Série entière/Exercices/Série entière et équation différentielle

Série entière et équation différentielle
Image logo représentative de la faculté
Exercices no6
Leçon : Série entière

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Calcul de sommes
Exo suiv. :Produit de Cauchy
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Série entière et équation différentielle
Série entière/Exercices/Série entière et équation différentielle
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 6-1Modifier

1°  Déterminer les solutions, définies sur  , de l'équation différentielle linéaire du premier ordre

 .

2°  Montrer qu’il existe une série entière dont la somme   est nulle en   et solution de cette équation différentielle. On précisera son rayon de convergence.

3°  En déduire que pour tout  ,

  avec  .

Exercice 6-2Modifier

  1. Déterminer le rayon de convergence   de la série entière   et montrer que  .
  2. Calculer la dérivée (sur  ) de  .
  3. En déduire :  .

Exercice 6-3Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Méthode de Frobenius ».
Wikipédia possède un article à propos de « Fonction de Bessel ».

On fixe   et l'on considère, sur  , l'équation différentielle linéaire du second ordre (homogène, à coefficients non constants) :

 .
  1. Que peut-on dire de l'ensemble des solutions ?
  2. Déterminer les séries formelles solutions de l'équation différentielle formelle associée, et en particulier celle, notée  , telle que  .
  3. Quel est le rayon de convergence de la série entière   ?