Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus

**Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus**
Leçon : Signaux physiques (PCSI)

Exercices n^o9
Chapitre du cours :	Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus
Exercices de niveau 14.
Exo préc. :	Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
Exo suiv. :	Optique géométrique : sources lumineuses, milieu transparent, approximation de l'optique géométrique

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus
Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Loi de Malus modifier

Méthode pour obtenir les directions de transmission privilégiées de deux polariseurs successifs perpendiculaires entre elles modifier

On fait passer un faisceau laser non polarisé à travers deux polariseurs successifs « $\;(1)\;$ et $\;(2)\;$ ».
Comment obtenir que les directions de transmission privilégiées de ces polariseurs soient $\;\perp \;$ entre elles ?

Solution

Le faisceau laser à la sortie du 1^er polariseur «

\;(1)\;

» étant polarisé suivant la direction de transmission privilégiée «

\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;

»^[1],
on fait tourner le 2^ème polariseur «

\;(2)\;

» jusqu'à obtenir l'extinction complète du faisceau à la sortie de ce dernier, cela signifiant que
la direction de polarisation du faisceau laser à la sortie du polariseur «

\;(1)\;

» c'est-à-dire «

\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;

» est

\;\perp \;

à la direction de transmission privilégiée «

\;{\vec {v}}_{P_{(2)}}\;

» du polariseur «

\;(2)\;

» ; on dit alors que les polariseurs sont croisés.

Conséquence de l'introduction d'un 3^ème polariseur entre les deux précédents à directions de transmission privilégiées perpendiculaires entre elles modifier

Entre les polariseurs « $\;(1)\;$ et $\;(2)\;$ » à directions de transmission privilégiées $\;\perp \;$ entre elles, on introduit un polariseur « $\;(3)\;$ » dont la direction de transmission privilégiée fait un angle « $\;\alpha \;$ » avec celle du polariseur « $\;(1)\;$ », 1^er polariseur rencontré par la lumière.
Qu'observe-t-on a priori ?

Exprimer l'éclairement à la sortie du dispositif en fonction de « $\;\alpha \;$ » et de sa valeur maximale « $\;{\mathcal {E}}_{\text{max}}\;$ »^[2].

Solution

Insertion d'un polariseur «

\;(3)\;

» entre deux polariseurs croisés «

\;(1)\;

et

\;(2)\;

», la direction de transmission privilégiée de «

\;(3)\;

» c'est-à-dire «

\;{\vec {v}}_{P_{(3)}}\;

» faisant l'angle algébrisé «

\;\alpha \;

» avec celle de «

\;(1)\;

» c'est-à-dire «

\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;

»

\;{\big [}

le sens

\;+\;

étant choisi de «

\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;

vers

\;{\vec {v}}_{P_{(2)}}\;

»

{\big ]}

Le faisceau laser sortant du polariseur « $\;(1)\;$ » polarisé suivant « $\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;$ » $\;{\big [}$ voir figure ci-contre ${\big ]}$ a un champ électrique vibrant « $\;{\vec {E}}_{1}\;$ » d'amplitude « $\;E_{1,\,0}\;$ » pouvant être considéré comme la somme de deux composantes,

l'une polarisée suivant la direction de transmission privilégiée « $\;{\vec {v}}_{P_{(3)}}\;$ » du polariseur « $\;(3)\;$ » « $\;{\vec {E}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{P_{(3)}}=E_{1}\,\cos(\alpha )\;$ » et
l'autre suivant la direction directement $\;\perp \;$ ^[3] « $\;-E_{1}\,\sin(\alpha )\;$ » ;

à la sortie du polariseur « $\;(3)\;$ », le faisceau laser est donc polarisé suivant la direction de transmission privilégiée « $\;{\vec {v}}_{P_{(3)}}\;$ » et
à la sortie du polariseur « $\;\color {transparent}{(3)}\;$ », le faisceau laser est donc polarisé l'amplitude de son champ électrique est « $\;E_{3,\,0}=E_{1,\,0}\,\cos(\alpha )\;$ » ;

ce champ électrique « $\;{\vec {E}}_{3}\;$ » peut être considéré comme la somme de deux composantes,

l'une polarisée suivant la direction de transmission privilégiée « $\;{\vec {v}}_{P_{(2)}}\;$ » du polariseur « $\;(2)\;$ » « $\;{\vec {E}}_{3}\cdot {\vec {v}}_{P_{(2)}}=E_{3}\,\cos \left({\dfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)=E_{3}\,\sin(\alpha )\;$ » et
l'autre suivant la direction directement $\;\perp \;$ ^[3] « $\;-E_{3}\,\cos(\alpha )\;$ » ;

     finalement à la sortie du polariseur « $\;(2)\;$ », le faisceau laser est polarisé suivant la direction de transmission privilégiée « $\;{\vec {v}}_{P_{(2)}}\;$ » et
     finalement à la sortie du polariseur « $\;\color {transparent}{(2)}\;$ », le faisceau laser est donc polarisé l'amplitude de son champ électrique est « $\;E_{3,\,0}\,\sin(\alpha )=E_{1,\,0}\,\cos(\alpha )\,sin(\alpha )\;$
     finalement à la sortie du polariseur « $\;\color {transparent}{(2)}\;$ », le faisceau laser est donc polarisé l'amplitude de son champ électrique est « $\;\color {transparent}{E_{3,\,0}\,\sin(\alpha )}$ $={\dfrac {E_{1,\,0}}{2}}\,\sin(2\,\alpha )\;$ ».

     L'éclairement à la sortie du dispositif est donc, d'après la loi de Malus^[4]^,^[5] « $\;{\mathcal {E}}_{\text{sortie}}=K\,{\dfrac {E_{1,\,0}^{2}}{4}}\,\sin ^{2}(2\,\alpha )\;$ » soit,
     L'éclairement à la sortie du dispositif est donc, en posant « $\;{\mathcal {E}}_{\text{entrée}}=K\,E_{1,\,0}^{2}\;$ », « $\;{\mathcal {E}}_{\text{sortie}}={\dfrac {{\mathcal {E}}_{\text{entrée}}}{4}}\,\sin ^{2}(2\,\alpha )\;$ », ou,
     L'éclairement à la sortie du dispositif est donc, en introduisant sa valeur maximale « $\;{\mathcal {E}}_{\text{max}}={\dfrac {{\mathcal {E}}_{\text{entrée}}}{4}}\;$ », « $\;{\mathcal {E}}_{\text{sortie}}={\mathcal {E}}_{\text{max}}\,\sin ^{2}(2\,\alpha )\;$ »^[6].

Rotation d'une direction de polarisation modifier

« $\;N+1\;$ » polariseurs sont placés les uns à la suite des autres.

La direction de transmission privilégiée de chaque polariseur fait un « $\;\alpha \;$ avec la direction de transmission privilégiée du polariseur précédent »^[7]. Ainsi la direction de transmission privilégiée du dernier polariseur fait un angle « $\;\theta =N\,\alpha \;$ avec celle du 1^er polariseur ».

On considère un faisceau lumineux incident caractérisé à l'entrée du système par un éclairement « $\;{\mathcal {E}}_{0}\;$ » et une polarisation rectiligne $\;\parallel \;$ à la direction de transmission privilégiée du 1^er polariseur.

Expression de l'éclairement du faisceau sortant en fonction de N entre autres, cas de N infini modifier

En négligeant les pertes, exprimer l'éclairement « $\;{\mathcal {E}}\;$ » du faisceau sortant en fonction de « $\;{\mathcal {E}}_{0}$ , $\;N\;$ et $\;\theta \;$ ».

En négligeant les pertes, En donner une expression approchée pour « $\;N\gg 1\;$ »^[8].

En négligeant les pertes, Quel est l'intérêt de ce dispositif ?

Solution

Soit un faisceau lumineux polarisé rectilignement suivant la direction de transmission privilégiée du 1^er polariseur, d'éclairement à l'entrée de ce dernier «

\;{\mathcal {E}}_{0}\;

»,
Soit un faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant tourné d'un angle «

\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;

» à la sortie du 2^ème polariseur, y a un éclairement «

\;{\mathcal {E}}_{1}={\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{2}(\alpha )\;

»^[9] selon la loi de Malus^[4]^,^[5],
Soit un faisceau lumineux

\;\ldots

Soit un faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une nouvelle fois tourné d'un angle «

\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;

» à la sortie du (i + 1)^ème polariseur, y a un éclairement selon la loi de Malus^[4]^,^[5]
Soit un faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une nouvelle fois tourné d'un angle «

\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;

» à la sortie du (i + 1)^ème polariseur, y a un éclairement «

\;{\mathcal {E}}_{i}={\mathcal {E}}_{i-1}\,\cos ^{2}(\alpha )={\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,i)}(\alpha )\;

»^[9],
Soit un faisceau lumineux

\;\ldots

et
Soit un faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une dernière fois tourné d'un angle «

\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;

» à la sortie du (N + 1)^ème polariseur, y a un éclairement selon la loi de Malus^[4]^,^[5]
Soit un faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une dernière fois tourné d'un angle «

\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;

» à la sortie du (N + 1)^ème polariseur, y a un éclairement «

\;{\mathcal {E}}_{N}={\mathcal {E}}_{N-1}\,\cos ^{2}(\alpha )={\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,N)}(\alpha )\;

»^[9], soit finalement «

\;{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{N}={\mathcal {E}}_{0}\,\left[\cos \!\left({\dfrac {\theta }{N}}\right)\right]^{(2\,N)}\;

». Pour «

\;N\gg 1\;

», «

\;{\dfrac {\theta }{N}}\;

est un infiniment petit définissant l'ordre un », et par suite «

\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{N}}\right)\simeq 1-{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\;

» par utilisation du D.L^[10]. de «

\;\cos(x)\;

» au voisinage de

\;0\;

à l'ordre deux^[11], d'où
Pour «

\;\color {transparent}{N\gg 1}\;

», «

\;{\mathcal {E}}\simeq {\mathcal {E}}_{0}\,\left[1-{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\right]^{(2\,N)}\;

» soit encore, en considérant «

\;{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\;

comme un nouvel infiniment petit d'ordre un »^[12] «

\;{\mathcal {E}}\simeq {\mathcal {E}}_{0}\,\left[1-(2\,N)\,{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\right]\;

»^[8] et finalement «

\;{\mathcal {E}}\simeq {\mathcal {E}}_{0}\,\left[1-{\dfrac {\theta ^{2}}{N}}\right]\;

» pour «

\;N\gg 1\;

».

Intérêt du dispositif : Le dispositif permet de faire tourner la direction de polarisation d'un angle « $\;\theta \;$ » fixé avec une perte minimale d'éclairement, perte d'autant plus faible que « $\;N\;$ est grand » car « $\;\lim \limits _{N\rightarrow \infty }{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{0}\;$ ».

Rectification de l'expression de l'éclairement du faisceau sortant tenant compte des pertes par réflexion et absorption sur chaque polariseur, étude d'un cas particulier modifier

En fait les pertes par réflexion sur les surfaces des polariseurs et par absorption par les polariseurs font que l'éclairement à la sortie de chaque polariseur n'est égal qu'« à $\;\rho =80\,\%\;$ de ce qu'il serait si ce polariseur était idéal ». Quelle est l'expression de « $\;{\mathcal {E}}\;$ » si l'on tient compte de ces pertes ?

Dans le cas où « $\;\theta ={\dfrac {\pi }{2}}\;$ » calculer « $\;{\dfrac {\mathcal {E}}{{\mathcal {E}}_{0}}}\;$ » pour $\;N\;$ allant de $\;1\;$ à $\;8$ .

Dans le cas où « $\;\color {transparent}{\theta ={\dfrac {\pi }{2}}}\;$ » Quel est alors le meilleur choix pour $\;N$ ?

Solution

Soit le faisceau lumineux étudié polarisé rectilignement suivant la direction de transmission privilégiée du 1^er polariseur, d'éclairement à la sortie de ce dernier «

\;\rho \;{\mathcal {E}}_{0}\;

»^[13]
Soit le faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant tourné d'un angle «

\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;

» à la sortie du 2^ème polariseur, y a un éclairement «

\;{\mathcal {E}}_{1}=\rho ^{2}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{2}(\alpha )\;

» selon la loi de Malus^[4]^,^[5]^,^[13],
Soit le faisceau lumineux

\;\ldots

Soit le faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une nouvelle fois tourné de «

\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;

» à la sortie du (i + 1)^ème polariseur, y a un éclairement selon la loi de Malus^[4]^,^[5]^,^[13]
Soit le faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une nouvelle fois tourné de «

\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;

» à la sortie du (i + 1)^ème polariseur, y a un éclairement «

\;{\mathcal {E}}_{i}=\rho \;{\mathcal {E}}_{i-1}\,\cos ^{2}(\alpha )=\rho ^{\,i+1}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,i)}(\alpha )\;

»,
Soit le faisceau lumineux

\;\ldots

et
Soit le faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une dernière fois tourné de «

\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;

» à la sortie du (N + 1)^ème polariseur, y a un éclairement selon la loi de Malus^[4]^,^[5]^,^[13]
Soit le faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une dernière fois tourné de «

\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;

» à la sortie du (N + 1)^ème polariseur, y a un éclairement «

\;{\mathcal {E}}_{N}=\rho \;{\mathcal {E}}_{N-1}\,\cos ^{2}(\alpha )=\rho ^{\,N+1}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,N)}(\alpha )\;

», soit finalement «

\;{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{N}=\rho ^{\,N+1}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\left[\cos \!\left({\dfrac {\theta }{N}}\right)\right]^{(2\,N)}\;

».

Dans le cas où « $\;\theta ={\dfrac {\pi }{2}}\;$ » le calcul de « $\;{\dfrac {\mathcal {E}}{{\mathcal {E}}_{0}}}\;$ » pour $\;N\;$ allant de $\;1\;$ à $\;8\;$ donne :

\;{\begin{array}{| c | c | c | c | c | c | c | c | c |}\hline \quad N\quad &\quad 1\quad &\quad 2\quad &\quad 3\quad &\quad 4\quad &\quad 5\quad &\quad 6\quad &\quad 7\quad &\quad 8\quad \\\hline \quad {\dfrac {\mathcal {E}}{{\mathcal {E}}_{0}}}\quad &\quad 0\quad &\quad 0,1280\quad &\quad 0,1728\quad &\quad 0,1739\quad &\quad 0,1587\quad &\quad 0,1383\quad &\quad 0,1176\quad &\quad 0,0984\quad \\\hline \end{array}}\;

Dans le cas où « $\;\color {transparent}{\theta ={\dfrac {\pi }{2}}}\;$ » le meilleur choix pour $\;N\;$ est donc « $\;N=4\;$ » qui correspond à un maximum d'éclairement transmis, ce dernier n'étant toutefois que de « $\;17,4\,\%\;$ ».

Notes et références modifier

↑ Il est inutile de faire tourner ce polariseur étant donné qu'il n'y a pas encore de direction de référence.
↑ Pour ce calcul on supposera les polariseurs idéaux.
↑ ^3,0 et ^3,1 C.-à-d. faisant un angle de « $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ » avec la direction par rapport à laquelle elle est $\;\perp$ .
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 ^4,4 ^4,5 et ^4,6 Étienne Louis Malus (1775 - 1812) ingénieur, physicien et mathématicien français, surtout connu pour ses travaux mathématiques liés à la lumière, a mis en évidence la polarisation de cette dernière par réflexion en $\;1809$ ; il fut de la 1^ère promotion de l’École centrale des travaux publics $\;{\big (}$ connue actuellement sous le nom d'École Polytechnique ${\big )}\;$ promotion $\;X1794\;$ et y devint brièvement directeur des études de $\;1811\;$ jusqu'à sa mort ; sa découverte la plus célèbre est la loi de Malus mais on lui doit aussi le théorème de Malus stipulant que les surfaces d'onde émises par une source ponctuelle sont $\;\perp \;$ aux rayons lumineux issus de cette source.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 ^5,5 et ^5,6 Voir le paragraphe « énoncé de la loi de Malus » du chap. $9$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ L'éclairement de sortie est maximal pour « $\;\alpha ={\dfrac {\pi }{4}}\;$ et $\;\alpha ={\dfrac {3\,\pi }{4}}\;$ » et sa valeur maximale ne représente que le quart de la valeur d'éclairement du faisceau d'entrée.
↑ Toujours dans le même sens.
↑ ^8,0 et ^8,1 On rappelle le développement limité à l'ordre un de la fonction $\;(1+\varepsilon )^{N}\;$ au voisinage de zéro soit « $\;(1+\varepsilon )^{N}\simeq 1+N\,\varepsilon \;$ » nécessitant « $\;\varepsilon \ll 1\;$ », voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^9,0 ^9,1 et ^9,2 On suppose les polariseurs idéaux c'est-à-dire que l'on néglige toute perte d'éclairement.
↑ Développement Limité.
↑ Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » « $\;\cos(x)\simeq 1-{\dfrac {x^{2}}{2}}\;$ ».
↑ Lequel est un infiniment petit d'ordre deux relativement à l'infiniment petit d'ordre un « $\;{\dfrac {\theta }{N}}\;$ ».
↑ ^13,0 ^13,1 ^13,2 et ^13,3 En tenant compte des pertes par réflexion sur les surfaces des polariseurs et par absorption par les polariseurs.