Recherche:Techniques de régressions au plus près/Définition de la régression au plus près

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Définition de la régression au plus près

On appellera régression au plus près toute forme suivante correspondant aux conditions suivantes :

${\begin{cases}y_{reg}(xr)=K_{0}+K_{1}F_{reg1}(xr)+K_{2}F_{reg2}(xr)+K_{3}F_{3}(xr)+\cdots +K_{i}F_{regi}(xr)+\cdots +K_{n}F_{regn}(xr)\\y(xr)-y_{reg}(xr)=\epsilon (xr)\\\forall i,y_{reg}(xr_{i})=K_{i}+K_{reg1}F_{reg1}(xr_{i})+K_{2}F_{reg2}(xr_{i})+K_{3}F_{reg3}(xr_{i})+\cdots +K_{i}F_{regi1}(xr_{i})+\cdots +K_{n}F_{regn}(xr_{i})\\\forall i,y_{i}(xr_{i})-y_{reg}(xr_{i})=\epsilon (xr_{i})\\\epsilon (xr)=\Sigma \epsilon (xr_{i})/nul/ou/non\\\ K_{0}=\Sigma K_{i}\\SDMC=\Sigma \epsilon ^{2}(xr_{i})/minimum\\\end{cases}}$

AVEC

Échec de l’analyse (fonction inconnue « \begin{cases} »): {\displaystyle \begin{cases} i>=1 \\ \exists!un/i/au/moins/tel/que : \epsilon(xr_1) \neq 0 \\ \epsilon(xr_1)<= (/ou/non)/à/limite/l_i/initiale/maximale \\ F_{regi} / de/mêmes/natures/ou/non \\ SDMC <= (/ou/non)/à/limite/l/initiale/maximale \end{cases} }

On appellera régression idéale LA régression de type ci-dessus telle qu'en plus $SDE=\Sigma \epsilon (xr_{i})=0$, E comme écart, S comme somme, D comme des, C comme carrés.

On appellera régressions monofonctionnelles les régression telles que tous les $F_{i}$ soient de même nature

Exemple 1: $y_{reg1}(xr)=K_{11}\sin(w_{11}xr)+K_{21}\sin(w_{21}xr)+K_{31}\sin(w_{31}xr)$

Exemple 2: $y_{reg2}(xr)=K_{1}+K_{12}\left(1-\cos(w_{12}xr)\right)+K_{2}+K_{22}\left(1-\cos(w_{22}xr)\right)+K_{32}\sin(w_{32}xr)+K_{42}\sin(w_{42}xr)$

On appellera ordre global le nombre de fonctions de même nature ou non ; ordre partiel le nombre de fonctions entrant dans la régression de même nature ( dans l'exemple : ordre 3 global et 3 partiel en sinus )

Pour exprimer que la Somme Des Moindres Carrés $SDMC$ est minimale, on écrira que toutes ses dérivées partielles par rapport aux écarts $\epsilon (xr_{i})=y_{i}(xr_{i})-y_{reg}(xr_{i})$ sont nulles $\forall i$.

La forme générale peut aussi se mettre sous la forme plus facile à manipuler et faisant appel à des calculs plus simples, moins nombreux et plus logiques :

${\begin{cases}y_{reg}(xr)=y_{0}+k_{1I}F_{1I}(xr)+k_{2I}F_{2I}(xr)+\cdots +k_{iI}F_{iI}(xr)+\cdots +k_{mI}F_{mI}(xr)+k_{0}+k_{1P}(F_{1P}(0)-F_{1P}(xr))+k_{2P}(F_{2P}(0)-F_{2P}(xr))+\cdots +k_{jP}(F_{jP}(0)-F_{jP}(xr))+\cdots +k_{nP}(F_{nP}(0)-F_{nP}(xr))\\y_{0}=y(0),F_{*I}(xr)/Impaire/F_{*I}(0)=0,F_{*P}(xr)/Paire\\y(xr)-y_{reg}(xr)=\epsilon (xr)\\\forall i,y_{reg}(xr_{i})=y(xr)-y_{reg}(xr)=y_{0}+k_{1I}F_{1I}(xr_{i})+k_{2I}F_{2I}(xr_{i})+\cdots +k_{iI}F_{iI}(xr_{i})+\cdots +k_{mI}F_{mI}(xr_{i})+k_{i}+k_{1P}(F_{1P}(0)-F_{1P}(xr_{i}))+k_{2P}(F_{2P}(0)-F_{2P}(xr_{i}))+\cdots +k_{jP}(F_{1P}(0)1-F_{jP}(xr_{i}))+\cdots +k_{nP}(F_{1P}(0)-F_{nP}(xr_{i}))+epsilon(xr)\\\forall i,y_{i}(xr_{i})-y_{reg}(xr_{i})=\epsilon (xr_{i})\\\epsilon (xr)=\Sigma \epsilon (xr_{i})/nul/ou/non\\\ k_{0}=\Sigma k_{i}\\SDMC=\Sigma \epsilon ^{2}(xr_{i})/minimum\\\end{cases}}$

Deuxième étape de l'approche

Rechercher la meilleure fonction régressive F1 telle que :

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/ » :): {\displaystyle \begin{cases} y_{reg}(xr) = k + k_1F_1(xr)+ \epsilon_1{(xr)} \\ SDMC_1 = \Sigma \epsilon_1^2(xr_{1i}) /minimum/dans/la/liste/des/F1/testées \\ SDE = \Sigma \epsilon(xr_{i}) = 0 /éventuellement/et/si/possible \end{cases} }

Réitérer l'opération sur $\epsilon (xr_{1})$

Échec de l’analyse (fonction inconnue « \begin{cases} »): {\displaystyle \begin{cases} \epsilon_1{(xr)} = y_{reg1}(xr) = k_2F_2(xr)+ \epsilon_2{(xr)} \\ SDMC_2 = \Sigma \epsilon_2^2(xr_{2i}) /minimum/dans/la/liste/des/F2/testées \\ SDE = \Sigma \epsilon(xr_{i}) = 0 /éventuellement/et/si/possible \end{cases} }

Arrêter quand on le désire, par exemple après avoir atteint une limite pour SDMC.