Série entière/Propriétés

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Propriétés
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Chapitre no 3
Leçon : Série entière
Chap. préc. :Définition formelle - rayon de convergence
Chap. suiv. :Développement en série entière
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Propriétés usuelles des rayons de convergenceModifier

De la définition précédente, on déduit directement les propriétés suivantes.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème

Nature de la convergenceModifier

Les théorèmes suivants permettent de caractériser plus précisément la nature de la convergence des séries entières dans leur disque de convergence. On considère dans cette partie une série entière   de rayon de convergence  .

Début d’un théorème
Fin du théorème
  Ceci n'implique pas la convergence uniforme sur  . Un contre-exemple classique est  , qui ne converge pas uniformément sur  . Cependant :
Début d’un théorème
Fin du théorème

C'est le cas par exemple pour la série entière  .

Propriétés algébriquesModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème

La démonstration est claire par produit de Cauchy.

  Dans le cadre  , on n'a pas d'information supplémentaire sur la convergence de la série entière.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Propriétés topologiquesModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

Dérivation, intégrationModifier

Ainsi, les opérateurs P et D vérifient :  .

Début d’un théorème
Fin du théorème





Début de l'exemple
Fin de l'exemple