Réduction des endomorphismes/Sous-espaces stables

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$E$ est un espace vectoriel.

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Définition

Définition : Sous-espace stable par un endomorphisme

Soit $\varphi \in \mathrm {L} (E)$. Un sous-espace $F$ de $E$ est dit stable par $\varphi$ si $\varphi (F)\subset F$ , c'est-à-dire :

$\forall x\in F\quad \varphi (x)\in F$.

Dans ce cas, $\varphi$ se restreint en un endomorphisme de $F$ :

${\begin{matrix}F&\to &F\\x&\mapsto &\varphi (x)\end{matrix}}$.

Représentation matricielle

Propriété

Si $E$ est muni d'une base « adaptée à $F$ » (c'est-à-dire une base de $F$ complétée en une base de $E$), la matrice représentative de $\varphi$ peut être notée par blocs

${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$.

Alors, $F$ est stable par $\varphi$ si et seulement si $C=0$, et dans ce cas la matrice de l'endomorphisme induit sur $F$ est $A$.

Lien avec la commutativité

Propriété

Si deux endomorphismes $\varphi _{1}$ et $\varphi _{2}$ commutent, alors le noyau et l'image de l'un sont stables par l'autre.

Démonstration

• Montrons que $\mathrm {Ker} \;\varphi _{2}$ est stable par $\varphi _{1}$.
  Soit $x\in \mathrm {Ker} \;\varphi _{2}$. Alors $\varphi _{2}(\varphi _{1}(x))=\varphi _{1}(\varphi _{2}(x))=\varphi _{1}(0)=0$ (la dernière égalité étant due au fait que $\varphi _{1}$ est linéaire) donc $\varphi _{1}(x)\in \mathrm {Ker} \;\varphi _{2}$.
• Montrons que $\mathrm {Im} \;\varphi _{2}$ est stable par $\varphi _{1}$.
  $\varphi _{1}(\mathrm {Im} \;\varphi _{2})=(\varphi _{1}\circ \varphi _{2})(E)=(\varphi _{2}\circ \varphi _{1})(E)\subset \mathrm {Im} \;\varphi _{2}.$