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Série de Fourier : Introduction Série de Fourier/Introduction », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
On appelle série trigonométrique toute série de fonctions
∑
u
n
{\displaystyle \sum u_{n}}
du type :
u
0
=
c
0
{\displaystyle u_{0}=c_{0}}
∀
n
∈
N
∗
,
u
n
:
x
↦
c
n
e
i
n
x
+
c
−
n
e
−
i
n
x
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},u_{n}:x\mapsto c_{n}e^{inx}+c_{-n}e^{-inx}}
de somme partielle
S
n
:
x
↦
∑
k
=
−
n
n
c
k
e
i
k
x
{\displaystyle S_{n}:x\mapsto \sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx}}
c
k
{\displaystyle c_{k}}
coefficients complexes de Fourier .
Une série trigonométrique du type
f
(
x
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
c
n
e
i
n
x
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx}}
s'écrit aussi :
f
(
x
)
=
c
0
+
∑
n
≥
1
(
c
n
+
c
−
n
)
cos
(
n
x
)
+
i
(
c
n
−
c
−
n
)
sin
(
n
x
)
{\displaystyle f(x)=c_{0}+\sum _{n\geq 1}(c_{n}+c_{-n})\cos(nx)+i(c_{n}-c_{-n})\sin(nx)}
On pose alors
a
n
=
c
n
+
c
−
n
{\displaystyle a_{n}=c_{n}+c_{-n}}
b
n
=
i
(
c
n
−
c
−
n
)
{\displaystyle b_{n}=i(c_{n}-c_{-n})}
f
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
≥
1
a
n
cos
(
n
x
)
+
b
n
sin
(
n
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n\geq 1}a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)}
On obtient alors les formules d'inversion suivantes :
c
0
=
a
0
2
et
∀
n
>
0
c
n
=
a
n
−
i
b
n
2
,
c
−
n
=
a
n
+
i
b
n
2
{\displaystyle c_{0}={\frac {a_{0}}{2}}\quad {\text{et}}\quad \forall n>0\quad c_{n}={\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}},\quad c_{-n}={\frac {a_{n}+ib_{n}}{2}}}
modifier
Début d’un théorème
Théorème
Soit
f
(
x
)
=
c
0
+
∑
n
≥
1
c
n
e
i
n
x
+
c
−
n
e
−
i
n
x
{\displaystyle f(x)=c_{0}+\sum _{n\geq 1}c_{n}e^{inx}+c_{-n}e^{-inx}}
une série trigonométrique. Son ensemble de convergence
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
est
invariant par translation de
2
π
{\displaystyle 2\pi }
.
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème
La somme d'une série trigonométrique est
2
π
{\displaystyle 2\pi }
-périodique sur son ensemble de convergence
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
.
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème
Si les séries
∑
c
n
{\displaystyle \sum c_{n}}
et
∑
c
−
n
{\displaystyle \sum c_{-n}}
sont absolument convergentes, alors la série trigonométrique associée
converge normalement sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
auquel cas la somme
S est définie continue et
2
π
{\displaystyle 2\pi }
-périodique sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
.
Fin du théorème
Remarque. Si on remplace
x
{\displaystyle x}
2
π
T
x
{\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}x}
T
{\displaystyle T}
Calcul des coefficients complexes
modifier
Proposition
Les coefficients complexes de Fourier sont donnés par :
c
n
=
1
2
π
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
e
−
i
n
x
d
x
{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x}
Début d’un théorème
Formules d’Euler-Fourier
:
a
n
=
1
π
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
cos
(
n
x
)
d
x
(
n
≥
1
)
{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)\cos(nx)\,\mathrm {d} x\;(n\geq 1)}
b
n
=
1
π
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
sin
(
n
x
)
d
x
(
n
≥
1
)
{\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)\sin(nx)\,\mathrm {d} x\;(n\geq 1)}
Fin du théorème
