Produit vectoriel/Avancé

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Chapitre no 1
Leçon : Produit vectoriel
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Orientation de l'espaceModifier

Orientation des basesModifier

Cette « définition » est courante en physique mais n'a aucun sens mathématique. Il faut lui substituer la suivante :

Un tel choix revient à décider, pour une base particulière, si elle est directe ou indirecte. Lorsque l'espace possède une base canonique, l'« orientation canonique » est celle pour laquelle cette base est directe.

ExemplesModifier

  

Dans un repère orthonormé direct  , donner les triplets qui forment une base directe.

Base directeBase indirecte
 
 
 
 
 
 


Produit vectorielModifier

Définition géométriqueModifier


ExemplesModifier

  

Dans un repère orthonormé direct  , calculer avec cette définition :

      
 
 
 
 
 
 

AnimationModifier

Plus l'angle entre les deux vecteurs de départ est proche d'un angle droit, plus la norme du produit vectoriel est grande. Plus cet angle est petit, ou proche de 180°, plus le produit vectoriel est proche de zéro.

Premières propriétésModifier


Caractérisation algébriqueModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème
Remarque
Le nombre  , appelé le produit mixte de  , est indépendant du choix de la base orthonormée directe  .

On déduit immédiatement du théorème :

La bilinéarité inclut aussi les propriétés   et   mais nous sommes dispensés de les énoncer dans le corollaire, puisqu'elles se déduisent de celui-ci et de l'antisymétrie.

Calcul pratique avec les coordonnéesModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

MéthodeModifier

Début d’un principe
Fin du principe


ExemplesModifier

Les coordonnées sont données dans une base orthonormée directe. Calculez les produits vectoriels suivants.

  Dans votre réponse, les éventuelles fractions doivent être entrées totalement simplifiées et présentées sous la forme a/b et le signe moins qui précède éventuellement les nombres ne doit pas en être séparé par une espace.

  

1  

ux=

uy=

uz=

2  

ux=

uy=

uz=

3  

ux=

uy=

uz=

4 Calculer le résultat en fonction de R :  

ux=

R +

uy=

R +

uz=

R +