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Fermat : La légende urbaine

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La légende urbaine

« Je suis toujours surpris de quoy M. Wallis méprise constamment tout ce qu’il ne sçait pas. » Pierre de FERMAT en 1658.

« Il y a un roman derrière le grand théorème de Fermat, et il est haut en couleur ! » Cédric Villani (“Pour la Science”).

Au fil du temps les mathématiciens se sont de plus en plus désintéressés du théorème de Fermat, d'autant qu'on ne voyait aucune utilité pratique à le prouver. On avait vainement cherché à savoir comment Fermat aurait pu le prouver. En 1961 est publié un livre d'Eric Temple Bell, The Last Problem, qui selon les mots-mêmes de l'auteur, est une double biographie, à la fois d'un théorème et de Pierre Fermat. Comme nous-même, l'auteur écrit que jamais Fermat n'a prétendu avoir démontré que sa fameuse fausse conjecture était vraie, ce qui d'ailleurs est une évidence. Deux ans plus tard, le jeune Andrew Wiles, alors âgé de 10 ans, ne trouvant nulle part dans le livre la preuve de l’exactitude du Dernier Théorème de Fermat, se promet qu’un jour il le prouverait. Puis trente plus tard se produit un événement totalement inattendu, on apprend que Wiles semble tout prêt d'avoir résolu le problème. Le 25 octobre 1994, aidé de Taylor il diffuse sa preuve. Elle n’est qu’un corollaire d’autres découvertes, et surtout d’une complexité inouïe, mais c'est une preuve. En apprenant la nouvelle, Jean Bénabou fit part de sa joie à Jacques Roubaud en ajoutant avec quelque humeur : « C’est comme si on avait conquis l’Everest avec des fusées de la Nasa ». Mais enfin la preuve est là et l'enthousiasme est à la mesure de la découverte, toute la frustration accumulée pendant des siècles est instantanément balayée chez beaucoup de mathématiciens. Pour tous c'est une énorme surprise.

Cette journée du 25 octobre marque le début d’une période assez problématique dans l’historiographie des mathématiques. Puisque le théorème est vrai on pourrait davantage penser qu'auparavant qu'un génie comme Fermat, lui aussi avait pu le prouver avec ses propres outils. Pourtant à partir de ce jour, même s'il a écrit qu’il a « réellement dévoilé une étonnante démonstration », c'est le contraire qui se produit, on relaiera une nouvelle rumeur : puisque la preuve n'a pu être découverte qu’avec des outils très sophistiqués, jamais Fermat n’aurait pu en trouver une avec ses outils. C'est un raisonnement un peu étrange mais on a sa fierté que voulez-vous. Andrew Wiles donna lui aussi du grain à moudre à la rumeur en en rajoutant une couche : « Je pense qu’il s’est trompé en disant qu’il avait une preuve ». Il y a quelque chose de malsain dans ce biais cognitif. Les mathématiciens ont échoué à retrouver la preuve de Fermat mais ils ont maintenant la leur, le prétexte est tout trouvé pour ne plus avoir à chercher (quasiment sans espoir) une preuve beaucoup plus courte bien qu'extrêmement difficile à comprendre. Après le tapage fait en 1994 autour de la découverte de Wiles, comment imaginer que les mathématiciens les plus académiques puissent se remettre en question ? Comment reconnaître que l'exploit magistral de Fermat est autre chose qu'une illusion réservée à d'incurables optimistes ?

Ce qui a suscité un tel engouement quand on apprit que Wiles avait trouvé une preuve, c'est qu'on en cherchait une (plus ou moins) depuis 1670. Comme Jean Bénabou et bien d'autres, je pourrais moi aussi être déçu de la manière dont ce théorème a été prouvé. Si ce 25 octobre 1994 ne fut pas, bien sûr, une tromperie, il y eut comme un énorme malentendu, l'exploit de Wiles n'a rien à voir avec ce qu'on aurait tant souhaité trouver. Non seulement le dernier défi, pour le chercheur honnête, a gardé tout son attrait, tout son charme, mais il est encore plus vivant qu'autrefois, les savants croient s'en être tirés à bon compte alors que la preuve de Fermat leur a complètement échappé. Si ce dernier a pu espérer que son problème tiendrait longtemps en haleine les savants, pouvait-il imaginer qu'un destin malicieux le comblerait au-delà de ses espérances ?

Le mathématicien Harold Edwards voulut vulgariser des mathématiques. Évoquant la conjecture des "nombres de Fermat" il écrivit : « [Fermat] alla même jusqu’à dire, plus tard dans sa vie, qu’il pouvait prouver que ces nombres étaient tous premiers ». Quand Fermat écrit : « J’ai ensuite considéré certaines questions », Edwards tombe droit dans le piège de Fermat et interprète : « J'ai ensuite prouvé certaines propositions. ». Eric Temple Bell, lui aussi mathématicien, comme Edwards avait à cœur d'attirer des gens vers les mathématiques ; voici ce qu'il écrit dans son livre The Last Problem, publié en1961, quelques mois après sa mort.

« Fermat a déclaré qu'il pensait que la proposition était vraie, mais n'a jamais prétendu nulle part l'avoir prouvée. Il est temps que les déclarations erronées dans certaines histoires mathématiques soient corrigées – même au prix d'imprimer tout ce que Fermat a dit dans son propre langage. [...]. »

Dans la lettre bilan de Fermat à Carcavi pour Huygens, où il ne fait toujours aucune allusion au grand théorème, il termine par ces mots : « Et peut-être la postérité me saura gré de lui avoir fait connaître que les Anciens n’ont pas tout su, et cette relation pourra passer dans l’esprit de ceux qui viendront après moi pour traditio lampadis ad filios, comme parle le grand Chancelier d’Angleterre, suivant le sentiment et la devise duquel j’adouterai, multi pertransibunt et augebitur sciencia^(*)».

(*) « Ils seront nombreux à aller au-delà, et la connaissance en sera accrue. »

En 1976, dans son ouvrage Fermat's Last Theorem - A Generic Introduction to Algebraic Number Theory (page 38), Edwards discourt d’une étrange façon à propos de cette lettre : « Au contraire, à notre époque, l'attitude générale est que les Anciens ne savaient rien du tout. » Cette appréciation est tout sauf intelligente, Fermat n'a jamais prétendu que les Anciens savaient tout, Edwards sort une phrase de son contexte et oublie quand même beaucoup de choses, par exemple que les Babyloniens, il a 4000 ans, savaient qu'on pouvait déterminer la valeur de ${\sqrt {2}}$ avec une précision proche du millionième (voir Wikipedia, YBC 7289). Ne trouvez-vous pas que des scientifiques peuvent parfois faire preuve d'une arrogance choquante ? C'est ici l'exemple-type du bon mathématicien – sans plus – qui pour tenter de se mettre au niveau des plus grands et leur montrer qu'il existe, tente de nuire à la réputation d'un génie qui n'est plus là pour se défendre.

On peut énoncer une formule générale pour disqualifier Pierre de Fermat, “Juge” et mathématicien.
1. Écrire un livre ou un article sur la théorie des nombres en rappelant tous les apports de Fermat.
2. Lui attribuer de belles qualités (esprit pénétrant, etc.).
3. Faire une remarque négative à son sujet. La plus fréquente concerne la fausse conjecture des "nombres de Fermat", formulée ici par Edwards : « Cet incident semble être la seule tache sérieuse (the one serious smirch) sur la réputation de Fermat en tant que théoricien des nombres. »
4. Pour finir remercier Fermat.
L’historien Jean Itard a utilisé avant lui (1950) ce procédé mais en inversant les points 3 et 4 et en étant assez méchant.

Au fond, c'est surtout le fait que Fermat aurait pu trouver une preuve avec ses propres outils, que des mathématiciens ont du mal à concevoir. Si obsédé par son désir de généralité, il n'a jamais évoqué ailleurs que dans cette note le théorème général, on sait qu'il l'a toujours eu présent à l’esprit. Il affirme détenir une preuve, pourtant il n'en parle jamais de son vivant, n'y fait même jamais allusion. Dans cette affaire digne d'un roman à suspense il fait preuve d’une maîtrise et d’une virtuosité confondantes, brouillant les pistes d'un côté, de l'autre laissant d'innombrables indices. Qu'il ait révélé à l’intention de ses seuls suiveurs un début d'explication à l’aide de trois lignes et demie d’écriture latine – même s’il (Pierre + Samuel) les a écrites différemment (à peine) dans trois versions de l’édition de 1670 – participe du sublime. La seule édition consultable à Zurich, sans anomalie trop flagrante (à part dans le premier mot), n'aurait sans doute pas permis un décryptage, d'autant que l'usage du latin s'est raréfié au cours du XIX^e siècle. L'édition de Lyon aurait suffi (elle a suffi à Roland Franquart), celle de Rome, la plus révélatrice (detexis camouflé → « tu tisses complètement  »), la plus excentrique aussi, est d'une force moindre mais confirme le décryptage effectué par R. Franquart. Les deux particularités sur le même mot, dans deux éditions différentes, se renforcent mutuellement, et encore davantage quand elles sont ajoutées aux cinq autres dans l'«OBSERVATIO», et toujours plus quand elles sont ajoutées à celles présentes dans sa correspondance.

Certains commentateurs ont été animés d'une compulsion d'avoir toujours raison. D'où vient cette incapacité à se défaire de ses préjugés les plus ancrés ? Cette crainte terrible d'avoir tort, quelle pourrait en être la cause première ? Cette peur de perdre un moi alimenté par des décennies de méconnaissance de soi, qui a façonné une personnalité rigide, les rend inaptes à une analyse rigoureuse et les place dans une position de défense agressive très rassurante pour l'égo. Ils continuent ainsi d'alimenter les rumeurs les plus triviales, incapables d'admettre, et de comprendre, qu'ils ont été bernés de la plus subtile des manières par Fermat. Dans le passé déjà « des mathématiciens qui avaient fait de vains efforts pour démontrer les théorèmes trouvés par Fermat ont voulu jeter quelque doute sur la réalité des démonstrations qu’il déclarait posséder, et ils ont supposé que ce grand géomètre était parvenu à certains résultats plutôt par induction et un peu au hasard que par une analyse rigoureuse de la question » (Libri).

À moins d'avoir pris le temps d'étudier cette énigme, et sa très longue histoire, avec tout le discernement requis et un esprit critique en constante alerte, il est difficile de comprendre comment des intellects français ont pu prétendre dépasser en intelligence le plus grand génie mathématicien du dix-septième siècle, leur compatriote qui plus est. Ainsi de René Descartes, qui ne pouvait suivre Fermat et le jalousait, et dont l'anagramme Tendre caresse témoigne ration-elle-ment de sa jalousie envers Fermat. Les mathématiciens français ont été, et sont toujours, les plus responsables de cette imposture scientifique. Jusque dans l'histoire du théorème qui a généré le plus d'études au monde, ce sont encore trois Français, Descartes, Weil et Itard qui ont été les plus méprisants. Cette histoire ressemble à une assemblée de coqs de village en lutte contre le plus grand génie mathématique de la nation (peut-être aussi du monde si l'on suit Pascal), pour savoir lequel est réellement le plus intelligent. Si nous étions un peu méchant à notre tour nous dirions que le professeur de mathématiques Jean Itard, qui n'était ni un savant ni un chercheur, est certainement celui qui a été le plus intelligent. Mais nous ne le dirons pas. Et si l'on sait répondre à cette question : « Pourquoi les mathématiciens français sont-ils ceux qui ont été les plus méprisants envers Fermat ? » on comprendra mieux que l'obstination des contempteurs a de beaux jours devant elle. Et à qui se demanderait quelle apogée pourrait atteindre un jour une légende urbaine aussi enracinée et aussi nécessaire aux besoins des demi-habiles, nous répondrons simplement : un silence assourdissant.

L’esprit de géométrie et l’esprit de finesse (Blaise Pascal)

« C'est une maladie naturelle à l'homme de croire qu'il possède la vérité directement ; et de là vient qu'il est toujours disposé à nier tout ce qui lui est incompréhensible ; […]. » Pascal, De l’esprit géométrique in Œuvres complètes

« En l’un [l'esprit de géométrie] les principes [axiomes, définitions...] sont palpables mais éloignés de l’usage commun, de sorte qu’on a peine à tourner la tête de ce côté‑là, manque d’habitude. Mais pour peu qu’on l’y tourne, on voit les principes à plein, et il faudrait avoir tout à fait l’esprit faux pour mal raisonner sur des principes si gros qu’il est presque impossible qu’ils échappent.
Mais dans l’esprit de finesse les principes [les observations...] sont dans l’usage commun et devant les yeux de tout le monde. On n’a que faire de tourner la tête ni de se faire violence, il n’est question que d’avoir bonne vue. Mais il faut l’avoir bonne, car les principes sont si déliés et en si grand nombre, qu’il est presque impossible qu’il n’en échappe. Or l’omission d’un principe mène à l’erreur. Ainsi il faut avoir la vue bien nette pour voir tous les principes, et ensuite l’esprit juste pour ne pas raisonner faussement sur des principes connus.
Tous les géomètres seraient donc fins s’ils avaient la vue bonne, car ils ne raisonnent pas faux sur les principes qu’ils connaissent. Et les esprits fins seraient géomètres s’ils pouvaient plier leur vue vers les principes inaccoutumés de géométrie.
Ce qui fait donc que de certains esprits fins ne sont pas géomètres, c’est qu’ils ne peuvent du tout se tourner vers les principes de géométrie. Mais ce qui fait que des géomètres ne sont pas fins, c’est qu’ils ne voient pas ce qui est devant eux et qu’étant accoutumés aux principes nets et grossiers de géométrie, et à ne raisonner qu’après avoir bien vu et manié leurs principes, ils se perdent dans les choses de finesse où les principes ne se laissent pas ainsi manier. On les voit à peine, on les sent plutôt qu’on ne les voit, on a des peines infinies à les faire sentir à ceux qui ne les sentent pas d’eux‑mêmes. Ce sont choses tellement délicates, et si nombreuses, qu’il faut un sens bien délicat et bien net pour les sentir et juger droit et juste selon ce sentiment, sans pouvoir le plus souvent le démontrer par ordre comme en géométrie, parce qu’on n’en possède pas ainsi les principes, et que ce serait une chose infinie de l’entreprendre. Il faut tout d’un coup voir la chose d’un seul regard, et non pas par progrès de raisonnement, au moins jusqu’à un certain degré. Et ainsi il est rare que les géomètres soient fins et que les fins soient géomètres, à cause que les géomètres veulent traiter géométriquement ces choses fines et se rendent ridicules, voulant commencer par les définitions et ensuite par les principes, ce qui n’est pas la manière d’agir en cette sorte de raisonnement. Ce n’est pas que l’esprit ne le fasse mais il le fait tacitement, naturellement et sans art [sans besoin de règles], car l’expression en passe tous les hommes, et le sentiment n’en appartient qu’à peu d’hommes.
Et les esprits fins au contraire, ayant ainsi accoutumé à juger d’une seule vue, sont si étonnés quand on leur présente des propositions où ils ne comprennent rien, et où pour entrer il faut passer par des définitions et des principes si stériles, qu’ils n’ont point accoutumé de voir ainsi en détail, qu’ils s’en rebutent et s’en dégoûtent.
Mais les esprits faux ne sont jamais ni fins ni géomètres.
Les géomètres qui ne sont que géomètres ont donc l’esprit droit, mais pourvu qu’on leur explique bien toutes choses par définitions et principes ; autrement ils sont faux et insupportables, car ils ne sont droits que sur les principes bien éclaircis.
Et les fins qui ne sont que fins ne peuvent avoir la patience de descendre jusque dans les premiers principes des choses spéculatives [i.e. abstraites] et d’imagination qu’ils n’ont jamais vues dans le monde, et tout à fait hors d’usage. »

Un léger désaccord

Blaise Pascal écrivant à Pierre Fermat :

« Voilà, monsieur, tout l’état de ma vie présente, dont je suis obligé de vous rendre compte, pour vous assurer de l’impossibilité où je suis de recevoir l’honneur que vous daignez m’offrir, et que je souhaite de tout mon cœur de pouvoir un jour reconnaître, ou en vous, ou en messieurs vos enfants, auxquels je suis tout dévoué ayant une vénération particulière pour ceux qui portent le nom du premier homme du monde. »

Jean Itard en 1950 :

« Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème pour un exposant supérieur ou égal à cinq. »

Moralité

Quand un scientifique, un politicien, un philosophe, multiplie articles et plateaux télé pour tenter de faire croire que ce qu’il affirme est la vérité vraie, il est important de chercher les raisons personnelles qu'il a pu avoir pour diffuser le plus largement possible sa théorie. Qui connaît bien la nature humaine comprendra que jamais rien ne viendra ébranler la satisfaction de la communauté académique d’avoir « conquis l’Everest », fusse par une température très clémente et en chemisette.

Dans tous les domaines de la connaissance, lorsqu’une armée d’«experts» professionnels se déchaîne contre un petit groupe d’experts indépendants, donc sans conflit d’intérêt, et que l’on perçoit chez ces derniers un accent de vérité, il faut prendre le temps nécessaire pour mener sa propre enquête. Plus longtemps on aura effectué cette enquête, plus l’esprit de discernement se sera affiné.

Par le plus grand des hasards, le jour de mon anniversaire, en mai 2011, je rencontrai au cours d'une randonnée une mathématicienne (le printemps est l'époque où les intellectuels aiment prendre l'air) chez qui je perçus les compétences et l’autorité d'une professionnelle. Nous discutions de choses et d'autres, l'ambiance générale était sympathique. À un moment je me risque à l’informer des découvertes de R. Franquart et lui fournis le lien web adéquat. Puis je lui dis (c’était le sens en tout cas) : « Nos mathématiciens disposent d’outils très complexes, ils sont peu enclins, comme le faisaient les Anciens, comme le faisaient Fermat ou Pascal, à jongler avec les notions les plus fondamentales. » Elle me répliqua, outrée : « Oh non ! » La suite de ses réponses à mes questions fut un royal enfumage. Je n’ai pas insisté. Je suis encore à ce jour estomaqué (de moins en moins cependant) que l'immense mathématicien qu'était André Weil ait cru bon de nier absolument que Fermat ait pu avoir une preuve, avec un argument aussi sot et irréfléchi que celui-ci : « How could he have guessed that he was writing for eternity? » (‘’An approach through history from Hammurapi to Legendre‘’, 2010, p. 104). En français :

« Comment aurait-il pu deviner qu’il écrivait pour l’éternité ? »

Cette déclaration est extraordinaire, si l'on suit André Weil les 48 Observations de Fermat auraient été destinées à son seul usage et il aurait éprouvé le besoin de s'expliquer à lui-même qu'il a prouvé ces théorèmes – en prétextant à 4 reprises, dans ses 48 notes, le manque de place pour ne pas livrer toutes ses démonstrations, et en les qualifiant à 6 reprises d'admirables, de très belles ou de très difficiles. C'est en employant les mêmes adjectifs qu'il évoque ses découvertes dans sa correspondance. Dans une lettre à Mersenne du 3 juin 1636 le mot admirable revient même 2 fois dans 2 lignes successives. Il est vrai qu'André Weil avait une très haute estime de lui-même. Vis-à-vis de Grothendieck par exemple, de l'aveu même de ce dernier, il n'a pas été vraiment bienveillant. Quand le prestige personnel est en jeu on n'est parfois pas très tendres entre savants. Il y a une ironie amusante à observer qu'André Weil utilise une expression qu'on peut reprendre à notre compte de cette façon : Il est probable que la croyance des Modernes selon laquelle Fermat n'avait pas de preuve restera vivante pour l'éternité.

On notera que « dans sa jeunesse André WEIL espérait la démontrer [la conjecture de Fermat] avant la date du centenaire et la publier en 1959. Il a éclaté de rire le jour où, après la publication de ses Œuvres complètes, je lui ait fait observer que s’il en trouvait finalement une démonstration en quinze pages, Springer-Verlag serait obligé d’ajouter un très mince volume à son édition. » (Roger Godement, Analyse mathématique IV, Ed. Springer-Verlag, 2003, p 281, note 4). Pour mémoire, il a suffi de deux pages à Fermat, ou plutôt trois lignes et demie. Moralité : le sourire est plus spirituel que le rire. « Il est vrai que le regard intérieur ne fait malheureusement pas partie de l’épistémologie scientifique actuelle ». André Weil fut l'un des mathématiciens qui par leurs travaux ont considérablement aidé celui de Wiles. Il ne pouvait qu’être fier d’avoir contribué à la preuve trouvée en 1994 par ce dernier. De là à sous-estimer les capacités de Fermat il n'y a qu'un pas. L'historien Jean Itard quant à lui s’en était pris à Fermat en 1950 (année de ma naissance ) avec cette affirmation cassante et péremptoire : « Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème ». Bonjour l'ambiance.

Citons Évariste Galois (1811-1832) :
« Je rêve d'un jour où l'égoïsme ne régnera plus dans les sciences, où on s'associera pour étudier ; au lieu d'envoyer aux académiciens des plis cachetés, on s'empressera de publier ses moindres observations pour peu qu'elles soient nouvelles, et on ajoutera ‘’je ne sais pas le reste’’. »

Et Simon Singh :
« Le culte du secret chez les mathématiciens parisiens était une tradition qui remontait aux cossistes du seizième siècle. Ceux-ci étaient des experts en calculs divers employés par les marchands et les hommes d’argent pour résoudre leurs problèmes de comptabilité. […]. Quand le mathématicien et philosophe Marin MERSENNE arriva à Paris, il résolut de combattre la conspiration du silence et tenta de persuader les mathématiciens d’échanger leurs idées et de se servir les uns des idées des autres. Il organisa des rencontres régulières entre eux et son groupe constitua même le noyau de l’Académie des sciences. »

Fermat par sa célèbre observation a laissé aux savants ce qu’ils ont pris pour une forfanterie – voire une galéjade, même si, étant en effet une magnifique preuve magistralement codée, elle n'en est pas moins une galéjade tout aussi magnifique. J'ai toutes les raisons de penser qu'il a exploré, et réussi à suivre jusqu'au bout, la piste complètement inattendue du triangle arithmétique, à laquelle avait déjà pensé Laurent Hua, mais du point de vue de la géométrie. C’est en quittant ce monde, nous laissant sa plus célèbre observation, que 5 ans plus tard grâce à son fils, Fermat entra dans la légende. Un savant qui, mieux que tout autre mathématicien, avait compris l'impérieuse nécessité de mettre toute sa confiance dans la raison.

Le site de Roland Franquart, franquart.fr
Cette étude est comme un devoir de mémoire. Sur mon ancien site personnel je pouvais voir dans les statistiques de consultation qu'en juin 2021 les États-Unis étaient passés devant la Chine où elle était vue très régulièrement. Je suis quand même un peu étonné des fréquentes consultations par la Chine même si la calligraphie chinoise, très complexe, est aussi très symbolique. Les Chinois sont des gens très subtils et fort habiles, et les scientifiques y sont anglophones. Après les États-Unis venaient la France, la Chine, le Canada et 16 autres pays. Un mauvais point pour le Japon, avec très peu de visites, et surtout pour la Grande-Bretagne, mais cela, on le comprend aisément . Il y avait en moyenne 2 visites par jour. Il est arrivé qu'il y ait 10 ou 12 visites le même jour. Peut-être des étudiants qui se passent le mot ?

Fermat lança parmi les âges
un court et merveilleux message
qui sans besoin de tant de pages
instruira fort tout homme sage

Un jour conclurait-on ces pages ?
Non ! Fi des images ! Et fi des pages !
Insensés ! Fous ! qui ne voyez au voisinage
que des histoires d’un autre âge.
Qu’elles soient codages, qu’elles soient messages
elles ne le sont que pour les sages.
Fermat, Ami, si tu es là
as-tu quelque chose à nous dire ?
Tu ne dis rien bien entendu
peut-être même que tu souris
tu vois ces hommes comme je les vois
eux ne voient pas ce que tu vois.

Moi j’ai compris ton beau message
avant les nuages
après l’orage

Christophe Breuil, « mathématicien spécialisé dans la géométrie algébrique et la théorie des nombres » (Wikipédia), nous livre quelques réflexions qui aident à comprendre la psychologie du savant :

« Voici par exemple une autre petite histoire (encore une boutade) que je tiens d’un autre collègue moins jeune (mais non moins brillant). Pour savoir si le résultat nouveau que l’on vient d’obtenir est intéressant, il faut s’y prendre de la façon suivante :
1) Modestement l’expliquer à un grand expert du sujet.
2) Analyser sa réaction : s’il est content, le résultat n’a probablement que peu d’intérêt, mais s’il fait la tête, alors tout espoir est permis ! Tel peut sembler être le « destin » des mathématiciens : celui de s’attaquer à des problèmes surhumains qui suscitent indifférence et incompréhension du monde extérieur. Mais il y a les maths [pourquoi tous les matheux mettent-ils cette abréviation au pluriel alors que “math” en 4 lettres c'est si joli, si “carré” ?] elles-mêmes, leurs objets et structures d’une infinie richesse, leurs beaux et puissants concepts, leur profonde unité, perpétuelle source de renouvellement et de rajeunissement !

[…] Tout chercheur vous dira que les considérations d’ordre affectif ou égocentrique (et plus généralement les considérations “humaines”) viennent immanquablement troubler le cours limpide d’un raisonnement logique, ou embrumer une intuition mathématique en train de prendre forme ». » [1]

Pour l'honneur de la caste

Nous avons mentionné cette étude à quelques rares scientifiques réputés, 4 ou 5 peut-être, depuis 2009, parmi tous ceux, innombrables, que nous estimons grandement. Toute pudeur écartée j’avoue qu’il m’est arrivé – il y a quand même un bout de temps – d’espérer une réponse de l’un d’entre eux, ne serait-ce qu’un simple ‘’merci de votre courrier’’. J’allais dire que je n’en avais jamais reçu aucune, en fait j’en ai reçu deux Une première en 2018 ou 2019 était très courte (que voulez-vous on est ‘’un Grand’’ ou on ne l’est pas) : « Ce qu’il faudrait, c’est un nouvel outil ». C’était pourtant exactement ce que le découvreur de l'explication de Fermat, Roland Franquart, lui fournissait : un nouvel outil, l'usage du ‘’triangle de Pascal’’, grâce à un minutieux et formidable travail de décryptage (même si son texte comporte 2 petites erreurs qui ne sont même pas mathématiques et ne concernent ni la note ni le théorème). Seulement voilà, quand on est un scientifique réputé – ce mathématicien ne m’en voudra pas si je dis qu’il n’est pourtant pas si renommé – on a les sourcils chatouilleux. C’était exactement la réponse qu’il ne fallait pas me faire (notre travail, à Roland Franquart et à moi-même, l’avait peut-être irrité pour une raison particulière que je tairai par discrétion). Toujours est-il que grâce à sa drôle de réponse je repris mes recherches de plus belle.

Une autre réponse, indirecte — je ne lui avais rien demandé car je connais trop bien ce genre de personnage — fut cette perle magnifique du mathématicien et (excellent) joueur de go français Pierre Colmez, titulaire du prix Fermat 2005 , qui tenta ce coup de go de débutant, naïf et désastreux, comme cela arrive parfois chez les plus grands champions : « Ce qui est sûr, c'est que toutes les démonstrations auxquelles Fermat auraient pu penser à son époque se cassent la figure. » C'est le commentaire le plus ubuesque que j'ai pu trouver sur le Grand théorème de Fermat. J'ai laissé la faute d'orthographe révélatrice d'une propension à l'exagération chez les contempteurs, et à prétendre détenir, et eux seuls, la vérité. Comment peuvent-ils connaître tout le savoir de Fermat, génie universel encensé par Pascal, autre génie ? Par excès de confiance en eux-mêmes ils veulent croire que « le plus grand homme du monde », qui s'était attaché avec une passion quasi métaphysique, à sonder les plus grands mystères des nombres, et qui a initié les plus grands progrès en théorie des nombres, était doté d'un discernement inférieur au leur. Dans quel aveuglement peuvent être entraînés des scientifiques confortés par la reconnaissance académique...

Conte à guérir, conte à grandir

« Les savants font la guerre aux préjugés populaires, sans s'apercevoir qu'ils sont eux-mêmes tout pleins de préjugés pour le moins aussi nombreux, quoique différents, et bien plus dangereux pour la société. [...] Les savants et les sots, comme les oies sauvages, aiment à se réunir et à voyager en troupes. Le philosophe, comme l'aigle, aime à s'élever solitaire dans les cieux d'où il plane au-dessus des préjugés des savants et des sots. » (Auguste Guyard, Quintessences, 1847). Ces remarques sont bien sûr trop généralistes, tous les savants ne sont pas “tout pleins de préjugés”. De même pour les philosophes, certains d'entre eux sont loin d'être dénués de tout préjugé.

Fermat a décidément fait un choix judicieux en restant très discret sur ses plus grandes découvertes. Pour quelques mathématiciens pas très humbles et très entêtés, voici un petit conte qui se propose d'illustrer la vacuité de leur “argumentation”.

Un jour incertain de l’année 202., dans les sous-sols d’une unité de recherche menacée de dissolution pour cause de dépenses inconsidérées et d'un manque criant de résultats, une expérience unique est rondement menée. Des savants ont l’idée d’utiliser un prototype évolué de calculateur quantique qui leur donne de grandes espérances. Après y avoir entré un maximum de données concernant Fermat et son Grand Théorème, ils ont demandé à l’ordinateur, qui d'après eux pouvait ainsi connaître les pensées les plus profondes de Fermat, si ce dernier aurait pu avoir une preuve. Le professeur Gonzalezova raconte : « La machine tournait, tournait, tournait, de temps en temps émettait un “Gloups !” ou un “Eh ?”, c’est tout ce qu’on en tirait. C’est Jean Neymar qui a eu l’idée de lui dire : Tu sais ce que la grand savant André Weil a dit ? Il a dit : « Jusqu’en 1638, la correspondance de Fermat le montre comme le plus inexpérimenté des novices en théorie des nombres. » C’est à ce moment-là que le bouzin a commencé à bugger. Pas longtemps, toutes les lumières du labo se sont subitement éteintes en même temps que la machine rendait l’âme. Lalampe est parti rétablir le courant, on a bu un verre ou deux pour s’éclaircir les idées, fumé un joint, puis on a commencé à réfléchir sereinement. Tout d’un coup le visage de Lalampe s’est éclairé : « Et si Fermat n’avait jamais prouvé le cas particulier n=3, comme beaucoup l’ont affirmé ? » On a trouvé l’idée assez géniale, vu qu'elle étayait la théorie d'André Weil. Christiane s’est empressée d’aller chercher le prototype 02, identique au premier, et l’a posé à côté du défunt. Elle nous regardait mais nous on préférait faire durer le plaisir, on était bien, complètement relaxés et certains du résultat. Folalié est le plus impatient du groupe, dès que la machine commence à gloupser!, il lui dit qu’« elle est bête, le cas n=3 n’a été prouvé qu’un siècle après la mort de Fermat ». La machine semble un peu perplexe puis une vidéo s’affiche, c’est Einstein qui se gratte la tête. Folalié reprend : « T’inquiète, Einstein est dépassé, tu peux faire beaucoup mieux. » Cette fois c’est une photo, le grand sourire de Julia Roberts. L’imprimante ronronne deux secondes et lâche sa preuve en 9 exemplaires : « Fermat n’a prouvé aucune de ses conjectures et n'a jamais rien écrit dans une marge. C’est son fils qui les a toutes écrites et démontrées, de la première à la dernière. » On est restés sur le c...alcul. On a mis tous les protos à la benne. »

Épilogue

« Les problèmes dignes d'être attaqués prouvent leur valeur en ripostant. » Piet Hein

351 ans de recherches inabouties (depuis la publication de l’Arithmetica) sur l'éventuelle preuve de Fermat avaient très mal engagé l'affaire, certainement destinée à ne jamais aboutir, mais après tout une énigme en suspens (en suspens pour les non initiés) a bien plus d’attrait qu’une énigme officiellement résolue. Le minimum que nous pouvions faire était de saluer la pédagogie du maître. Méditer sur cette énigme, son histoire, ses acteurs, interrogatifs ou péremptoires, est instructif pour le chercheur en quête de vérité historique. Tous les mathématiciens qui auraient pu suivre Fermat dans ses recherches l’avaient définitivement lâché : ses apports à la science des nombres et ses mérites ne purent être considérés à leur juste valeur, comment ne pas en ressentir quelque amertume ? Que fait un professeur quand tous ses élèves, les uns après les autres, ont quitté le cours ? Que fait un savant que nul ne veut plus suivre, quand l’âge vient et que la santé décline ? Quelle ressource reste-t-il à un pédagogue qui a toujours ardemment souhaité que la science progresse ? Sa démarche a toujours été la stimulation réciproque, il ne va pas en changer. Pour ceux qui peut-être accepteront de reprendre le flambeau il livre, sans leur mâcher le travail, 48 brèves et précieuses observations. Parfois il dit manquer de place, parfois de temps, pour exposer une démonstration – toujours admirable – de ce qu’il avance. Une seule fois dans ces observations il nous livre livre la démonstration complète d’un théorème important. Les mathématiciens modernes, chacun vaquant à sa tâche, ne s'intéressent plus du tout à une preuve détenue par Fermat et ont définitivement clos une histoire déjà bien trop longue et irritante à leur goût. Le destin a fait que Fermat et Pascal ne puissent se rencontrer en 1660, le même destin suggère que la preuve de Fermat et les mathématiciens jamais ne puissent se rencontrer.

Gardons-nous de sous-estimer Fermat, de minimiser son discernement. Il était conscient qu’on pouvait le prendre pour un vantard et il en a joué, avec ses façons peu orthodoxes et provocantes. La plus célèbre de ses ‘’observations‘’, Fermat pouvait-il être assuré qu’une démonstration qu'il y aurait cachée, hermétique à l'extrême, serait un jour découverte ? Non bien sûr, mais nous pensons qu'il était confiant. À première vue, à première vue seulement, il semble incroyable qu'il ait fallu attendre 339 ans pour que ce soit un amateur, ancien militaire expérimentateur des radars-sol, qui ait l'idée d'aller observer l'OBSEVATIO de Fermat « à la loupe ». Il est vrai qu'un bon militaire possède ces qualités : 1) Rigueur, ponctualité, goût de le discipline. 2) Adaptabilité, curiosité. 3) Vigilance, efficacité. 4) Honnêteté, esprit de corps. 5) Formation continue. Ce chercheur tenace, Roland Franquart, fut l’auteur de « Commutation des voies radar-Fizeau par découpage des échos des voies linéaires » et de « Contrôle de la superposition des vidéos radars primaires », qui fut intégré par l’industriel aux Programmes Opérationnels de l’Armée de l’Air. ettons-nous dans la tête d'un mathématicien du XVIII^e siècle (ou suivants) ouvert d'esprit. Observons-le qui lit l'observation de Fermat dans une édition semblable à celle de Lyon (sur le mot detexi, une tache soigneusement exécutée, qui dans le contexte appelle la lettre “t”). Il réfléchit ainsi : « C'est vraiment bizarre cette tache, personne ne s'en étonne, et pourtant Samuel de Fermat a retranscrit fidèlement les 48 observations de son père. Pourquoi donc cette anomalie ? ». Mais notre homme n’est pas un fin connaisseur de la langue latine, il s'en tient à une traduction très approximative (et toutes le furent). Il ne voit pas non plus, par exemple, l’autre anomalie dans le premier mot de la note. Son seul indice c’est une tache qui dans le contexte appelle un “t”. A-t-il le réflexe de regarder plus avant et de noter que le point qui suit detexi est surchargé lui aussi ? Comment pourrait-il envisager que Fermat ait pu cacher de nombreux autres indices dans son texte, pour finalement réussir l'incroyable tour de passe-passe de révéler sa preuve à l’aide de seulement trois lignes et demie écrites en latin, « le marqueur du sublime par excellence » ? C’est surtout cette dernière question que les commentateurs n’ont jamais pu, jamais osé surtout, imaginer. Reconnaissons à leur décharge que Fermat a tout fait pour qu’il en soit ainsi... Cependant il y a de quoi être terriblement vexé de n’avoir jamais su lire ce que Fermat écrivait, et de pas avoir pensé à faire appel à un latiniste pour traduire correctement l’OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT’. Pouvez-vous imaginer maintenant un mathématicien contemporain clamer : « On s’est trompé ! Fermat nous a tous bernés, il avait caché sa démo dans sa note et nous on n'a rien vu ! » ? Moi je ne peux pas. Cette dernière question est d’un grand intérêt et bien qu'elle soit conçue interrogativement, elle est négative, puisque reconnaître que Fermat avait bien une preuve, ce serait reconnaître que « quelques uns de nos éminents savants ont fait preuve d'une légèreté confondante ».

Roland Franquart, mathématicien amateur plein de ressources, et moi-même qui suis plutôt analyste, avons découvert tout ce qu'il nous était possible. Nous sommes tous deux convaincus que l'explication/démonstration de Fermat, bien que beaucoup plus elliptique que les autres, est exacte. Elle aurait maintenant à être finalisée et validée par des mathématiciens professionnels qui oseraient ouvertement se rebeller contre leur caste, ce qui nous paraît hautement improbable.

Quelques anecdotes liées au théorème

La plus romantique des histoires rapporte que Paul Friedrich Wolfskehl (1956-1906), un médecin, était tombé en amour d’une fort jolie femme, mais que celle-ci rejeta ses avances. Désespéré il décida de se suicider, fixa le jour, et l’heure. Il mit ses affaires en ordre avant le grand départ, rédigea lettres et testament. Le dernier jour arriva. Comme il lui restait du temps avant l’heure fatidique, il en profita pour étudier des calculs de Kummer, qui expliquaient pourquoi Lamé et Cauchy avaient échoué dans leur tentative sur le Fermat. Croyant avoir découvert une faille dans l’exposé, il se mit assidûment à la tâche pour tenter de la combler, mais réalisa finalement que le raisonnement était bon. L’aube était déjà là, minuit était passé, l’heure du suicide aussi. Mais que les mathématiques sont belles ! Il renonce finalement à son funeste projet. Cette histoire est une de celles qui courent sur Paul Wolfskehl. Ce qui est certain c'est que souffrant de sclérose en plaques il dut renoncer à la carrière de médecin et se tourner vers les mathématiques. Son doctorat en poche (probablement obtenu en 1880) il s’intéressa au Fermat. Après la publication du nouveau Diophante par Samuel en 1670, les mathématiciens, subjugués par la simplicité trompeuse du théorème, avaient en effet commencé à s’en passionner. Plus le temps passait, plus ils faisaient des progrès, mais on ne trouvait toujours pas de preuve. Deux siècles passèrent et on se persuada que Fermat ne pouvait avoir trouvé. Paul Wolfskehl, auquel les mathématiques avaient redonné le goût de vivre, décida de rendre hommage au théorème qui lui avait sauvé la vie en offrant un prix de 100 000 marks à qui le démontrerait.
Il a été rapporté qu’Euler aurait demandé à un ami de fouiller la maison de Fermat à la recherche d’indices sur ses démonstrations, dont celle du théorème.
Au printemps de l'année 1994, alors que Wiles cherchait toujours à combler la faille dans sa démonstration et que l'affaire se présentait au plus mal, un message Internet courut sur les écrans d'ordinateur du monde entier :

Date : 03 avril 1994
Sujet : Encore Fermat !
« Il y a eu aujourd'hui un développement extraordinaire dans le Dernier théorème de Fermat.
Noam Elkies a communiqué un contre-exemple, et donc le Dernier théorème de Fermat est faux en fin de compte ! [Etc.] ».

Noam Elkies, professeur à Harvard, avait déjà trouvé à l'âge de 22 ans, en 1988, un contre-exemple à la conjecture d'Euler, prouvant ainsi qu'elle était fausse. Le message Internet fut un coup terrible pour Wiles, il ne parviendrait donc jamais à redresser la situation ! On bombarda Elkies de questions sans obtenir aucune explication. Puis un mathématicien s'intéressa de près à cette déclaration et on s'aperçut que si le message était bien daté du 3 avril, c'était parce qu'il avait été reçu de troisième main. Le message était à l'origine daté du 1^er avril, ce poisson d'avril toxique avait été imaginé par le mathématicien Henri Darmon. Il eut pourtant un effet salutaire, on cessa de diffuser hypothèses et ragots et on laissa Wiles, Taylor, le théorème et la démonstration, tranquilles pour un moment.

Ils ont dit

1637. Fermat à Roberval : « Au reste, quoi qu’on juge digne d’impression de moi, je ne veux pas que mon nom y paraisse. »
1637. À Marin Mersenne : « […] nous trouvons souvent à tâtons et parmi les ténèbres ce que nous cherchons, … »
1641. À Mersenne : « Les occupations que les procès nous donnent sur la tête m’ont empêché de pouvoir lire à loisir les Traités que vous m’avez fait la faveur de m’envoyer. »
― Mersenne : « C'était un des plus beaux esprits de ce siècles et un génie universel. »
1641. Frenicle à Fermat : « Les méthodes que vous donnez […] sont véritablement fort belles, et vous avez la méthode de si bien disposer vos règles, que cela leur donne une certaine grâce qui les fait encore agréer davantage… »
Frenicle via Digby, à Fermat : « Jamais homme n’a approché votre fond de science. »
1650. Fermat à Carcavi : « Je n’ajoute pas l’opération entière, pource que la longueur du travail me lasseroit. »
1650 (vers). René DESCARTES : « Monsieur Fermat est Gascon. Moy non. »
1656. Blaise PASCAL, Les Provinciales (la XII^e) : « Tous les efforts de la violence ne peuvent affaiblir la vérité, et ne servent qu’à la relever davantage. »
1657. Fermat à Digby : « Le hasard et le bonheur se mêlent parfois aux combats de science aussi bien qu’aux autres. »
― Jean de Bertier (1575-1653), Premier président du parlement de Toulouse :
« Quand la balance des affaires
Le cherche pour juste refuge
Ses mérites lui font exercer la justice
Mais l'équité guide son bras »
― Condorcet : « Fermat est le seul dont ce grand homme (i.e. Descartes) eût pu être jaloux. »
1845. Guglielmo LIBRI : « Des mathématiciens qui avaient fait de vains efforts pour démontrer les théorèmes trouvés par Fermat ont voulu jeter quelque doute sur la réalité des démonstrations qu’il déclarait posséder, et ils ont supposé que ce grand géomètre était parvenu à certains résultats plutôt par induction et un peu au hasard que par une analyse rigoureuse de la question. »
― Eric Temple BELL : « En mathématiques, "évident" est le mot le plus dangereux. »
Vers 1857, il a été rapporté un propos désobligeant de Ernst KUMMER envers le grand théorème, qui serait « une plaisanterie ».
1979. Ian STEWART : « Les mathématiciens modernes ont quelque mal à croire que Fermat ait pu connaître quelque chose qui leur échappe encore – bien que, pour ma part, cela ne me surprendrait pas. »
1993. Jean BÉNABOU à Jacques ROUBAUD, après l'annonce (prématurée) de la découverte d'une preuve par Andrew WILES : « C’est comme si on avait conquis l’Everest avec des fusées de la Nasa ».
1995. Pour Winfried SCHARLAU, Fermat s’est rendu compte qu’il s’était trompé, mais comme « sa conjecture était restée privée », il n’a pas eu à se rétracter.
2001. Andrew WILES : « Je pense qu’il s’est trompé en disant qu’il avait une preuve. »
2002. G. SOUBEILLE dans P. FÉRON, Pierre de Fermat, un génie européen : « […] Fermat, qui se passionnait pour tout et conserva cette ambition d’un savoir encyclopédique propre aux esprits du siècle précédent, fut un de nos derniers humanistes […] ; dans un sens plus large, l’humaniste, en lui, reflétait sa confiance dans la raison et dans l’avenir de la science. Beaucoup plus géomètre que poète, il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques. »
2008. David Ruelle est un physicien mathématicien, non spécialiste de théorie des nombres et non spécialiste de Fermat : « Pierre de Fermat pensait qu’il avait une preuve de cette affirmation mais il s’était sans doute trompé, et ce n’est qu’en 1995... »
2020. Edwy PLENEL sur France culture : « Dieu sait si je suis quand même averti pour dire qu’il peut y avoir de grandes imbécillités académiques, de personnes qui sont bardées de diplômes comme autant de certitudes. »
― Jacques Attali : « Sur le conseil de Roberval, il (Pascal) écrit au plus grand mathématicien d'alors, Fermat, correspondant de Mersenne. Il a enfin trouvé un homme à sa mesure. »
2022. Claude Mariotti : « Cette énigme, c'était ce qu'il me fallait. »

Grothendieck

Colloque Grothendieck Luc Illusie (vidéo)
Audio 'Youtube' avec images : Alexander Grothendieck, « Allons-nous continuer la recherche scientifique? » (CERN, 27/01/1972). Une conférence qui a suscité quelques émois dans l'assistance.

Remerciements

Un immense merci tout d'abord à vous, Monsieur FERMAT.
Merci à Emelyne D.L.C, jeune étudiante en mathématiques qui vers 1998 m'encouragea à m'intéresser à cette énigme.
Merci à Andrew WILES, qui décida à l'âge de 10 ans de relever un jour le défi de Fermat, y consacra plus tard 7 ans de sa vie, et finalement trouva une preuve longue de 1000 pages dans sa première mouture (et beaucoup trop compliquée pour moi).
Merci à Simon SINGH, grâce à son très beau livre, qui résume merveilleusement, depuis Euclide, l'histoire des math et celle du théorème en particulier, je me suis pris de passion en 1998 pour cette énigme. On y trouve aussi de savoureuses anecdotes.
Merci à Roland FRANQUART, évidemment.
Merci à Wikipédia où j'ai pu largement me documenter. Merci aux contributeurs que j'y ai côtoyés et ont su me supporter, parfois avec beaucoup de patience. Je dois beaucoup à des échanges fructueux avec en particulier Cgolds, mais aussi Anne Bauval, Marvoir, Jean-Christophe Benoist, Cphil, Proz, et bien d'autres qui se reconnaîtront sur d'autres thèmes : sociologie du travail, philosophie, théologie, littérature. En sociologie du travail, comme sur Fermat, les nombreuses sources que j'ai pu consulter sur Wikipédia m'ont beaucoup appris sur le phénomène de “pensée de groupe”, j'y ai collecté les pseudo-arguments véhiculés par la doxa depuis trois siècles.
À Catherine Goldstein, ma reconnaissance éternelle, pour l’éclairage que m’ont apporté ses travaux de chercheuse et d'historienne, pour des échanges chaleureux et pour ses encouragements. Son ouvrage, parfois ardu, est magnifique, l'étude est très documentée, et surtout les analyses sont d'une grande profondeur. L'ouvrage est malheureusement épuisé et difficile à trouver.
Merci au professeur Emmanuel BURY, à la chercheuse et professeure Ludivine GOUPILLAUD, pour son étude sur l'usage du latin chez Pierre de Fermat.
Merci à Aurélien ALVAREZ et à Albert Violant I HOLTZ pour leur objectivité.
Merci à Jean ROUSSEAU et Laurent HUA, pour leurs fines observations dans leur ouvrage. Laurent HUA, polymathe, membre de l'équipe française des Experts de Bologne, a été le premier à exploiter la piste du triangle de PASCAL, mais par la voie géométrique et sans succès, alors que Fermat dévoile sa solution par la voie arithmétique.
Merci à Madame Marielle MOURANCHE, Conservateur des bibliothèques, responsable du livre ancien, Université de Toulouse, SICD.
Merci à Madame Claire Adélaïde MONTIEL, professeure certifiée honoraire de lettres modernes, présidente de l'association Fermat Science.
Merci à la plateforme de numérisation E-rara où j'ai pu trouver une troisième version de l'Arithmetica de 1670.
Merci à l'Encyclopédie en ligne GALLICA (BNF).
Merci au site blogdemaths.
Merci enfin Jean-Francisque Léo, Grand admirateur de Pierre de Fermat lui aussi, venu collaborer à cette recherche le 4 mai 2022.
Merci à tous ceux qui m'ont encouragé dans ma démarche.
Merci à Alexandre Grothendieck (1928-2014) pour le témoignage si fort qu'il nous a laissé, ses découvertes mathématiques sont d'une telle profondeur que beaucoup d'entre elles sont encore inexploitées.
Merci à tous ceux que j'oublie.
Claude Mariotti