En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Matrice de SylvesterRésultant/Exercices/Matrice de Sylvester », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient
P
(
X
)
=
a
X
4
+
b
X
3
+
c
X
2
+
d
X
+
e
{\displaystyle P(X)=aX^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX+e}
, de degré 4 et
Q
(
X
)
=
p
X
3
+
q
X
2
+
r
X
+
s
{\displaystyle Q(X)=pX^{3}+qX^{2}+rX+s}
, de degré 3.
Calculer
Res
(
P
,
Q
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (P,Q)}
par un déterminant de Sylvester.
Solution
Res
(
P
,
Q
)
=
|
a
0
0
p
0
0
0
b
a
0
q
p
0
0
c
b
a
r
q
p
0
d
c
b
s
r
q
p
e
d
c
0
s
r
q
0
e
d
0
0
s
r
0
0
e
0
0
0
s
|
=
a
|
a
0
q
p
0
0
b
a
r
q
p
0
c
b
s
r
q
p
d
c
0
s
r
q
e
d
0
0
s
r
0
e
0
0
0
s
|
−
p
|
b
a
0
p
0
0
c
b
a
q
p
0
d
c
b
r
q
p
e
d
c
s
r
q
0
e
d
0
s
r
0
0
e
0
0
s
|
=
a
e
A
+
a
s
B
+
p
e
C
−
p
s
D
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (P,Q)&={\begin{vmatrix}a&0&0&p&0&0&0\\b&a&0&q&p&0&0\\c&b&a&r&q&p&0\\d&c&b&s&r&q&p\\e&d&c&0&s&r&q\\0&e&d&0&0&s&r\\0&0&e&0&0&0&s\end{vmatrix}}\\&\\&=a{\begin{vmatrix}a&0&q&p&0&0\\b&a&r&q&p&0\\c&b&s&r&q&p\\d&c&0&s&r&q\\e&d&0&0&s&r\\0&e&0&0&0&s\end{vmatrix}}-p{\begin{vmatrix}b&a&0&p&0&0\\c&b&a&q&p&0\\d&c&b&r&q&p\\e&d&c&s&r&q\\0&e&d&0&s&r\\0&0&e&0&0&s\end{vmatrix}}\\&\\&=aeA+asB+peC-psD\end{aligned}}}
avec
A
=
|
a
q
p
0
0
b
r
q
p
0
c
s
r
q
p
d
0
s
r
q
e
0
0
s
r
|
,
B
=
|
a
0
q
p
0
b
a
r
q
p
c
b
s
r
q
d
c
0
s
r
e
d
0
0
s
|
,
C
=
|
b
a
p
0
0
c
b
q
p
0
d
c
r
q
p
e
d
s
r
q
0
e
0
s
r
|
,
D
=
|
b
a
0
p
0
c
b
a
q
p
d
c
b
r
q
e
d
c
s
r
0
e
d
0
s
|
{\displaystyle A={\begin{vmatrix}a&q&p&0&0\\b&r&q&p&0\\c&s&r&q&p\\d&0&s&r&q\\e&0&0&s&r\end{vmatrix}},\quad B={\begin{vmatrix}a&0&q&p&0\\b&a&r&q&p\\c&b&s&r&q\\d&c&0&s&r\\e&d&0&0&s\end{vmatrix}},\quad C={\begin{vmatrix}b&a&p&0&0\\c&b&q&p&0\\d&c&r&q&p\\e&d&s&r&q\\0&e&0&s&r\end{vmatrix}},\quad D={\begin{vmatrix}b&a&0&p&0\\c&b&a&q&p\\d&c&b&r&q\\e&d&c&s&r\\0&e&d&0&s\end{vmatrix}}}
.
Calcul de
A
{\displaystyle A}
Calcul de
B
{\displaystyle B}
Calcul de
C
{\displaystyle C}
Calcul de
D
{\displaystyle D}
Res
(
P
,
Q
)
=
a
e
[
2
a
p
r
s
2
+
a
q
2
s
2
−
3
a
q
r
2
s
+
a
r
4
−
2
b
p
q
s
2
+
b
p
r
2
s
+
2
b
q
2
r
s
−
b
q
r
3
−
c
p
r
3
−
c
q
3
s
+
c
q
2
r
2
−
2
d
p
2
r
s
+
d
p
q
2
s
+
2
d
p
q
r
2
−
d
q
3
r
+
2
e
p
2
q
s
+
e
p
2
r
2
−
3
e
p
q
2
r
+
e
q
4
]
+
a
s
[
a
2
s
3
−
a
b
r
s
2
−
2
a
c
q
s
2
+
a
c
r
2
s
−
2
a
d
p
s
2
+
3
a
d
q
r
s
−
a
d
r
3
+
a
e
p
r
s
+
a
e
q
2
s
−
a
e
q
r
2
+
b
2
q
s
2
+
b
c
p
s
2
−
b
c
q
r
s
−
2
b
d
q
2
s
+
b
d
q
r
2
−
b
e
p
q
s
−
b
e
p
r
2
+
b
e
q
2
r
−
c
2
p
r
s
+
c
2
q
2
s
+
c
d
p
q
s
+
c
d
p
r
2
−
c
d
q
2
r
−
c
e
p
2
s
+
2
c
e
p
q
r
−
c
e
q
3
+
d
2
p
2
s
−
2
d
2
p
q
r
+
d
2
q
3
]
+
p
e
[
−
a
c
p
s
2
+
2
a
c
q
r
s
−
a
c
r
3
−
a
d
p
r
s
−
a
d
q
2
s
+
a
d
q
r
2
+
a
e
p
q
s
+
a
e
p
r
2
−
a
e
q
2
r
+
b
2
p
s
2
−
2
b
2
q
r
s
+
b
2
r
3
+
b
c
p
r
s
+
b
c
q
2
s
−
b
c
q
r
2
−
2
b
d
p
r
2
+
b
d
q
2
r
−
2
b
e
p
2
s
+
3
b
e
p
q
r
−
b
e
q
3
−
c
2
p
q
s
+
c
2
p
r
2
+
c
d
p
2
s
−
c
d
p
q
r
−
2
c
e
p
2
r
+
c
e
p
q
2
+
d
2
p
2
r
−
d
e
p
2
q
+
e
2
p
3
]
−
p
s
[
a
2
d
s
2
−
a
2
e
r
s
−
2
a
b
c
s
2
+
a
b
d
r
s
+
2
a
b
e
q
s
−
a
b
e
r
2
+
a
c
2
r
s
−
a
c
d
r
2
+
a
c
e
p
s
−
2
a
d
2
p
s
+
a
d
2
q
r
+
2
a
d
e
p
r
−
a
d
e
q
2
−
a
e
2
p
q
+
b
3
s
2
−
b
2
c
r
s
−
2
b
2
d
q
s
+
b
2
d
r
2
−
2
b
2
e
p
s
+
b
2
e
q
r
+
b
c
2
q
s
+
3
b
c
d
p
s
−
b
c
d
q
r
−
b
c
e
q
2
−
2
b
d
2
p
r
+
b
d
2
q
2
+
b
d
e
p
q
+
b
e
2
p
2
−
c
3
p
s
+
c
2
d
p
r
+
c
2
e
p
q
−
c
d
2
p
q
−
2
c
d
e
p
2
+
d
3
p
2
]
=
a
2
(
a
s
4
−
b
r
s
3
−
2
c
q
s
3
+
c
r
2
s
2
−
3
d
p
s
3
+
3
d
q
r
s
2
−
d
r
3
s
+
4
e
p
r
s
2
+
2
e
q
2
s
2
−
4
e
q
r
2
s
+
e
r
4
)
+
a
b
(
b
q
s
3
+
3
c
p
s
3
−
c
q
r
s
2
−
d
p
r
s
2
−
2
d
q
2
s
2
+
d
q
r
2
s
−
5
e
p
q
s
2
+
e
p
r
2
s
+
3
e
q
2
r
s
−
e
q
r
3
)
+
a
c
(
−
2
c
p
r
s
2
+
c
q
2
s
2
+
d
p
q
s
2
+
2
d
p
r
2
s
−
d
q
2
r
s
−
3
e
p
2
s
2
+
4
e
p
q
r
s
−
2
e
p
r
3
−
2
e
q
3
s
+
e
q
2
r
2
)
+
a
d
(
3
d
p
2
s
2
−
3
d
p
q
r
s
+
d
q
3
s
−
5
e
p
2
r
s
+
e
p
q
2
s
+
3
e
p
q
r
2
−
e
q
3
r
)
+
a
e
2
(
4
p
2
q
s
+
2
p
2
r
2
−
4
p
q
2
r
+
q
4
)
+
b
p
[
b
(
−
b
s
3
+
c
r
s
2
+
2
d
q
s
2
−
d
r
2
s
+
3
e
p
s
2
−
3
e
q
r
s
+
e
r
3
)
+
c
(
−
c
q
s
2
−
3
d
p
s
2
+
d
q
r
s
+
e
p
r
s
+
2
e
q
2
s
−
e
q
r
2
)
]
+
b
p
[
d
(
2
d
p
r
s
−
d
q
2
s
−
e
p
q
s
−
2
e
p
r
2
+
e
q
2
r
)
+
e
2
(
−
3
p
2
s
+
3
p
q
r
−
q
3
)
]
+
c
p
2
[
c
(
c
s
2
−
d
r
s
−
2
e
q
s
+
e
r
2
)
+
d
(
d
q
s
+
3
e
p
s
−
e
q
r
)
+
e
2
(
−
2
p
r
+
q
2
)
]
+
d
p
3
(
−
d
2
s
+
d
e
r
−
e
2
q
)
+
e
3
p
4
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (P,Q)&=ae\left[{\begin{aligned}&2aprs^{2}+aq^{2}s^{2}-3aqr^{2}s+ar^{4}\\&-2bpqs^{2}+bpr^{2}s+2bq^{2}rs-bqr^{3}-cpr^{3}-cq^{3}s+cq^{2}r^{2}\\&-2dp^{2}rs+dpq^{2}s+2dpqr^{2}-dq^{3}r+2ep^{2}qs+ep^{2}r^{2}-3epq^{2}r+eq^{4}\end{aligned}}\right]\\&+as\left[{\begin{aligned}&a^{2}s^{3}-abrs^{2}-2acqs^{2}+acr^{2}s-2adps^{2}+3adqrs-adr^{3}+aeprs+aeq^{2}s-aeqr^{2}\\&+b^{2}qs^{2}+bcps^{2}-bcqrs-2bdq^{2}s+bdqr^{2}-bepqs-bepr^{2}+beq^{2}r\\&-c^{2}prs+c^{2}q^{2}s+cdpqs+cdpr^{2}-cdq^{2}r-cep^{2}s+2cepqr-ceq^{3}+d^{2}p^{2}s-2d^{2}pqr+d^{2}q^{3}\end{aligned}}\right]\\&+pe\left[{\begin{aligned}&-acps^{2}+2acqrs-acr^{3}-adprs-adq^{2}s+adqr^{2}+aepqs+aepr^{2}-aeq^{2}r\\&+b^{2}ps^{2}-2b^{2}qrs+b^{2}r^{3}+bcprs+bcq^{2}s-bcqr^{2}-2bdpr^{2}+bdq^{2}r-2bep^{2}s+3bepqr-beq^{3}\\&-c^{2}pqs+c^{2}pr^{2}+cdp^{2}s-cdpqr-2cep^{2}r+cepq^{2}+d^{2}p^{2}r-dep^{2}q+e^{2}p^{3}\end{aligned}}\right]\\&-ps\left[{\begin{aligned}&a^{2}ds^{2}-a^{2}ers-2abcs^{2}+abdrs+2abeqs-aber^{2}+ac^{2}rs-acdr^{2}+aceps-2ad^{2}ps+ad^{2}qr+2adepr-adeq^{2}-ae^{2}pq\\&+b^{3}s^{2}-b^{2}crs-2b^{2}dqs+b^{2}dr^{2}-2b^{2}eps+b^{2}eqr+bc^{2}qs+3bcdps-bcdqr-bceq^{2}-2bd^{2}pr+bd^{2}q^{2}+bdepq+be^{2}p^{2}\\&-c^{3}ps+c^{2}dpr+c^{2}epq-cd^{2}pq-2cdep^{2}+d^{3}p^{2}\end{aligned}}\right]\\&\\&=a^{2}(as^{4}-brs^{3}-2cqs^{3}+cr^{2}s^{2}-3dps^{3}+3dqrs^{2}-dr^{3}s+4eprs^{2}+2eq^{2}s^{2}-4eqr^{2}s+er^{4})\\&+ab(bqs^{3}+3cps^{3}-cqrs^{2}-dprs^{2}-2dq^{2}s^{2}+dqr^{2}s-5epqs^{2}+epr^{2}s+3eq^{2}rs-eqr^{3})\\&+ac(-2cprs^{2}+cq^{2}s^{2}+dpqs^{2}+2dpr^{2}s-dq^{2}rs-3ep^{2}s^{2}+4epqrs-2epr^{3}-2eq^{3}s+eq^{2}r^{2})\\&+ad(3dp^{2}s^{2}-3dpqrs+dq^{3}s-5ep^{2}rs+epq^{2}s+3epqr^{2}-eq^{3}r)\\&+ae^{2}(4p^{2}qs+2p^{2}r^{2}-4pq^{2}r+q^{4})\\&+bp\left[b(-bs^{3}+crs^{2}+2dqs^{2}-dr^{2}s+3eps^{2}-3eqrs+er^{3})+c(-cqs^{2}-3dps^{2}+dqrs+eprs+2eq^{2}s-eqr^{2})\right]\\&+bp\left[d(2dprs-dq^{2}s-epqs-2epr^{2}+eq^{2}r)+e^{2}(-3p^{2}s+3pqr-q^{3})\right]\\&+cp^{2}\left[c(cs^{2}-drs-2eqs+er^{2})+d(dqs+3eps-eqr)+e^{2}(-2pr+q^{2})\right]\\&+dp^{3}(-d^{2}s+der-e^{2}q)+e^{3}p^{4}.\end{aligned}}}
On trouve le même résultat que dans l'exercice 1-1.