Série de Fourier/Introduction

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Séries trigonométriques

Premières définitions

Définition

On appelle série trigonométrique toute série de fonctions $\sum u_{n}$ du type :

$u_{0}=c_{0}$

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*},u_{n}:x\mapsto c_{n}e^{inx}+c_{-n}e^{-inx}$

de somme partielle $S_{n}:x\mapsto \sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx}$

Les coefficients $c_{k}$ sont appelés coefficients complexes de Fourier.

Une série trigonométrique du type $f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx}$

s'écrit aussi :

$f(x)=c_{0}+\sum _{n\geq 1}(c_{n}+c_{-n})\cos(nx)+i(c_{n}-c_{-n})\sin(nx)$

On pose alors $a_{n}=c_{n}+c_{-n}$ et $b_{n}=i(c_{n}-c_{-n})$, de sorte que : $f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n\geq 1}a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)$

On obtient alors les formules d'inversion suivantes :

$c_{0}={\frac {a_{0}}{2}}\quad {\text{et}}\quad \forall n>0\quad c_{n}={\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}},\quad c_{-n}={\frac {a_{n}+ib_{n}}{2}}$

Propriétés des séries trigonométriques

Début d’un théorème

Théorème

Soit $f(x)=c_{0}+\sum _{n\geq 1}c_{n}e^{inx}+c_{-n}e^{-inx}$ une série trigonométrique. Son ensemble de convergence ${\mathcal {D}}$ est invariant par translation de $2\pi$.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème

La somme d'une série trigonométrique est $2\pi$-périodique sur son ensemble de convergence ${\mathcal {D}}$.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème

Si les séries $\sum c_{n}$ et $\sum c_{-n}$ sont absolument convergentes, alors la série trigonométrique associée converge normalement sur $\mathbb {R}$ auquel cas la somme S est définie continue et $2\pi$-périodique sur $\mathbb {R}$.

Fin du théorème

Remarque. Si on remplace $x$ par ${\frac {2\pi }{T}}x$, on obtient une fonction de période $T$. C’est pourquoi les séries trigonométriques ont été utilisées par Euler, Fourier... pour la représentation des fonctions périodiques.

Calcul des coefficients complexes

Proposition

Les coefficients complexes de Fourier sont donnés par :

$c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x$

Calcul des coefficients réels — Formule d’Euler-Fourier

Début d’un théorème

Formules d’Euler-Fourier

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)\cos(nx)\,\mathrm {d} x\;(n\geq 1)$

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)\sin(nx)\,\mathrm {d} x\;(n\geq 1)$

Fin du théorème

Proposition

• $f$ est paire si et seulement si $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\;b_{n}=0$
• $f$ est impaire si et seulement si $\forall n\in \mathbb {N} \;a_{n}=0$