Série de Fourier/Introduction
Séries trigonométriques modifier
Premières définitions modifier
Les coefficients sont appelés coefficients complexes de Fourier.
Une série trigonométrique du type
s'écrit aussi :
On pose alors et , de sorte que :
On obtient alors les formules d'inversion suivantes :
- .
Propriétés des séries trigonométriques modifier
Soit une série trigonométrique. Son ensemble de convergence est invariant par translation de .
Si les séries et sont absolument convergentes, alors la série trigonométrique associée converge normalement sur auquel cas la somme S est définie continue et -périodique sur .
Remarque. Si on remplace par , on obtient une fonction de période T. C’est pourquoi
les séries trigonométriques ont été utilisées par Euler, Fourier... pour la représentation des fonctions périodiques.
Calcul des coefficients complexes modifier
Nous nous plaçons dans le cas où la série converge uniformément sur (ce qui a lieu, à cause de la périodicité, si elle converge sur un intervalle ).
Rappelons que
Multiplions les deux membres de l'équation par puis en intégrons sur :
.
Or
Par conséquent :
.
Calcul des coefficients réels — Formule d’Euler-Fourier modifier