Série entière/Exercices/Produit de Cauchy

Montrer directement, à l'aide de la définition du produit de Cauchy que :

Exercice 7-1

Pour tout $z\in \mathbb {C}$ de module strictement inférieur à 1, $(1-z)\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}=1$.

Solution

Considérons le produit de Cauchy des deux séries entières :

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ et $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$,

où :

$a_{n}=1,b_{0}=1,b_{1}=-1,b_{n}=0$ si $n>1$.

On obtient la série entière produit $\sum _{n\geq 0}c_{n}z^{n}$,

avec $c_{n}=\sum _{0\leq k\leq n}a_{n-k}b_{k}$,

soit $c_{0}=1$ et pour $n\geq 1$, $c_{n}=a_{n}b_{0}+a_{n-1}b_{1}=1-1=0$, d'où le résultat.

 

Exercice 7-2

Pour tout $z\in \mathbb {C}$ de module strictement inférieur à 1, $(1-z)^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)z^{k}=1$.

Solution

Considérons le produit de Cauchy des deux séries entières :

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ et $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$,

où :

$a_{n}=n+1,b_{0}=1,b_{1}=-2,b_{2}=1,b_{n}=0$ si $n>2$.

On obtient la série entière produit $\sum _{n\geq 0}c_{n}z^{n}$,

avec $c_{n}=\sum _{0\leq k\leq n}a_{n-k}b_{k}$,

soit $c_{0}=1$, $c_{1}=2-2=0$ et pour $n\geq 2$, $c_{n}=(n+1)-2n+(n-1)=0$, d'où le résultat.

 

Exercice 7-3

Pour tout $z\in \mathbb {C}$ et tout $m\in \mathbb {N} ^{*}$, $\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}\right)^{m}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m^{n}}{n!}}z^{n}$.

Solution

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}\right)^{m}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$, avec $c_{n}=\sum _{k_{1}+\dots +k_{m}=n}{\frac {1}{k_{1}!\dots k_{m}!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{k_{1}+\dots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},\dots ,k_{m}}}={\frac {1}{n!}}m^{n}$, d'après la formule du multinôme.