Relation (mathématiques)/Définition

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Définition

Définition

Une relation binaire ${\mathcal {R}}$ d’un ensemble $E$ vers $F$ est un triplet $(E,F,G)$ où $G$ est un sous-ensemble de $E\times F$.
Si $(x,y)\in G$, on dit que $x$ est en relation avec $y$ et l'on note $x{\mathcal {R}}y$.

$G$ est appelé graphe de la relation ${\mathcal {R}}$.

Relation sur un ensemble

Si $E=F$, on dit que ${\mathcal {R}}$ est une relation sur $E$. Cette relation est :

• réflexive si $\forall x\in E\quad x{\mathcal {R}}x$ ;
• symétrique si $\forall x,y\in E\quad (x{\mathcal {R}}y\Rightarrow y{\mathcal {R}}x)$ ;
• transitive si $\forall x,y,z\in E\quad (\left({x{\mathcal {R}}y}\wedge {y{\mathcal {R}}z}\right)\Rightarrow {x{\mathcal {R}}z})$ ;
• antisymétrique si $\forall x,y\in E\quad (\left({x{\mathcal {R}}y}\wedge {y{\mathcal {R}}x}\right)\Rightarrow {x=y})$ ;
• antiréflexive si $\forall x\in E\quad \lnot \left(x{\mathcal {R}}x\right)$.