Série et transformée de Fourier en physique/Transformée de Fourier

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Pour plus de détails, voir le paragraphe correspondant de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

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La transformation de Fourier est une extension, pour les fonctions non périodiques, du développement en série des fonctions périodiques de Fourier.

La transformation de Fourier est l'opérateur qui décompose un signal $s(t)$ (une fonction réelle, continue, finie, à énergie et durée finie) dans la base des fonctions harmoniques.

Généralités

Représentions temporelle et spectrale du signal

$s(t)$ est la représentation temporelle du signal. Elle peut être réelle ou complexe. C'est la partie réelle qui caractérise l'évolution du phénomène physique dans le temps.

${\hat {s}}(f)$ est la représentation fréquentielle du signal. Elle est la transformée de Fourier de la fonction $s(t)$. Elle permet de définir :

• $|{\hat {s}}(f)|$ est le spectre d'amplitude ;
• $|{\hat {s}}(f)|^{2}$ est la densité spectrale d'énergie (abusivement appelée densité spectrale de puissance),
• ${\rm {arg}}\left({\hat {s}}(f)\right)$ est le spectre de phase.

Puissance et énergie du signal

	d'un signal	de deux signaux
Puissance instantanée	$p_{xx}(t)=x(t)\cdot x^{*}(t)$	$p_{xy}(t)=x(t)\cdot y^{*}(t)$
Puissance moyenne sur une durée $T$	$P_{xx}(t_{0},T)={1 \over {T}}\cdot \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\cdot x^{*}(t)\cdot \mathrm {d} t$	$P_{xy}(t_{0},T)={1 \over {T}}\cdot \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\cdot y^{*}(t)\cdot \mathrm {d} t$
Energie sur une durée $T$	$W_{xx}(t_{0},T)=\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\cdot x^{*}(t)\cdot \mathrm {d} t$	$W_{xy}(t_{0},T)=\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\cdot y^{*}(t)\cdot \mathrm {d} t$

Définition de la transformation de Fourier

La transformée de Fourier et la transformée de Fourier inverse peuvent s'exprimer à partir de la fréquence ou de la pulsation avec $\omega =2\pi .f$.

Dans la plupart des cas, la convention suivante est adoptée.

Transformée de Fourier	Transformée de Fourier inverse
${\mathcal {F}}(s(t))={\hat {s}}(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t$	${\mathcal {F}}^{-1}({\hat {s}}(f))=s(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {s}}(f)\cdot \mathrm {e} ^{+{\rm {j}}.2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} f$
${\mathcal {F}}(s(t))={\hat {s}}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\omega .t}\cdot \mathrm {d} t$	${\mathcal {F}}^{-1}({\hat {s}}(\omega ))=s(t)={\frac {1}{2\pi }}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {s}}(\omega )\cdot \mathrm {e} ^{+{\rm {j}}.\omega .t}\cdot \mathrm {d} \omega$

Mais parfois, notamment en électronique, on peut préférer utiliser une définition différente pour assurer une symétrie entre transformée et transformée inverse.

Transformée de Fourier	Transformée de Fourier inverse
${\mathcal {F}}(s(t))={\hat {s}}(\omega )={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\omega .t}\cdot \mathrm {d} t$	${\mathcal {F}}^{-1}({\hat {s}}(\omega ))=s(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {s}}(\omega )\cdot \mathrm {e} ^{+{\rm {j}}.\omega .t}\cdot \mathrm {d} \omega$

C'est la première définition qui sera utilisée ici.

La transformée de Fourier introduit des fréquences négatives qui n'ont aucun sens physique et qui ne sont souvent pas représentées.