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Nous partons d’une fonction réelle ou complexe
f
{\displaystyle f}
de période
T
>
0
{\displaystyle T>0}
, définie sur un intervalle de longueur
T
{\displaystyle T}
, par exemple
[
0
;
T
]
{\displaystyle [0;T]}
; nous supposons que les formules d’Euler-Fourier lui sont applicables, et nous associons à
f
{\displaystyle f}
la série trigonométrique qui possède les coefficients ainsi calculés. On dit que cette série est la série de Fourier de
f
{\displaystyle f}
.
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Série de Fourier : Généralités Série de Fourier/Généralités », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Le problème qui se pose est double : étudier la convergence de la série de Fourier ainsi associée à
f
{\displaystyle f}
; si cette série converge , chercher si elle représente la fonction
f
{\displaystyle f}
.
Propriétés des coefficients de Fourier de
f
{\displaystyle f}
modifier
À la fonction
f
{\displaystyle f}
, réelle ou complexe, intégrable sur
[
0
;
T
]
{\displaystyle [0;T]}
, nous associons les trois suites de coefficients :
Coefficients de Fourier de
f
:
{
a
0
=
1
T
∫
0
T
f
(
x
)
d
x
(
n
=
0
)
a
n
=
2
T
∫
0
T
f
(
x
)
cos
(
2
π
n
T
x
)
d
x
(
n
≥
1
)
b
n
=
2
T
∫
0
T
f
(
x
)
sin
(
2
π
n
T
x
)
d
x
(
n
≥
1
)
{\displaystyle f:\,{\begin{cases}a_{0}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(x)dx\;(n=0)\\a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)\cos \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)dx\;(n\geq 1)\\b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)\sin \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)dx\;(n\geq 1)\end{cases}}}
Début d’un théorème
Théorème 1
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Si
f
{\displaystyle f}
est intégrable sur
[
0
;
T
]
{\displaystyle [0;T]}
,
a
n
{\displaystyle a_{n}}
et
b
n
{\displaystyle b_{n}}
tendent vers
0
{\displaystyle 0}
quand
n
{\displaystyle n}
→
+
∞
{\displaystyle \rightarrow +\infty }
.
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème 2
Si
f
{\displaystyle f}
admet sur
[
0
;
T
]
{\displaystyle [0;T]}
une dérivée première continue, et si
f
(
0
)
=
f
(
T
)
{\displaystyle f(0)=f(T)}
,
n
a
n
{\displaystyle na_{n}}
et
n
b
n
{\displaystyle nb_{n}}
tendent vers
0
{\displaystyle 0}
.
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème 3
Si
f
{\displaystyle f}
est continûment dérivable sur
[
0
;
T
]
{\displaystyle [0;T]}
jusqu'à l’ordre
k
{\displaystyle k}
, et si chacune des fonctions
f
,
f
′
,
…
,
f
(
k
−
1
)
{\displaystyle f,f',\ldots ,f^{(k-1)}}
prend les mêmes valeurs en
0
{\displaystyle 0}
et
T
{\displaystyle T}
, alors
n
k
a
n
{\displaystyle n^{k}a_{n}}
et
n
k
b
n
{\displaystyle n^{k}b_{n}}
tendent vers
0
{\displaystyle 0}
.
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème 4
Si
f
{\displaystyle f}
est réelle, bornée et monotone par morceaux sur
[
0
;
T
]
{\displaystyle [0;T]}
, les suites
(
n
a
n
)
{\displaystyle (na_{n})}
et
(
n
b
n
)
{\displaystyle (nb_{n})}
sont bornées.
Fin du théorème