Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus

Loi de Malus

Méthode pour obtenir les directions de transmission privilégiées de deux polariseurs successifs perpendiculaires entre elles

     On fait passer un faisceau laser non polarisé à travers deux polariseurs successifs «$\;(1)\;$ et $\;(2)\;$».
     Comment obtenir que les directions de transmission privilégiées de ces polariseurs soient $\;\perp \;$ entre elles ?

Solution

     Le faisceau laser à la sortie du 1^er polariseur «$\;(1)\;$» étant polarisé suivant la direction de transmission privilégiée «$\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;$»,
     on fait tourner le 2^ème polariseur «$\;(2)\;$» jusqu'à obtenir l'extinction complète du faisceau à la sortie de ce dernier, cela signifiant que
     la direction de polarisation du faisceau laser à la sortie du polariseur «$\;(1)\;$» c'est-à-dire «$\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;$» est $\;\perp \;$ à la direction de transmission privilégiée «$\;{\vec {v}}_{P_{(2)}}\;$» du polariseur «$\;(2)\;$» ; on dit alors que les polariseurs sont croisés.

 

Conséquence de l'introduction d'un 3^ème polariseur entre les deux précédents à directions de transmission privilégiées perpendiculaires entre elles

     Entre les polariseurs «$\;(1)\;$ et $\;(2)\;$» à directions de transmission privilégiées $\;\perp \;$ entre elles, on introduit un polariseur «$\;(3)\;$» dont la direction de transmission privilégiée fait un angle «$\;\alpha \;$» avec celle du polariseur «$\;(1)\;$», 1^er polariseur rencontré par la lumière.
     Qu'observe-t-on a priori ?

     Exprimer l'éclairement à la sortie du dispositif en fonction de «$\;\alpha \;$» et de sa valeur maximale «$\;{\mathcal {E}}_{\text{max}}\;$».

Solution

Insertion d'un polariseur «$\;(3)\;$» entre deux polariseurs croisés «$\;(1)\;$ et $\;(2)\;$», la direction de transmission privilégiée de «$\;(3)\;$» c'est-à-dire «$\;{\vec {v}}_{P_{(3)}}\;$» faisant l'angle algébrisé «$\;\alpha \;$» avec celle de «$\;(1)\;$» c'est-à-dire «$\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;$» $\;{\big [}$le sens $\;+\;$ étant choisi de «$\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;$ vers $\;{\vec {v}}_{P_{(2)}}\;$»${\big ]}$

     Le faisceau laser sortant du polariseur «$\;(1)\;$» polarisé suivant «$\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;$» $\;{\big [}$voir figure ci-contre${\big ]}$ a un champ électrique vibrant «$\;{\vec {E}}_{1}\;$» d'amplitude «$\;E_{1,\,0}\;$» pouvant être considéré comme la somme de deux composantes,

• l'une polarisée suivant la direction de transmission privilégiée «$\;{\vec {v}}_{P_{(3)}}\;$» du polariseur «$\;(3)\;$» «$\;{\vec {E}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{P_{(3)}}=E_{1}\,\cos(\alpha )\;$» et
• l'autre suivant la direction directement $\;\perp \;$ «$\;-E_{1}\,\sin(\alpha )\;$» ;

     à la sortie du polariseur «$\;(3)\;$», le faisceau laser est donc polarisé suivant la direction de transmission privilégiée «$\;{\vec {v}}_{P_{(3)}}\;$» et
     à la sortie du polariseur «$\;\color {transparent}{(3)}\;$», le faisceau laser est donc polarisé l'amplitude de son champ électrique est «$\;E_{3,\,0}=E_{1,\,0}\,\cos(\alpha )\;$» ;

     ce champ électrique «$\;{\vec {E}}_{3}\;$» peut être considéré comme la somme de deux composantes,

• l'une polarisée suivant la direction de transmission privilégiée «$\;{\vec {v}}_{P_{(2)}}\;$» du polariseur «$\;(2)\;$» «$\;{\vec {E}}_{3}\cdot {\vec {v}}_{P_{(2)}}=E_{3}\,\cos \left({\dfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)=E_{3}\,\sin(\alpha )\;$» et
• l'autre suivant la direction directement $\;\perp \;$ «$\;-E_{3}\,\cos(\alpha )\;$» ;

     finalement à la sortie du polariseur «$\;(2)\;$», le faisceau laser est polarisé suivant la direction de transmission privilégiée «$\;{\vec {v}}_{P_{(2)}}\;$» et
     finalement à la sortie du polariseur «$\;\color {transparent}{(2)}\;$», le faisceau laser est donc polarisé l'amplitude de son champ électrique est «$\;E_{3,\,0}\,\sin(\alpha )=E_{1,\,0}\,\cos(\alpha )\,sin(\alpha )\;$
     finalement à la sortie du polariseur «$\;\color {transparent}{(2)}\;$», le faisceau laser est donc polarisé l'amplitude de son champ électrique est «$\;\color {transparent}{E_{3,\,0}\,\sin(\alpha )}$ $={\dfrac {E_{1,\,0}}{2}}\,\sin(2\,\alpha )\;$».

     L'éclairement à la sortie du dispositif est donc, d'après la loi de Malus «$\;{\mathcal {E}}_{\text{sortie}}=K\,{\dfrac {E_{1,\,0}^{2}}{4}}\,\sin ^{2}(2\,\alpha )\;$» soit,
     L'éclairement à la sortie du dispositif est donc, en posant «$\;{\mathcal {E}}_{\text{entrée}}=K\,E_{1,\,0}^{2}\;$», «$\;{\mathcal {E}}_{\text{sortie}}={\dfrac {{\mathcal {E}}_{\text{entrée}}}{4}}\,\sin ^{2}(2\,\alpha )\;$», ou,
     L'éclairement à la sortie du dispositif est donc, en introduisant sa valeur maximale «$\;{\mathcal {E}}_{\text{max}}={\dfrac {{\mathcal {E}}_{\text{entrée}}}{4}}\;$», «$\;{\mathcal {E}}_{\text{sortie}}={\mathcal {E}}_{\text{max}}\,\sin ^{2}(2\,\alpha )\;$».

 

Rotation d'une direction de polarisation

     «$\;N+1\;$» polariseurs sont placés les uns à la suite des autres.

     La direction de transmission privilégiée de chaque polariseur fait un «$\;\alpha \;$ avec la direction de transmission privilégiée du polariseur précédent ». Ainsi la direction de transmission privilégiée du dernier polariseur fait un angle «$\;\theta =N\,\alpha \;$ avec celle du 1^er polariseur ».

     On considère un faisceau lumineux incident caractérisé à l'entrée du système par un éclairement «$\;{\mathcal {E}}_{0}\;$» et une polarisation rectiligne $\;\parallel \;$ à la direction de transmission privilégiée du 1^er polariseur.

Expression de l'éclairement du faisceau sortant en fonction de N entre autres, cas de N infini

     En négligeant les pertes, exprimer l'éclairement «$\;{\mathcal {E}}\;$» du faisceau sortant en fonction de «$\;{\mathcal {E}}_{0}$, $\;N\;$ et $\;\theta \;$».

     En négligeant les pertes, En donner une expression approchée pour «$\;N\gg 1\;$».

     En négligeant les pertes, Quel est l'intérêt de ce dispositif ?

Solution

     Soit un faisceau lumineux polarisé rectilignement suivant la direction de transmission privilégiée du 1^er polariseur, d'éclairement à l'entrée de ce dernier «$\;{\mathcal {E}}_{0}\;$»,
     Soit un faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant tourné d'un angle «$\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;$» à la sortie du 2^ème polariseur, y a un éclairement «$\;{\mathcal {E}}_{1}={\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{2}(\alpha )\;$» selon la loi de Malus,
     Soit un faisceau lumineux $\;\ldots$
     Soit un faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une nouvelle fois tourné d'un angle «$\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;$» à la sortie du (i + 1)^ème polariseur, y a un éclairement selon la loi de Malus
     Soit un faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une nouvelle fois tourné d'un angle «$\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;$» à la sortie du (i + 1)^ème polariseur, y a un éclairement «$\;{\mathcal {E}}_{i}={\mathcal {E}}_{i-1}\,\cos ^{2}(\alpha )={\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,i)}(\alpha )\;$»,
     Soit un faisceau lumineux $\;\ldots$ et
     Soit un faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une dernière fois tourné d'un angle «$\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;$» à la sortie du (N + 1)^ème polariseur, y a un éclairement selon la loi de Malus
     Soit un faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une dernière fois tourné d'un angle «$\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;$» à la sortie du (N + 1)^ème polariseur, y a un éclairement «$\;{\mathcal {E}}_{N}={\mathcal {E}}_{N-1}\,\cos ^{2}(\alpha )={\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,N)}(\alpha )\;$», soit finalement «$\;{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{N}={\mathcal {E}}_{0}\,\left[\cos \!\left({\dfrac {\theta }{N}}\right)\right]^{(2\,N)}\;$».      Pour «$\;N\gg 1\;$», «$\;{\dfrac {\theta }{N}}\;$ est un infiniment petit définissant l'ordre un », et par suite «$\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{N}}\right)\simeq 1-{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\;$» par utilisation du D.L. de «$\;\cos(x)\;$» au voisinage de $\;0\;$ à l'ordre deux, d'où
     Pour «$\;\color {transparent}{N\gg 1}\;$», «$\;{\mathcal {E}}\simeq {\mathcal {E}}_{0}\,\left[1-{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\right]^{(2\,N)}\;$» soit encore, en considérant «$\;{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\;$ comme un nouvel infiniment petit d'ordre un » «$\;{\mathcal {E}}\simeq {\mathcal {E}}_{0}\,\left[1-(2\,N)\,{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\right]\;$» et finalement «$\;{\mathcal {E}}\simeq {\mathcal {E}}_{0}\,\left[1-{\dfrac {\theta ^{2}}{N}}\right]\;$» pour «$\;N\gg 1\;$».

     Intérêt du dispositif : Le dispositif permet de faire tourner la direction de polarisation d'un angle «$\;\theta \;$» fixé avec une perte minimale d'éclairement, perte d'autant plus faible que «$\;N\;$ est grand » car «$\;\lim \limits _{N\rightarrow \infty }{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{0}\;$».

 

Rectification de l'expression de l'éclairement du faisceau sortant tenant compte des pertes par réflexion et absorption sur chaque polariseur, étude d'un cas particulier

     En fait les pertes par réflexion sur les surfaces des polariseurs et par absorption par les polariseurs font que l'éclairement à la sortie de chaque polariseur n'est égal qu'« à $\;\rho =80\,\%\;$ de ce qu'il serait si ce polariseur était idéal ». Quelle est l'expression de «$\;{\mathcal {E}}\;$» si l'on tient compte de ces pertes ?

     Dans le cas où «$\;\theta ={\dfrac {\pi }{2}}\;$» calculer «$\;{\dfrac {\mathcal {E}}{{\mathcal {E}}_{0}}}\;$» pour $\;N\;$ allant de $\;1\;$ à $\;8$.

     Dans le cas où «$\;\color {transparent}{\theta ={\dfrac {\pi }{2}}}\;$» Quel est alors le meilleur choix pour $\;N$ ?

Solution

     Soit le faisceau lumineux étudié polarisé rectilignement suivant la direction de transmission privilégiée du 1^er polariseur, d'éclairement à la sortie de ce dernier «$\;\rho \;{\mathcal {E}}_{0}\;$»
     Soit le faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant tourné d'un angle «$\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;$» à la sortie du 2^ème polariseur, y a un éclairement «$\;{\mathcal {E}}_{1}=\rho ^{2}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{2}(\alpha )\;$» selon la loi de Malus,
     Soit le faisceau lumineux $\;\ldots$
     Soit le faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une nouvelle fois tourné de «$\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;$» à la sortie du (i + 1)^ème polariseur, y a un éclairement selon la loi de Malus
     Soit le faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une nouvelle fois tourné de «$\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;$» à la sortie du (i + 1)^ème polariseur, y a un éclairement «$\;{\mathcal {E}}_{i}=\rho \;{\mathcal {E}}_{i-1}\,\cos ^{2}(\alpha )=\rho ^{\,i+1}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,i)}(\alpha )\;$»,
     Soit le faisceau lumineux $\;\ldots$ et
     Soit le faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une dernière fois tourné de «$\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;$» à la sortie du (N + 1)^ème polariseur, y a un éclairement selon la loi de Malus
     Soit le faisceau lumineux dont la direction de polarisation ayant une dernière fois tourné de «$\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;$» à la sortie du (N + 1)^ème polariseur, y a un éclairement «$\;{\mathcal {E}}_{N}=\rho \;{\mathcal {E}}_{N-1}\,\cos ^{2}(\alpha )=\rho ^{\,N+1}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,N)}(\alpha )\;$», soit finalement «$\;{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{N}=\rho ^{\,N+1}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\left[\cos \!\left({\dfrac {\theta }{N}}\right)\right]^{(2\,N)}\;$».

     Dans le cas où «$\;\theta ={\dfrac {\pi }{2}}\;$» le calcul de «$\;{\dfrac {\mathcal {E}}{{\mathcal {E}}_{0}}}\;$» pour $\;N\;$ allant de $\;1\;$ à $\;8\;$ donne :

$\;{\begin{array}{| c | c | c | c | c | c | c | c | c |}\hline \quad N\quad &\quad 1\quad &\quad 2\quad &\quad 3\quad &\quad 4\quad &\quad 5\quad &\quad 6\quad &\quad 7\quad &\quad 8\quad \\\hline \quad {\dfrac {\mathcal {E}}{{\mathcal {E}}_{0}}}\quad &\quad 0\quad &\quad 0,1280\quad &\quad 0,1728\quad &\quad 0,1739\quad &\quad 0,1587\quad &\quad 0,1383\quad &\quad 0,1176\quad &\quad 0,0984\quad \\\hline \end{array}}\;$

     Dans le cas où «$\;\color {transparent}{\theta ={\dfrac {\pi }{2}}}\;$» le meilleur choix pour $\;N\;$ est donc «$\;N=4\;$» qui correspond à un maximum d'éclairement transmis, ce dernier n'étant toutefois que de «$\;17,4\,\%\;$».