Série numérique/Séries à termes positifs
Le théorème de comparaison et ses applications
modifierOn remarquera l'analogie avec les intégrales généralisées.
Soit une série numérique à termes positifs ( ).
converge si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée.
Cela découle directement du théorème de la limite monotone appliqué à la suite : comme , cette suite est croissante. Elle converge si et seulement si elle est majorée.
Voici maintenant l'un des principaux théorèmes d'étude des séries à termes positifs.
Soient et des séries à termes positifs telles que, à partir d'un certain rang, .
- Si converge, alors converge.
- Si diverge, alors diverge.
La deuxième assertion est la contraposée de la première.
Supposons, sans perte de généralité, que pour tout , et notons et les suites des sommes partielles associées, respectivement, à et .
Si converge, alors est majorée, d’après le lemme. Mais donc si est majorée, alors aussi, ce qui implique, d’après le lemme, que converge, ce qui est le résultat voulu.
- Montrer que converge.
Pour tout , on a donc .
Or est une série géométrique convergente car . Le théorème de comparaison donne alors le résultat.
- Sachant que la série harmonique diverge, montrer que la série de Riemann diverge aussi lorsque le réel est inférieur à .
Si alors pour tout , .
Soit une série à termes positifs.
- Si , alors .
- Si , alors .
La démonstration repose sur le théorème de comparaison et la définition des relations de comparaison.
- Étudier la nature de la série .
donc la série converge car est une série géométrique convergente.
- Soit une suite réelle telle que pour un certain . Montrer que converge.
et il existe tel que , or est une série géométrique convergente.
- La série de Riemann converge si (et seulement si) le réel est strictement supérieur à : voir l'exercice lié.
Faites ces exercices : Exemple de télescopage, exercice 1. |
- Signalons par ailleurs que l'on sait calculer les sommes lorsque est un entier pair (cf. Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta), la plus connue étant .
- Montrer que converge.
Toute série est de même nature que son opposée.
donc il y a bien convergence car est une série de Riemann convergente.
Règles de D'Alembert et de Cauchy
modifierSoit une série à termes strictement positifs. On note et les limites inférieure et supérieure des quotients successifs :
- .
- Si alors converge.
- Si , alors diverge grossièrement.
(Si , on ne peut rien conclure.)
Lorsque la suite admet une limite , l'énoncé se simplifie car .
Si , soit un réel tel que . Puisque , à partir d'un certain rang , . Ainsi, la suite est majorée par la suite géométrique . Et puisque , la série géométrique converge donc par comparaison, converge.
Si alors, à partir d'un certain rang , , autrement dit : la suite est croissante, donc . Par conséquent, la suite ne tend pas vers .
On utilise cette règle quand l’expression de comporte des produits ou des quotients : voir l'exercice lié.
Faites ces exercices : Cauchy et d'Alembert, exercice 2. |
Soit une série à termes positifs. On considère la limite supérieure
- Si , alors converge.
- Si , alors diverge grossièrement.
(Si , on ne peut pas conclure.)
- Si , soit un réel tel que . Puisque , à partir d'un certain rang , . Ainsi, la suite est majorée par la suite géométrique . Et puisque , la série géométrique converge donc par comparaison, converge.
- Si , il existe une infinité de valeurs n telles que , donc telles que . Par conséquent, la suite ne tend pas vers .
On utilise cette règle quand l’expression de comporte des puissances -ièmes : voir l'exercice lié.
Faites ces exercices : Cauchy et d'Alembert, exercice 3. |
Lorsque la suite admet une limite , en particulier lorsque la suite admet une limite , on a .