Relation (mathématiques)/Relation d'équivalence

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Définition

Une relation d'équivalence est une relation réflexive, symétrique et transitive.

Début de l'exemple

Exemples

• Le parallélisme est une relation d'équivalence sur l’ensemble des droites du plan.

Démonstration

• Réflexive : Toute droite du plan est parallèle à elle-même (on notera //).
• Symétrique : Soient $A,B$ deux droites si $A$ // $B$ alors $B$ // $A$
• Transitive : Soient $A,B,C$ trois droites. Si $A$ // $B$ et $B$ // $C$ alors $A$ // $C$.

 

• Soit $H$ un sous-groupe d'un groupe $G$. La relation ${\mathcal {R}}$ sur $G$ définie par $\forall a,b\in G\quad a{\mathcal {R}}b\Leftrightarrow b^{-1}a\in H$ est une relation d'équivalence : voir « Classes modulo un sous-groupe ».
• Soit une application $f:E\to F$. La relation ${\mathcal {R}}$ sur $E$ définie par $x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$ est une relation d'équivalence.

Fin de l'exemple

Définition

Soit $E$ un ensemble muni d’une relation d'équivalence ${\mathcal {R}}$.

• Pour tout $x\in E$, on appelle classe d'équivalence de $x$ selon ${\mathcal {R}}$ (ou sous ${\mathcal {R}}$, ou modulo ${\mathcal {R}}$) et l'on note $C_{\mathcal {R}}(x)$ (ou bien $C(x)$ ou ${\bar {x}}$ s'il n'y a pas ambiguïté sur la relation) l’ensemble de tous les éléments de $E$ ${\mathcal {R}}$-équivalents à $x$, c'est-à-dire $C_{\mathcal {R}}(x)=\{y\in E\mid x{\mathcal {R}}y\}$.
• On appelle ensemble quotient de $E$ par ${\mathcal {R}}$ l'ensemble de toutes ces classes :

  $E/{\mathcal {R}}:=\{{\bar {x}}\mid x\in E\}$.