Δ
P
=
1
a
Res
(
P
,
P
′
)
{\displaystyle \Delta _{P}={\frac {1}{a}}\operatorname {Res} (P,P')}
. En remplaçant, dans l'expression trouvée pour
Res
(
P
,
p
X
3
+
q
X
2
+
r
X
+
s
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (P,pX^{3}+qX^{2}+rX+s)}
dans l'exercice 1-1 (ou 3-1),
(
p
,
q
,
r
,
s
)
{\displaystyle (p,q,r,s)}
par
(
4
a
,
3
b
,
2
c
,
d
)
{\displaystyle (4a,3b,2c,d)}
, on en déduit :
Δ
P
=
a
2
d
4
+
a
[
−
2
b
c
d
3
+
c
d
2
(
4
c
2
−
6
b
d
)
−
d
2
(
8
c
3
−
18
b
c
d
+
12
a
d
2
)
+
e
(
16
c
4
−
48
b
c
2
d
+
18
b
2
d
2
+
32
a
c
d
2
)
]
+
3
b
3
d
3
+
c
2
d
2
(
9
b
2
−
16
a
c
)
−
d
3
(
−
27
b
3
+
72
a
b
c
−
48
a
2
d
)
+
e
2
(
81
b
4
−
288
a
b
2
c
+
192
a
2
b
d
+
128
a
2
c
2
)
+
b
c
d
2
(
−
6
b
c
+
12
a
d
)
−
b
d
2
(
−
12
b
c
2
+
18
b
2
d
+
8
a
c
d
)
+
b
e
(
−
24
b
c
3
+
54
b
2
c
d
+
16
a
c
2
d
−
60
a
b
d
2
)
−
c
d
2
(
18
b
2
c
−
32
a
c
2
−
12
a
b
d
)
+
c
e
(
36
b
2
c
2
−
54
b
3
d
+
96
a
b
c
d
−
48
a
2
d
2
−
64
a
c
3
)
+
d
e
(
−
54
b
3
c
+
144
a
b
c
2
+
36
a
b
2
d
−
160
a
2
c
d
)
−
4
b
3
d
3
+
4
b
2
[
2
c
2
d
2
−
d
2
(
4
c
2
−
6
b
d
)
+
e
(
8
c
3
−
18
b
c
d
+
12
a
d
2
)
]
+
4
b
[
−
3
b
c
2
d
2
−
d
3
(
9
b
2
−
16
a
c
)
+
e
2
(
−
27
b
3
+
72
a
b
c
−
48
a
2
d
)
−
c
d
2
(
−
6
b
c
+
12
a
d
)
+
c
e
(
−
12
b
c
2
+
18
b
2
d
+
8
a
c
d
)
+
d
e
(
18
b
2
c
−
32
a
c
2
−
12
a
b
d
)
]
+
16
a
c
[
−
c
2
d
2
+
3
b
d
3
+
c
e
(
4
c
2
−
6
b
d
)
+
e
2
(
9
b
2
−
16
a
c
)
+
d
e
(
−
6
b
c
+
12
a
d
)
]
+
64
a
2
d
[
−
d
3
+
2
c
d
e
−
3
b
e
2
]
+
256
a
3
e
3
=
256
a
3
e
3
+
a
2
[
(
192
−
4
×
48
−
64
×
3
)
b
d
e
2
+
(
128
−
16
×
16
)
c
2
e
2
+
(
32
−
48
−
160
+
64
×
2
+
16
×
12
)
c
d
2
e
+
(
1
−
12
+
48
−
64
)
d
4
]
+
a
[
(
−
288
+
4
×
72
+
16
×
9
)
b
2
c
e
2
+
(
18
−
60
+
36
+
4
×
12
−
4
×
12
)
b
2
d
2
e
+
(
−
48
+
16
+
96
+
144
+
4
(
8
−
32
)
−
16
×
6
−
16
×
6
)
b
c
2
d
e
]
+
a
[
(
−
2
−
6
+
18
−
72
+
12
−
8
+
12
+
4
×
16
−
4
×
12
+
16
×
3
)
b
c
d
3
+
(
4
−
8
−
16
+
32
−
16
)
c
3
d
2
+
(
16
−
64
+
16
×
4
)
c
4
e
]
+
b
4
e
2
[
81
−
4
×
27
]
+
b
3
[
(
54
−
54
−
54
−
4
×
18
+
4
×
18
+
4
×
18
)
c
d
e
+
(
3
+
27
−
18
−
4
+
4
×
6
−
4
×
9
)
d
3
]
+
b
2
c
2
[
(
9
−
6
+
12
−
18
+
4
(
2
−
4
−
3
+
6
)
)
d
2
+
(
−
24
+
36
+
4
(
8
−
12
)
)
c
e
]
=
256
a
3
e
3
+
a
2
(
−
192
b
d
e
2
−
128
c
2
e
2
+
144
c
d
2
e
−
27
d
4
)
+
a
(
144
b
2
c
e
2
−
6
b
2
d
2
e
−
80
b
c
2
d
e
+
18
b
c
d
3
+
16
c
4
e
−
4
c
3
d
2
)
+
b
2
(
−
27
b
2
e
2
+
18
b
c
d
e
−
4
b
d
3
+
c
2
(
d
2
−
4
c
e
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{P}&=a^{2}d^{4}+a\left[-2bcd^{3}+cd^{2}(4c^{2}-6bd)-d^{2}(8c^{3}-18bcd+12ad^{2})+e(16c^{4}-48bc^{2}d+18b^{2}d^{2}+32acd^{2})\right]\\&\;+3b^{3}d^{3}+c^{2}d^{2}(9b^{2}-16ac)-d^{3}(-27b^{3}+72abc-48a^{2}d)+e^{2}(81b^{4}-288ab^{2}c+192a^{2}bd+128a^{2}c^{2})\\&\;+bcd^{2}(-6bc+12ad)-bd^{2}(-12bc^{2}+18b^{2}d+8acd)+be(-24bc^{3}+54b^{2}cd+16ac^{2}d-60abd^{2})-cd^{2}(18b^{2}c-32ac^{2}-12abd)\\&\;+ce(36b^{2}c^{2}-54b^{3}d+96abcd-48a^{2}d^{2}-64ac^{3})+de(-54b^{3}c+144abc^{2}+36ab^{2}d-160a^{2}cd)-4b^{3}d^{3}\\&\;+4b^{2}\left[2c^{2}d^{2}-d^{2}(4c^{2}-6bd)+e(8c^{3}-18bcd+12ad^{2})\right]\\&\;+4b\left[-3bc^{2}d^{2}-d^{3}(9b^{2}-16ac)+e^{2}(-27b^{3}+72abc-48a^{2}d)-cd^{2}(-6bc+12ad)+ce(-12bc^{2}+18b^{2}d+8acd)+de(18b^{2}c-32ac^{2}-12abd)\right]\\&\;+16ac\left[-c^{2}d^{2}+3bd^{3}+ce(4c^{2}-6bd)+e^{2}(9b^{2}-16ac)+de(-6bc+12ad)\right]\\&\;+64a^{2}d\left[-d^{3}+2cde-3be^{2}\right]+256a^{3}e^{3}\\&\\&=256a^{3}e^{3}+a^{2}\left[(192-4\times 48-64\times 3)bde^{2}+(128-16\times 16)c^{2}e^{2}+(32-48-160+64\times 2+16\times 12)cd^{2}e+(1-12+48-64)d^{4}\right]\\&\;+a\left[(-288+4\times 72+16\times 9)b^{2}ce^{2}+(18-60+36+4\times 12-4\times 12)b^{2}d^{2}e+(-48+16+96+144+4(8-32)-16\times 6-16\times 6)bc^{2}de\right]\\&\;+a\left[(-2-6+18-72+12-8+12+4\times 16-4\times 12+16\times 3)bcd^{3}+(4-8-16+32-16)c^{3}d^{2}+(16-64+16\times 4)c^{4}e\right]\\&\;+b^{4}e^{2}\left[81-4\times 27\right]+b^{3}\left[(54-54-54-4\times 18+4\times 18+4\times 18)cde+(3+27-18-4+4\times 6-4\times 9)d^{3}\right]\\&\;+b^{2}c^{2}\left[(9-6+12-18+4(2-4-3+6))d^{2}+(-24+36+4(8-12))ce\right]\\&\\&=256a^{3}e^{3}+a^{2}(-192bde^{2}-128c^{2}e^{2}+144cd^{2}e-27d^{4})\\&\;+a(144b^{2}ce^{2}-6b^{2}d^{2}e-80bc^{2}de+18bcd^{3}+16c^{4}e-4c^{3}d^{2})+b^{2}(-27b^{2}e^{2}+18bcde-4bd^{3}+c^{2}(d^{2}-4ce)).\end{aligned}}}