Résultant/Discriminant d'un polynôme
Les notations de cette définition sont reprises dans la suite de ce chapitre.
Définition
Soit un polynôme de degré et de coefficient dominant .
On suppose de plus que son polynôme dérivé est de degré (ce qui est garanti en caractéristique nulle).
Le discriminant de est alors défini par :
- ,
où sont les racines de et celles de (dans une extension où et sont scindés).
On déduit alors immédiatement du chapitre précédent :
Proposition
- est aussi égal à :
- ;
- ;
- ;
- .
- Il est nul si et seulement si a une racine multiple (dans une extension où il est scindé).
Exemples
Lien externe : Discriminant d'un Polynome - Calcul de Delta Δ en Ligne
De plus :
Démonstration
donc
donc pour tout de à ,
- .
Par conséquent,