propriétés

CNS de nullité du produit vectoriel

Pour tous vecteurs ${\vec {u}},{\vec {v}}$ de l'espace, ${\vec {u}}\wedge {\vec {v}}={\vec {0}}$ (si et) seulement si ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont colinéaires.

Antisymétrie

Pour tous vecteurs ${\vec {u}},{\vec {v}}$ de l'espace, ${\vec {v}}\wedge {\vec {u}}=-{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}$.

Caractérisation algébrique

Début d’un théorème

Théorème

Soient ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ deux vecteurs et $B$ une base orthonormée directe.

Pour tout vecteur ${\vec {x}}$, le déterminant de $({\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {x}})$ dans $B$ est égal au produit scalaire de ${\vec {u}}\wedge {\vec {v}}$ par ${\vec {x}}$ :

$\forall {\vec {x}}\quad \det _{B}({\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {x}})=({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {x}}$.

Fin du théorème

Démonstration

Remarquons d'abord que l'application ${\vec {x}}\mapsto \det _{B}({\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {x}})$ est à valeurs réelles et linéaire, donc il existe un unique vecteur ${\vec {w}}$ tel que :

$\forall {\vec {x}}\quad \det _{B}({\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {x}})={\vec {w}}\cdot {\vec {x}}$.

Il faut vérifier que ce vecteur ${\vec {w}}$ satisfait les trois conditions de la définition géométrique.

• Si ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont colinéaires, c'est immédiat.
• Sinon, l'équation ci-dessus donne :
  • pour ${\vec {x}}$ égal à ${\vec {u}}$ ou à ${\vec {v}}$ : ${\vec {w}}\cdot {\vec {u}}={\vec {w}}\cdot {\vec {v}}=0$, ce qui garantit la première condition,
  • pour ${\vec {x}}$ égal à ${\vec {w}}$ : $\det _{B}({\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}})=\|{\vec {w}}\|^{2}>0$, ce qui assure la troisième condition, mais aussi la deuxième car par ailleurs, $\left|\det _{B}({\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}})\right|$ est égal au volume du parallélépipède appuyé sur les trois vecteurs ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}$, c'est-à-dire au produit de la hauteur, $\|{\vec {w}}\|$, par l'aire de la base, $\|{\vec {u}}\|\ \|{\vec {v}}\|\ \left|\sin({\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}})\right|$.

 

Remarque

Le nombre $[{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {x}}]:=\det _{B}({\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {x}})$, appelé le produit mixte de $({\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {x}})$, est indépendant du choix de la base orthonormée directe $B$.

On déduit immédiatement du théorème :

Bilinéarité

Soient ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}$ trois vecteurs de l'espace et $\lambda$ un réel.

• $(\lambda {\vec {u}})\wedge {\vec {v}}=\lambda ({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})$.
• $({\vec {u}}+{\vec {v}})\wedge {\vec {w}}={\vec {u}}\wedge {\vec {w}}+{\vec {v}}\wedge {\vec {w}}$.

La bilinéarité inclut aussi les propriétés ${\vec {v}}\land (\lambda {\vec {u}})=\lambda ({\vec {v}}\land {\vec {u}})$ et ${\vec {w}}\land ({\vec {u}}+{\vec {v}})={\vec {w}}\wedge {\vec {u}}+{\vec {w}}\wedge {\vec {v}}$ mais nous sommes dispensés de les énoncer dans le corollaire, puisqu'elles se déduisent de celui-ci et de l'antisymétrie.

Calcul pratique avec les coordonnées

Début d’un théorème

Théorème

Soient ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ deux vecteurs, dont les coordonnées dans une base orthonormée directe sont respectivement ${\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{pmatrix}}$ et ${\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}$.

Alors les coordonnées de ${\vec {u}}\land {\vec {v}}$ sont ${\begin{pmatrix}u_{y}v_{z}-u_{z}v_{y}\\u_{z}v_{x}-u_{x}v_{z}\\u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}\end{pmatrix}}$.

Fin du théorème

Démonstration

D'après la caractérisation algébrique (voir supra), les coordonnées ${\begin{pmatrix}w_{x}\\w_{y}\\w_{z}\end{pmatrix}}$ de ${\vec {u}}\land {\vec {v}}$ vérifient :

$\forall (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}\quad w_{x}a+w_{y}b+w_{z}c={\begin{vmatrix}u_{x}&v_{x}&a\\u_{y}&v_{y}&b\\u_{z}&v_{z}&c\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}u_{y}&v_{y}\\u_{z}&v_{z}\end{vmatrix}}a-{\begin{vmatrix}u_{x}&v_{x}\\u_{z}&v_{z}\end{vmatrix}}b+{\begin{vmatrix}u_{x}&v_{x}\\u_{y}&v_{y}\end{vmatrix}}c$

donc

$w_{x}={\begin{vmatrix}u_{y}&v_{y}\\u_{z}&v_{z}\end{vmatrix}}=u_{y}v_{z}-u_{z}v_{y}$,

$w_{y}=-{\begin{vmatrix}u_{x}&v_{x}\\u_{z}&v_{z}\end{vmatrix}}=u_{z}v_{x}-u_{x}v_{z}$ et

$w_{z}={\begin{vmatrix}u_{x}&v_{x}\\u_{y}&v_{y}\end{vmatrix}}=u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}$.

 

Méthode

Début d’un principe

Calcul pratique des coordonnées

Il est difficile de retenir l’ordre des indices. Par contre, il est très simple de retenir la manipulation qui permet de le retrouver. Nous choisissons de l'appeler un « calcul en $\gamma$ ».

• On écrit côte à côte les deux vecteurs ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ dont on veut faire le produit vectoriel.
• On réécrit u_x en-dessous de u_z et v_x en-dessous de v_z
• Pour obtenir la coordonnée suivant x de ${\vec {w}}={\vec {u}}\wedge {\vec {v}}$ :
  • on « cache » u_x et v_x
  • on suit le parcours bleu en faisant (premier terme fois deuxième terme) moins (troisième terme fois quatrième terme). On peut rapprocher le sens de parcours de la boucle bleue à la manière dont on écrit la lettre $\gamma$, ce qui explique notre choix du nom (inédit) de « calcul en $\gamma$ ».

• Pour obtenir les autres coordonnées, on procède de la même manière.
• Pour avoir y, on « cache » les coordonnées suivant y et on effectue le « calcul en $\gamma$ ».

• Pour avoir z, on « cache » les coordonnées suivant z et on effectue le « calcul en $\gamma$ ».

Fin du principe

Exemples

Les coordonnées sont données dans une base orthonormée directe. Calculez les produits vectoriels suivants.

Dans votre réponse, les éventuelles fractions doivent être entrées totalement simplifiées et présentées sous la forme a/b et le signe moins qui précède éventuellement les nombres ne doit pas en être séparé par une espace.

Point ajouté pour une réponse juste :
Point retiré pour une réponse incorrecte :
Ignorer les coefficients des questions :

1 ${\begin{pmatrix}1\\-2\\5\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{pmatrix}}$

ux=

uy=

uz=

2 ${\begin{pmatrix}7\\3\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{pmatrix}}$

ux=

uy=

uz=

3 ${\begin{pmatrix}7\\3\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{pmatrix}}$

ux=

uy=

uz=

4 Calculer le résultat en fonction de R : ${\begin{pmatrix}7\\3\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}-1\\5\\R\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{pmatrix}}$

ux= R +

uy= R +

uz= R +