Résultant/Matrice de Sylvester
Cette définition est celle, entre autres, de Bourbaki. D'autres auteurs définissent la matrice de Sylvester différemment mais leur déterminant est le même, ce qui est tout ce qui compte pour nous :
La matrice de Sylvester de deux polynômes non nuls de degrés respectifs et ,
- ,
est la matrice carrée d'ordre suivante, dont les premières colonnes dépendent linéairement de et les suivantes de :
- .
Le lemme suivant servira à le démontrer.
est la matrice, dans les bases canoniques, de l'endomorphisme de défini par
où avec et .
Si et alors , or , donc .
Remarquons d'abord que . Par définition du résultant, on se ramène ainsi au cas où et sont unitaires, et il suffit ensuite de montrer l'égalité pour définis par
donc , et pour et :
où désigne le polynôme symétrique élémentaire de degré en variables.
appartient alors à et d'après le lemme, son image dans chacun des quotients est nulle. Il est donc de la forme , avec .
Mais par rapport aux , est en fait un polynôme constant, puisque le degré total de est au plus (quand on développe le déterminant, pour avoir des monômes de degré maximum en les , il faut choisir , de degré , dans chacune des premières colonnes) et que est justement le degré de . Par conséquent, .
Enfin, donc .