Série entière/Fonction exponentielle

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Développement en série entière de la fonction exponentielle

En appliquant la méthode de recherche de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir la fonction exponentielle $\exp$ ou encore $z\mapsto \mathrm {e} ^{z}$ comme la somme d'une série entière. En effet, l'exponentielle est la solution de l'équation différentielle $y'=y$ avec la condition initiale $y(0)=1$.

Début d’un théorème

Théorème

L'unique solution analytique de $f'=f,\quad f(0)=1$ est la série entière $\exp(z):=\sum _{n=0}^{+\infty }{z^{n} \over n!}$. Son rayon de convergence est infini.

Fin du théorème

Démonstration

• Unicité. Soit $f$ somme d'une série entière de rayon de convergence R > 0 :
  $\forall z\in D(0,R)\quad f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}$.
  Alors, $f(0)=a_{0}$ et la dérivée est donnée par :
  $f'(z)=\sum _{n=1}^{+\infty }na_{n}z^{n-1}$.
  Par unicité des coefficients dans le développement en série entière, $f'=f$ si et seulement si $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}=(n+1)a_{n+1}$, ce qui, par une récurrence immédiate, équivaut à $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}={\frac {a_{0}}{n!}}$.
  La fonction $f$ est donc solution de $f'=f,\quad f(0)=1$ si et seulement si :
  $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}={\frac {1}{n!}}$.
• Existence. D'après la règle de D'Alembert, le rayon de convergence de la série entière $\sum _{n=0}^{+\infty }{z^{n} \over n!}$ est infini.