Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes

Début de la boite de navigation du chapitre

est un corps commutatif et est un -espace vectoriel (de dimension non nécessairement finie). Toutes les notions développées ici peuvent être particularisées aux matrices.

Polynômes d'endomorphismes
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chap. préc. :Sous-espaces stables
Chap. suiv. :Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Réduction des endomorphismes : Polynômes d'endomorphismes
Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définition et premières propriétés

modifier


La propriété de morphisme d'algèbres signifie que :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Idéal annulateur

modifier

C'est bien un idéal, puisque c'est le noyau de  .

On montre dans le cours sur les polynômes que   est un anneau principal, ce qui permet de dire que :

Début d’un théorème
Fin du théorème


(La barre verticale signifie « divise ».) Nous verrons au chapitre suivant que si   est de dimension finie alors   n'est pas nul, ainsi qu'un contre-exemple en dimension infinie.

Lemme des noyaux

modifier
Début d’un théorème
Fin du théorème


On en déduit par récurrence le :

Début d'un lemme
Fin du lemme


Stabilité

modifier

Cela est dû au fait que   et   commutent.