Série entière/Propriétés
Propriétés usuelles des rayons de convergence
modifierDe la définition précédente, on déduit directement les propriétés suivantes.
Soient une série entière et son rayon de convergence.
- converge bornée .
- non bornée diverge .
- ne change pas si l'on modifie un nombre fini de coefficients , ni si l'on multiplie chaque par , pour un réel fixé .
est toujours convergente, on peut donc se limiter à l'étude du cas . Alors converge pour vers . Par théorème de d'Alembert, implique l'absolue convergence (acv) et la grossière divergence (gdv) de la série. Donc :
- acv et gdv.
Par définition de , .
Nature de la convergence
modifierLes théorèmes suivants permettent de caractériser plus précisément la nature de la convergence des séries entières dans leur disque de convergence. On considère dans cette partie une série entière de rayon de convergence .
La série entière converge normalement (donc uniformément) sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert , et la somme est donc continue sur ce disque.
Ceci n'implique pas la convergence uniforme sur . Un contre-exemple classique est , qui ne converge pas uniformément sur . Cependant : |
Si la série numérique converge, alors la série entière converge normalement sur le disque fermé , et la somme est donc définie continue sur ce disque.
C'est le cas par exemple pour la série entière .
Propriétés algébriques
modifierSoit et deux séries entières de rayon de convergence respectif et . La série entière est de rayon de convergence . De plus, si alors . Enfin :
- .
Soit une série entière de rayon de convergence et . La série entière a même rayon de convergence et
- .
Soit et deux séries entières de rayon de convergence respectif et . La série entière où est de rayon de convergence et
- .
La démonstration est claire par produit de Cauchy.
Dans le cadre , on n'a pas d'information supplémentaire sur la convergence de la série entière. |
Propriétés topologiques
modifierSi une série entière converge en un point , alors la convergence est uniforme sur (donc la restriction à ce segment de la fonction somme de la série est continue).
Par changement de variable, on se ramène facilement (juste pour alléger les notations) au cas .
Par hypothèse, converge simplement sur , et l'on veut montrer que cette convergence est uniforme, c'est-à-dire que la convergence vers du reste est uniforme par rapport à .
Soit . Puisque , il existe un entier tel que
- .
Pour tout , la transformation d'Abel donne alors :
Par passage à la limite quand , on en déduit :
- ,
ce qui est la convergence uniforme annoncée.
Dérivation, intégration
modifierSoit une série entière.
- On appelle série entière dérivée la série entière identifiée à . On note D l'opérateur qui à une série entière associe sa série dérivée.
- On appelle série entière primitive la série entière identifiée à . On note P l'opérateur qui à une série entière associe sa série primitive.
Ainsi, les opérateurs P et D vérifient : .
Soit une série entière de rayon de convergence . Alors ses séries dérivée et primitive ont même rayon de convergence .
Soit une série entière, de rayon de convergence strictement positif, de somme S. Alors S est de classe sur et :
Soit une série entière, de rayon de convergence strictement positif, de somme S. Alors S est de classe sur et :
- .
Soit une série entière, de rayon de convergence strictement positif, de somme S. Alors :
- .
La série entière , de rayon de convergence 1, a pour primitive , de même rayon et nulle en 0. (Si , cette définition coïncide donc avec le logarithme usuel.)