Série entière/Développement en série entière

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Développement en série entière
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Chapitre no 4
Leçon : Série entière
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Série entière/Développement en série entière
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Fonctions développables en série entière autour d'un pointModifier

Si tel est le cas, la série entière étudiée aura un rayon de convergence R supérieur ou égal à r, donc strictement positif.



Début d’un théorème
Fin du théorème


Techniques usuelles de développement en série entièreModifier

LinéaritéModifier

Les développements en séries entières sont linéaires sur leur disque de convergence.

ProduitModifier

Par produit de Cauchy,   pour un développement en série entière autour de 0, avec   et   les développements respectifs de   et  .

Primitivation et dérivationModifier

Avec une équation différentielleModifier

Série de Taylor-MacLaurinModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


  Cette condition est largement insuffisante pour assurer l’existence d'un développement en série entière. Par exemple la fonction plateau
 

admet des dérivées successives toutes nulles en 0 ! Ainsi, la série entière associée ci-dessus est la série nulle, donc de rayon  , mais ne coïncide pas avec   sur une boule ouverte centrée en 0.