Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable

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Approximation linéaire d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs modifier

Rappel de l'approximation linéaire d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs modifier

     L'approximation linéaire [1] est un cas particulier d'application à l'ordre un du théorème de Taylor – Young [2] vu plus loin :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : En physique on note ou,
     Remarque : En physique on note en introduisant la variable .

Développements limités à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs modifier

Développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles modifier

  • D.L. [9] à l'ordre un de au voisinage de  : [5] ou «»,
  • D.L. [9] à l'ordre un de au voisinage de  : [5] ou «»,
  • D.L. [9] à l'ordre un de au voisinage de  : [5] ou «» [10],
  • D.L. [9] à l'ordre un de au voisinage de  : [5] ou «»,
  • D.L. [9] à l'ordre un de au voisinage de  : [5] ou «» [11],
  • D.L. [9] à l'ordre un de au voisinage de  : [5] ou «»,
  • D.L. [9] à l'ordre un de au voisinage de  : [5] ou «»,
  • D.L. [9] à l'ordre un de au voisinage de  : [5] ou «»,
  • D.L. [9] à l'ordre un de [12], [13] au voisinage de  : [5] ou «».

     Remarque : Il est possible, dans certains cas, de déterminer un D.L. [9] à l'ordre deux d'une fonction par utilisation exclusive de l'approximation linéaire [1] d'une autre fonction comme sur l'exemple suivant
  Remarque : Il est possible, dans certains cas, de déterminer un « D.L. [9] à l'ordre deux de au voisinage de » :
     Remarque : on utilise la formule de trigonométrie et le D.L. [9] à l'ordre un de au voisinage de [5], [14] d'où
     Remarque : [5], [15] ou «» [16].

Énoncé du théorème de Taylor-Young modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

Infiniment petits d'ordres successifs, notion de développements limités d'ordre p d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs modifier

Infiniment petits d'ordres successifs modifier

     Dans la mesure où [4] peut être « le plus proche possible de » [18],

  • définit un infiniment petit d'ordre un,
  • un infiniment petit d'ordre deux,
  • ,
  • un infiniment petit d'ordre k, [19],
  • ,
  • un infiniment petit d'ordre n.

Réécriture du théorème de Taylor-Young utilisant qu'une fonction de classe Cn est de classe Cp avec p < n modifier

     Soit une fonction réelle de la variable , de classe sur un domaine [17], elle est évidemment de classe sur le même domaine si [20] et
     on peut réécrire la relation de Taylor-Young [2] selon «» [5], [21]
          on peut réécrire la relation de Taylor-Young selon dans laquelle la somme entre accolades est un [5] car
          on peut réécrire la relation de Taylor-Young selon soit finalement
     on peut la réécriture de la relation de Taylor-Young [2] selon «» [5] avec «» pour tout [22].

Notion de développements limités d'ordre p d'une fonction d'une variable de classe Cn au voisinage d'une de ses valeurs, l'ordre p étant < à n modifier

     On appelle développement limité (ou D.L.) d'ordre de la fonction de classe sur le domaine [17] au voisinage de , la relation de Taylor-Young [2] tronquée à l'ordre à savoir [5] avec  ;

  • D.L. [9] de d'ordre zéro au voisinage de «» [5] avec «»,
  • D.L. [9] de d'ordre un au voisinage de «» [5] avec «»,
  • D.L. [9] de d'ordre deux au voisinage de «» [5] avec «»,
  • D.L. [9] de d'ordre trois au voisinage de «» [5], [23] avec «»,
  • D.L. [9] de d'ordre (n - 1) au voisinage de « » [5] avec «».

     Remarques : Par abus nous appellerons D.L. [9] de d'ordre n au voisinage de , la relation de Taylor-Young [2] de appliquée à l'ordre au voisinage de bien qu'il n'y ait pas troncature [24].

     Remarques : On rappelle que les D.L. [9] de d'ordre au voisinage de sont écrits de façon plus concise en physique [25] selon «».

Principaux développements limités au voisinage de zéro modifier

D.L. d'ordre un de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro modifier

     Revoir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » plus haut dans ce chapitre ;

     on peut ajouter les D.L. [9] de fonctions hyperboliques directes et inverses [26], au voisinage de [27] :

  • D.L. [9] à l'ordre un de [28] au voisinage de  : [5] ou «» [29],
  • D.L. [9] à l'ordre un de [30] au voisinage de  : [5] ou «» [31],
  • D.L. [9] à l'ordre un de [32] au voisinage de  : [5] ou «» [33], [10],
  • D.L. [9] à l'ordre un de [34] au voisinage de  : [5] ou «» [35],
  • D.L. [9] à l'ordre un de [36] au voisinage de  : [5] ou «» [37].

D.L. d'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro modifier

  • D.L. [9] à l'ordre deux de au voisinage de  : [5] ou «» [38], [39],
  • D.L. [9] à l'ordre deux de au voisinage de  : [5] ou «» [40], [39],
  • D.L. [9] à l'ordre deux de au voisinage de  : [5] ou «» [41],
  • D.L. [9] à l'ordre deux de au voisinage de  : [5] ou «» [42], [39],
  • D.L. [9] à l'ordre deux de au voisinage de  : [5] ou «» [43], [44],
  • D.L. [9] à l'ordre deux de au voisinage de  : [5] ou «» [45], [39],
  • D.L. [9] à l'ordre deux de au voisinage de  : [5] ou «»,
  • D.L. [9] à l'ordre deux de au voisinage de  : [5] ou «» [46],
  • D.L. [9] à l'ordre deux de [12], [13] au voisinage de  : [5] ou «» [47] ;

     on peut ajouter les D.L. [9] de fonctions hyperboliques directes et inverses [26], au voisinage de [27] :

  • D.L. [9] à l'ordre deux de [28] au voisinage de  : [5] ou «» [39],
  • D.L. [9] à l'ordre deux de [30] au voisinage de  : [5] ou «» [39],
  • D.L. [9] à l'ordre deux de [32] au voisinage de  : [5] ou «» [48],
  • D.L. [9] à l'ordre deux de [34] au voisinage de  : [5] ou «» [49], [39],
  • D.L. [9] à l'ordre deux de [36] au voisinage de  : [5] ou «» [50], [39].

Trouver le développement limité au voisinage de zéro d'une fonction connaissant celui de sa dérivée modifier

Retrouver, sur un exemple, le D.L. d'ordre deux d'une fonction au voisinage de zéro connaissant le D.L. d'ordre un de sa dérivée au même voisinage modifier

     On se propose de retrouver le D.L. [9] à l'ordre deux de au voisinage de à partir du D.L. [9] à l'ordre un de au même voisinage de ,
         On se propose de retrouver le D.L. à l'ordre deux de au voisinage de sachant que est la primitive de qui s'annule en  ;

     du D.L. [9] de « à l'ordre un en au voisinage de » soit «» [5], on en déduit, en intégrant terme à terme,
     le D.L. [9] de « à l'ordre deux en au voisinage de » soit «» [5], [51].

     Commentaire : il est essentiel pour affirmer qu'on obtient le D.L. [9] de à l'ordre deux au voisinage de en intégrant terme à terme le D.L. [9] de à l'ordre un au voisinage de
     Commentaire : il est essentiel de vérifier que [5] est effectivement un [5], [51].

Par intégration du D.L. à l'ordre p d'une fonction au voisinage de zéro, détermination du D.L. à l'ordre p + 1 de n'importe quelle de ses primitives au même voisinage modifier

     Si on connaît le D.L. [9] à l'ordre d'une fonction de classe au voisinage de , on peut déterminer, en intégrant terme à terme,
     Si on connaît le D.L. [9] à l'ordre de n'importe quelle de ses primitives au même voisinage de [52], le terme d'ordre zéro étant la valeur de la primitive en à savoir .

     La propriété précédente reste applicable pour une fonction de classe avec fini dans ces conditions n'importe quelle primitive est de classe
       La propriété précédente reste applicable pour une fonction de classe avec fini mais la démonstration du fait que avec est un [5]
       La propriété précédente reste applicable pour une fonction de classe avec fini mais la démonstration est nécessairement différente [53] et non fournie.

Détermination progressive des D.L. d'ordre de plus en plus élevé des fonctions trigonométriques sinus et cosinus par intégration modifier

Déduire du D.L. à l'ordre deux de sin(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre trois de cos(x) au même voisinage modifier

     Connaissant le D.L. [9] à l'ordre deux de la fonction sinus au voisinage de «» [5] et

     Connaissant le résultat de l'intégration de la fonction sinus entre et selon dont on déduit «»,

     on intègre terme à terme le D.L. [9] à l'ordre deux de la fonction sinus au voisinage de selon «» [5], [54] pour en déduire

     on intègre terme à terme le D.L. [9] à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de soit «» [5], [55].

Déduire du D.L. à l'ordre trois de cos(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre quatre de sin(x) au même voisinage modifier

     Connaissant le D.L. [9] à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de «» [5] et

     Connaissant le résultat de l'intégration de la fonction cosinus entre et selon dont on déduit «»,

     on intègre terme à terme le D.L. [9] à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de selon «» [5], [56] pour en déduire

     on intègre terme à terme le D.L. [9] à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de soit «» [5].

Déduire du D.L. à l'ordre quatre de sin(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre cinq de cos(x) au même voisinage modifier

     Connaissant le D.L. [9] à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de «» [5] et

     Connaissant le résultat de l'intégration de la fonction sinus entre et selon dont on déduit «»,

     on intègre terme à terme le D.L. [9] à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de selon «» [5], [57] pour en déduire

     on intègre terme à terme le D.L. [9] à l'ordre cinq de la fonction cosinus au voisinage de soit «» [5], [58].

     

Trouver le développement limité d'une fonction « produit (ou quotient) de deux autres fonctions » modifier

Exposé de la méthode et précaution d'utilisation modifier

  • On peut, pour évaluer le D.L. [9] à l'ordre d'une « fonction produit » au voisinage de ,
    On peut, utiliser le D.L. [9] à l'ordre des fonctions et au même voisinage de , mais attention
    On peut, utiliser le D.L. [9] à l'ordre de chaque fonction facteur ayant éliminé tout infiniment petit d'ordre [59],
        On peut, utiliser le D.L. à l'ordre de chaque fonction facteur maintenir l'existence d'infiniment petits d'ordre lors du développement du produit des D.L. [9]
        On peut, utiliser le D.L. à l'ordre de chaque fonction facteur maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L. [9] de faux à partir de l'ordre ,
        On peut, utiliser le D.L. à l'ordre de chaque fonction facteur tout infiniment petit d'ordreobtenu en développant le produit des D.L. [9] doit impérativement être englobé dans un[5].
  • On peut aussi, pour évaluer le D.L. [9] à l'ordre d'une « fonction quotient » au voisinage de [60]
    On peut, utiliser le D.L. [9] à l'ordre des fonctions et au même voisinage de , plus précisément
    On peut, se ramener à la détermination du D.L. [9] à l'ordre de la fonction « produit » au voisinage de , et pour cela il conviendra auparavant de déduire,
          On peut, avec «», le D.L. [9] à l'ordre de la « fonction » de celui de « avec quand »,
          On peut, avec «», le D.L. [9] à l'ordre en de s'obtenant par utilisation
          On peut, avec «», du D.L. [9] à l'ordre en de «» [5], [61] mais attention,
          On peut, avec «», le D.L. [9] à l'ordre en de ayant éliminé tout infiniment petit d'ordre [59],
                On peut, avec «», le D.L. à l'ordre en de maintenir l'existence d'infiniment petits en d'ordre lors du développement de
                On peut, avec «», le D.L. à l'ordre en de maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L. [9] de
                    On peut, avec «», le D.L. à l'ordre en de maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L. faux à partir de l'ordre ,
                On peut, avec «», le D.L. à l'ordre en de tout infiniment petit d'ordreobtenu en développant les infiniment petits
                On peut, avec «», le D.L. à l'ordre en de tout infiniment petit d'ordredoit impérativement être englobé dans un[5] puis
    On peut, utiliser le D.L. [9] à l'ordre des fonctions et au même voisinage de , mais attention
    On peut, utiliser le D.L. [9] à l'ordre de chaque fonction facteur ayant éliminé tout infiniment petit d'ordre [59],
        On peut, utiliser le D.L. à l'ordre de chaque fonction facteur maintenir l'existence d'infiniment petits d'ordre lors du développement du produit des D.L. [9]
        On peut, utiliser le D.L. à l'ordre de chaque fonction facteur maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L. [9] de faux à partir de l'ordre ,
        On peut, utiliser le D.L. à l'ordre de chaque fonction facteur tout infiniment petit d'ordreobtenu en développant le produit des D.L. [9] doit impérativement être englobé dans un[5].
    On peut, Commentaire : Dans le cas où «», le D.L. [9] à l'ordre en de la fonction au voisinage de étant un infiniment petit d'ordre ,
    On peut, Commentaire : Dans le cas où «», la « fonction quotient » n'est définie en on peut lui associer un D.L. [9] à l'ordre en au voisinage de que si
    On peut, Commentaire : Dans le cas où «», le D.L. [9] à l'ordre en de la fonction au voisinage de est aussi un infiniment petit d'ordre [60] ; dans ces conditions,
    On peut, Commentaire : Dans le cas où «», la détermination du D.L. [9] à l'ordre en de la « fonction quotient » au voisinage de sera exposée en commentaire du
    On peut, Commentaire : Dans le cas où «», paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un quotient dont le numérateur est de D.L. à terme prépondérant égal à un infiniment petit d'ordre p »
    On peut, Commentaire : Dans le cas où «», paragraphe plus loin dans ce chapitre.

Détermination du D.L. à l'ordre quatre de la fonction tangente au voisinage de zéro à partir de celui des fonctions sinus et cosinus au même ordre et au même voisinage modifier

     À partir du D.L. [9] à l'ordre quatre de [5] au voisinage de [62] et
     À partir de la définition de on peut déterminer le D.L. [9] à l'ordre quatre de cette dernière au même voisinage de et
     pour cela il convient d'abord de déterminer le D.L. [9] d'ordre quatre en de «» avec «» [5]
              pour cela il convient d'abord de déterminer le D.L. d'ordre quatre en de «» avec infiniment petit dont le terme principal étant d'ordre deux en il suffira
         pour cela il convient d'abord de déterminer le D.L. d'ordre quatre en de « d'utiliser le D.L. [9] de à l'ordre deux en pour en avoir le D.L. [9] à l'ordre quatre en soit
         pour cela il convient d'abord de déterminer le D.L. d'ordre quatre en de «[5], [63], [64][5] et
                          pour cela il convient d'abord de déterminer le D.L. d'ordre quatre en de «[5], [65]
         pour cela il convient d'abord de déterminer le D.L. d'ordre quatre en de « d'où, en reportant ces expressions limitées à l'ordre quatre en on obtient
         pour cela il convient d'abord de déterminer le D.L. d'ordre quatre en de «» [5] puis
     pour cela il convient d'abord de déterminer le D.L. [9] d'ordre quatre en de «» à partir de [5] sans omettre de
     pour cela il convient d'abord pratiquer la troncature à l'ordre quatre dans le développement du produit des D.L. [9] soit
         pour cela il convient d'abord de déterminer le D.L. d'ordre quatre en de «» [5], [66] d'où
         pour cela il convient d'abord de déterminer le D.L. d'ordre quatre en de «» [5], [67].

Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un produit (ou d'un quotient) de deux fonctions dont le développement limité d'une des fonctions (ou du numérateur du quotient) a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p modifier

Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le développement limité d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p modifier

     Pour obtenir un D.L. [9] à l'ordre en l'infiniment petit au voisinage de d'un produit de deux fonctions sachant que
    Pour obtenir le D.L. [9] à l'ordre d'un des facteurs par exemple a pour terme prépondérant « un infiniment petit d'ordre » [68],
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre il suffit de prendre le D.L. [9] de l'autre facteur sur l'exemple à l'ordre  ; en effet,
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre si on « factorise le 1er facteur par », le D.L. [9] à l'ordre de se réécrit «»
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre si on « factorise le 1er facteur par », où «[5] est le D.L. [9] à l'ordre de » et
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre le D.L. [9] du produit à l'ordre en s'obtenant à partir de
              Pour obtenir un D.L. à l'ordre le D.L. du produit à l'ordre en s'obtenant dans lequel étant un D.L. [9] à l'ordre en , il est impératif que
              Pour obtenir un D.L. à l'ordre le D.L. du produit à l'ordre en s'obtenant dans lequel étant le D.L. [9] de soit aussi à l'ordre de façon à ce que
              Pour obtenir un D.L. à l'ordre le D.L. du produit à l'ordre en s'obtenant dans lequel étant le D.L. [9] du produit soit exact à cet ordre [69] ;
     pour terminer le produit du D.L. [9] de à l'ordre par l'infiniment petit d'ordre conduit effectivement au D.L. [9] du produit à l'ordre .

  • Pour déterminer le D.L. [9] à l'ordre un de quand est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. [9] de à l'ordre zéro,
  • pour déterminer le D.L. [9] à l'ordre deux de quand est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. [9] de à l'ordre un,
  • pour déterminer le D.L. [9] à l'ordre trois de quand est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. [9] de à l'ordre deux

Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un quotient dont le numérateur est de développement limité à terme prépondérant égal à un infiniment petit d'ordre p modifier

     Pour obtenir un D.L. [9] à l'ordre en l'infiniment petit au voisinage de d'un quotient de deux fonctions sachant que
    Pour obtenir le D.L. [9] à l'ordre du numérateur a pour terme prépondérant « un infiniment petit d'ordre » [68],
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre il suffit de prendre le D.L. [9] du dénominateur à l'ordre  ; en effet,
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre si on « factorise le numérateur par », le D.L. [9] à l'ordre de se réécrit «»
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre si on « factorise le numérateur par », où «[5] est le D.L. [9] à l'ordre de » et
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre le D.L. [9] du quotient à l'ordre en s'obtenant à partir de
               Pour obtenir un D.L. à l'ordre le D.L. du quotient à l'ordre en s'obtenant dans lequel étant un D.L. [9] à l'ordre en , il est impératif que
               Pour obtenir un D.L. à l'ordre le D.L. du quotient à l'ordre en s'obtenant dans lequel étant le D.L. [9] de et donc de soit aussi à l'ordre
                          Pour obtenir un D.L. à l'ordre le D.L. du quotient à l'ordre en s'obtenant de façon à ce que le D.L. [9] du produit soit exact à cet ordre [69] ;
     pour terminer le produit du D.L. [9] de à l'ordre par l'infiniment petit d'ordre conduit effectivement au D.L. [9] du produit à l'ordre .

     Commentaire : supposant le D.L. [9] à l'ordre en de la fonction au voisinage de être un infiniment petit d'ordre [19] et
     Commentaire : supposant le D.L. [9] à l'ordre en de la fonction au voisinage de être un infiniment petit d'ordre [19] de façon à ce que
     Commentaire : supposant la « fonction quotient » soit définie en et ait un D.L. [9] à l'ordre en au voisinage de de terme prépondérant infiniment petit d'ordre [70],
     Commentaire : la réécriture du D.L. [9] à l'ordre en de la fonction au voisinage de «» avec
         Commentaire : la réécriture du D.L. à l'ordre en de la fonction au voisinage de «» [5] ainsi que
     Commentaire : celle du D.L. [9] à l'ordre en de la fonction au voisinage de «» avec
         Commentaire : celle du D.L. à l'ordre en de la fonction au voisinage de «» [5] d'où la réécriture de «» avec
     Commentaire : les D.L. [9] précédents selon «[5], [71] ou, compte-tenu de la note « 71 »,
         Commentaire : les D.L. précédents selon « » [5] ;
     Commentaire : finalement nous obtenons le D.L. [9] de la « fonction quotient » à l'ordre en au voisinage de
         Commentaire : finalement nous obtenons le D.L. en appliquant la méthode exposée dans le corps de ce paragraphe à [5]
          Commentaire : finalement nous obtenons le D.L. en appliquant la méthode exposée dans le corps de ce paragraphe à un D.L. [9] à l'ordre en au voisinage de et par suite
          Commentaire : finalement nous obtenons le D.L. en appliquant la méthode exposée dans le corps de ce paragraphe à un D.L. [9] de à l'ordre [72] en au voisinage de
              Commentaire : finalement nous obtenons le D.L. en appliquant la méthode exposée dans le corps de ce paragraphe à un D.L. de de terme prépondérant infiniment petit d'ordre [70] ;
     Commentaire : remarque : pour obtenir un D.L. [9] de à l'ordre en au voisinage de il faut partir d'un D.L. [9] de à l'ordre a un D.L. [9] à l'ordre et
         Commentaire : remarque : pour obtenir un D.L. de à l'ordre en au voisinage de il faut partir d'un D.L. [9] de à l'ordre a un D.L. [9] à l'ordre
               Commentaire : remarque : pour obtenir un D.L. de à l'ordre en au voisinage de il faut partir d'un D.L. de à l'ordre qu'il faut tronquer à l'ordre [73]
         Commentaire : remarque : pour obtenir un D.L. de à l'ordre en au voisinage de on obtient alors un D.L. [9] de à l'ordre en au voisinage de et par suite
          Commentaire : remarque : pour obtenir un D.L. de à l'ordre en au voisinage de on obtient alors un D.L. [9] de à l'ordre [74] en au voisinage de .