Δ P = 1 a Res ( P , P ′ ) {\displaystyle \Delta _{P}={\frac {1}{a}}\operatorname {Res} (P,P')} . En remplaçant, dans l'expression trouvée pour Res ( P , p X 3 + q X 2 + r X + s ) {\displaystyle \operatorname {Res} (P,pX^{3}+qX^{2}+rX+s)} dans l'exercice 1-1 (ou 3-1), ( p , q , r , s ) {\displaystyle (p,q,r,s)} par ( 4 a , 3 b , 2 c , d ) {\displaystyle (4a,3b,2c,d)} , on en déduit :
Δ P = a 2 d 4 + a [ − 2 b c d 3 + c d 2 ( 4 c 2 − 6 b d ) − d 2 ( 8 c 3 − 18 b c d + 12 a d 2 ) + e ( 16 c 4 − 48 b c 2 d + 18 b 2 d 2 + 32 a c d 2 ) ] + 3 b 3 d 3 + c 2 d 2 ( 9 b 2 − 16 a c ) − d 3 ( − 27 b 3 + 72 a b c − 48 a 2 d ) + e 2 ( 81 b 4 − 288 a b 2 c + 192 a 2 b d + 128 a 2 c 2 ) + b c d 2 ( − 6 b c + 12 a d ) − b d 2 ( − 12 b c 2 + 18 b 2 d + 8 a c d ) + b e ( − 24 b c 3 + 54 b 2 c d + 16 a c 2 d − 60 a b d 2 ) − c d 2 ( 18 b 2 c − 32 a c 2 − 12 a b d ) + c e ( 36 b 2 c 2 − 54 b 3 d + 96 a b c d − 48 a 2 d 2 − 64 a c 3 ) + d e ( − 54 b 3 c + 144 a b c 2 + 36 a b 2 d − 160 a 2 c d ) − 4 b 3 d 3 + 4 b 2 [ 2 c 2 d 2 − d 2 ( 4 c 2 − 6 b d ) + e ( 8 c 3 − 18 b c d + 12 a d 2 ) ] + 4 b [ − 3 b c 2 d 2 − d 3 ( 9 b 2 − 16 a c ) + e 2 ( − 27 b 3 + 72 a b c − 48 a 2 d ) − c d 2 ( − 6 b c + 12 a d ) + c e ( − 12 b c 2 + 18 b 2 d + 8 a c d ) + d e ( 18 b 2 c − 32 a c 2 − 12 a b d ) ] + 16 a c [ − c 2 d 2 + 3 b d 3 + c e ( 4 c 2 − 6 b d ) + e 2 ( 9 b 2 − 16 a c ) + d e ( − 6 b c + 12 a d ) ] + 64 a 2 d [ − d 3 + 2 c d e − 3 b e 2 ] + 256 a 3 e 3 = 256 a 3 e 3 + a 2 [ ( 192 − 4 × 48 − 64 × 3 ) b d e 2 + ( 128 − 16 × 16 ) c 2 e 2 + ( 32 − 48 − 160 + 64 × 2 + 16 × 12 ) c d 2 e + ( 1 − 12 + 48 − 64 ) d 4 ] + a [ ( − 288 + 4 × 72 + 16 × 9 ) b 2 c e 2 + ( 18 − 60 + 36 + 4 × 12 − 4 × 12 ) b 2 d 2 e + ( − 48 + 16 + 96 + 144 + 4 ( 8 − 32 ) − 16 × 6 − 16 × 6 ) b c 2 d e ] + a [ ( − 2 − 6 + 18 − 72 + 12 − 8 + 12 + 4 × 16 − 4 × 12 + 16 × 3 ) b c d 3 + ( 4 − 8 − 16 + 32 − 16 ) c 3 d 2 + ( 16 − 64 + 16 × 4 ) c 4 e ] + b 4 e 2 [ 81 − 4 × 27 ] + b 3 [ ( 54 − 54 − 54 − 4 × 18 + 4 × 18 + 4 × 18 ) c d e + ( 3 + 27 − 18 − 4 + 4 × 6 − 4 × 9 ) d 3 ] + b 2 c 2 [ ( 9 − 6 + 12 − 18 + 4 ( 2 − 4 − 3 + 6 ) ) d 2 + ( − 24 + 36 + 4 ( 8 − 12 ) ) c e ] = 256 a 3 e 3 + a 2 ( − 192 b d e 2 − 128 c 2 e 2 + 144 c d 2 e − 27 d 4 ) + a ( 144 b 2 c e 2 − 6 b 2 d 2 e − 80 b c 2 d e + 18 b c d 3 + 16 c 4 e − 4 c 3 d 2 ) + b 2 ( − 27 b 2 e 2 + 18 b c d e − 4 b d 3 + c 2 ( d 2 − 4 c e ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{P}&=a^{2}d^{4}+a\left[-2bcd^{3}+cd^{2}(4c^{2}-6bd)-d^{2}(8c^{3}-18bcd+12ad^{2})+e(16c^{4}-48bc^{2}d+18b^{2}d^{2}+32acd^{2})\right]\\&\;+3b^{3}d^{3}+c^{2}d^{2}(9b^{2}-16ac)-d^{3}(-27b^{3}+72abc-48a^{2}d)+e^{2}(81b^{4}-288ab^{2}c+192a^{2}bd+128a^{2}c^{2})\\&\;+bcd^{2}(-6bc+12ad)-bd^{2}(-12bc^{2}+18b^{2}d+8acd)+be(-24bc^{3}+54b^{2}cd+16ac^{2}d-60abd^{2})-cd^{2}(18b^{2}c-32ac^{2}-12abd)\\&\;+ce(36b^{2}c^{2}-54b^{3}d+96abcd-48a^{2}d^{2}-64ac^{3})+de(-54b^{3}c+144abc^{2}+36ab^{2}d-160a^{2}cd)-4b^{3}d^{3}\\&\;+4b^{2}\left[2c^{2}d^{2}-d^{2}(4c^{2}-6bd)+e(8c^{3}-18bcd+12ad^{2})\right]\\&\;+4b\left[-3bc^{2}d^{2}-d^{3}(9b^{2}-16ac)+e^{2}(-27b^{3}+72abc-48a^{2}d)-cd^{2}(-6bc+12ad)+ce(-12bc^{2}+18b^{2}d+8acd)+de(18b^{2}c-32ac^{2}-12abd)\right]\\&\;+16ac\left[-c^{2}d^{2}+3bd^{3}+ce(4c^{2}-6bd)+e^{2}(9b^{2}-16ac)+de(-6bc+12ad)\right]\\&\;+64a^{2}d\left[-d^{3}+2cde-3be^{2}\right]+256a^{3}e^{3}\\&\\&=256a^{3}e^{3}+a^{2}\left[(192-4\times 48-64\times 3)bde^{2}+(128-16\times 16)c^{2}e^{2}+(32-48-160+64\times 2+16\times 12)cd^{2}e+(1-12+48-64)d^{4}\right]\\&\;+a\left[(-288+4\times 72+16\times 9)b^{2}ce^{2}+(18-60+36+4\times 12-4\times 12)b^{2}d^{2}e+(-48+16+96+144+4(8-32)-16\times 6-16\times 6)bc^{2}de\right]\\&\;+a\left[(-2-6+18-72+12-8+12+4\times 16-4\times 12+16\times 3)bcd^{3}+(4-8-16+32-16)c^{3}d^{2}+(16-64+16\times 4)c^{4}e\right]\\&\;+b^{4}e^{2}\left[81-4\times 27\right]+b^{3}\left[(54-54-54-4\times 18+4\times 18+4\times 18)cde+(3+27-18-4+4\times 6-4\times 9)d^{3}\right]\\&\;+b^{2}c^{2}\left[(9-6+12-18+4(2-4-3+6))d^{2}+(-24+36+4(8-12))ce\right]\\&\\&=256a^{3}e^{3}+a^{2}(-192bde^{2}-128c^{2}e^{2}+144cd^{2}e-27d^{4})\\&\;+a(144b^{2}ce^{2}-6b^{2}d^{2}e-80bc^{2}de+18bcd^{3}+16c^{4}e-4c^{3}d^{2})+b^{2}(-27b^{2}e^{2}+18bcde-4bd^{3}+c^{2}(d^{2}-4ce)).\end{aligned}}}