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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Approximation linéaire d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs
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Rappel de l'approximation linéaire d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs
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L'approximation linéaire[1] est un cas particulier d'application à l'ordre un du théorème de Taylor – Young[2] vu plus loin :
Début d’un théorème
Approximation linéaire de

au voisinage de

Soit

une fonction réelle de la variable

, de classe

sur un domaine
[3],
Soit 
une valeur du domaine

et
Soit
[4],
on peut écrire la relation suivante : «

»
[5] où «
![{\displaystyle \;\lim \limits _{x\rightarrow a}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x-a\right)}{x-a}}\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/486aec96f85f0de4385d5065d95f644541254ade)
».
Fin du théorème
Remarque : En physique on note 
ou,
Remarque : En physique on note 
en introduisant la variable
.
Développements limités à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs
modifier
Développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles
modifier
- D.L.[9] à l'ordre un de
au voisinage de
:
[5] ou «
»,
- D.L.[9] à l'ordre un de
au voisinage de
:
[5] ou «
»,
- D.L.[9] à l'ordre un de
au voisinage de
:
[5] ou «
»[10],
- D.L.[9] à l'ordre un de
au voisinage de
:
[5] ou «
»,
- D.L.[9] à l'ordre un de
au voisinage de
:
[5] ou «
»[11],
- D.L.[9] à l'ordre un de
au voisinage de
:
[5] ou «
»,
- D.L.[9] à l'ordre un de
au voisinage de
:
[5] ou «
»,
- D.L.[9] à l'ordre un de
au voisinage de
:
[5] ou «
»,
- D.L.[9] à l'ordre un de
[12],[13] au voisinage de
:
[5] ou «
».
Remarque : Il est possible, dans certains cas, de déterminer un D.L.[9] à l'ordre deux d'une fonction par utilisation exclusive de l'approximation linéaire[1] d'une autre fonction comme sur l'exemple suivant
Remarque : Il est possible, dans certains cas, de déterminer un « D.L.[9] à l'ordre deux de
au voisinage de
» :
Remarque : on utilise la formule de trigonométrie
et le D.L.[9] à l'ordre un de
au voisinage de
[5],[14] d'où
Remarque :
[5],[15] ou «
»[16].
Énoncé du théorème de Taylor-Young
modifier
Début d’un théorème
Énoncé du théorème de Taylor-Young
Soit

une fonction réelle de la variable

, de classe

sur un domaine
[17],
Soit 
une valeur du domaine

et
Soit
[4],
on peut lui appliquer la
relation de Taylor-Young[2] suivante :
«
»[5] où
«
».
Fin du théorème
Infiniment petits d'ordres successifs, notion de développements limités d'ordre p d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs
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Infiniment petits d'ordres successifs
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Dans la mesure où
[4] peut être « le plus proche possible de
»[18],
définit un infiniment petit d'ordre un,
un infiniment petit d'ordre deux,
,
un infiniment petit d'ordre k,
[19],
,
un infiniment petit d'ordre n.
Réécriture du théorème de Taylor-Young utilisant qu'une fonction de classe Cn est de classe Cp avec p < n
modifier
Soit
une fonction réelle de la variable
, de classe
sur un domaine
[17], elle est évidemment de classe
sur le même domaine
si
[20] et
on peut réécrire la relation de Taylor-Young[2] selon «
»[5],[21]
on peut réécrire la relation de Taylor-Young selon dans laquelle la somme entre accolades
est un
[5] car
on peut réécrire la relation de Taylor-Young selon
soit finalement
on peut la réécriture de la relation de Taylor-Young[2] selon
«
»[5] avec «
» pour tout
[22].
Notion de développements limités d'ordre p d'une fonction d'une variable de classe Cn au voisinage d'une de ses valeurs, l'ordre p étant < à n
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On appelle développement limité (ou D.L.) d'ordre
de la fonction
de classe
sur le domaine
[17]
au voisinage de
, la relation de Taylor-Young[2] tronquée à l'ordre
à savoir
[5] avec
;
- D.L.[9] de
d'ordre zéro au voisinage de
«
»[5] avec «
»,
- D.L.[9] de
d'ordre un au voisinage de
«
»[5] avec «
»,
- D.L.[9] de
d'ordre deux au voisinage de
«
»[5] avec «
»,
- D.L.[9] de
d'ordre trois au voisinage de
«
»[5],[23] avec «
»,

- D.L.[9] de
d'ordre (n - 1) au voisinage de
«
»[5] avec «
».
Remarques : Par abus nous appellerons D.L.[9] de
d'ordre n au voisinage de
, la relation de Taylor-Young[2] de
appliquée à l'ordre
au voisinage de
bien qu'il n'y ait pas troncature[24].
Remarques : On rappelle que les D.L.[9] de
d'ordre
au voisinage de
sont écrits de façon plus concise en physique[25] selon «
».
Principaux développements limités au voisinage de zéro
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D.L. d'ordre un de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro
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Revoir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » plus haut dans ce chapitre ;
on peut ajouter les D.L.[9] de fonctions hyperboliques directes et inverses[26], au voisinage de
[27] :
- D.L.[9] à l'ordre un de
[28] au voisinage de
:
[5] ou «
»[29],
- D.L.[9] à l'ordre un de
[30] au voisinage de
:
[5] ou «
»[31],
- D.L.[9] à l'ordre un de
[32] au voisinage de
:
[5] ou «
»[33],[10],
- D.L.[9] à l'ordre un de
[34] au voisinage de
:
[5] ou «
»[35],
- D.L.[9] à l'ordre un de
[36] au voisinage de
:
[5] ou «
»[37].
D.L. d'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro
modifier
- D.L.[9] à l'ordre deux de
au voisinage de
:
[5] ou «
»[38],[39],
- D.L.[9] à l'ordre deux de
au voisinage de
:
[5] ou «
»[40],[39],
- D.L.[9] à l'ordre deux de
au voisinage de
:
[5] ou «
»[41],
- D.L.[9] à l'ordre deux de
au voisinage de
:
[5] ou «
»[42],[39],
- D.L.[9] à l'ordre deux de
au voisinage de
:
[5] ou «
»[43],[44],
- D.L.[9] à l'ordre deux de
au voisinage de
:
[5] ou «
»[45],[39],
- D.L.[9] à l'ordre deux de
au voisinage de
:
[5] ou «
»,
- D.L.[9] à l'ordre deux de
au voisinage de
:
[5] ou «
»[46],
- D.L.[9] à l'ordre deux de
[12],[13] au voisinage de
:
[5] ou «
»[47] ;
on peut ajouter les D.L.[9] de fonctions hyperboliques directes et inverses[26], au voisinage de
[27] :
- D.L.[9] à l'ordre deux de
[28] au voisinage de
:
[5] ou «
»[39],
- D.L.[9] à l'ordre deux de
[30] au voisinage de
:
[5] ou «
»[39],
- D.L.[9] à l'ordre deux de
[32] au voisinage de
:
[5] ou «
»[48],
- D.L.[9] à l'ordre deux de
[34] au voisinage de
:
[5] ou «
»[49],[39],
- D.L.[9] à l'ordre deux de
[36] au voisinage de
:
[5] ou «
»[50],[39].
Trouver le développement limité au voisinage de zéro d'une fonction connaissant celui de sa dérivée
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Retrouver, sur un exemple, le D.L. d'ordre deux d'une fonction au voisinage de zéro connaissant le D.L. d'ordre un de sa dérivée au même voisinage
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On se propose de retrouver le D.L.[9] à l'ordre deux de
au voisinage de
à partir du D.L.[9] à l'ordre un de
au même voisinage de
,
On se propose de retrouver le D.L. à l'ordre deux de
au voisinage de
sachant que
est la primitive de
qui s'annule en
;
du D.L.[9] de «
à l'ordre un en
au voisinage de
» soit «
»[5], on en déduit, en intégrant terme à terme,
le D.L.[9] de «
à l'ordre deux en
au voisinage de
» soit «
»[5],[51].
Commentaire : il est essentiel pour affirmer qu'on obtient le D.L.[9] de
à l'ordre deux au voisinage de
en intégrant terme à terme le D.L.[9] de
à l'ordre un au voisinage de
Commentaire : il est essentiel de vérifier que
[5] est effectivement un
[5],[51].
Par intégration du D.L. à l'ordre p d'une fonction au voisinage de zéro, détermination du D.L. à l'ordre p + 1 de n'importe quelle de ses primitives au même voisinage
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Si on connaît le D.L.[9] à l'ordre
d'une fonction
de classe
au voisinage de
, on peut déterminer, en intégrant terme à terme,
Si on connaît le D.L.[9] à l'ordre
de n'importe quelle de ses primitives
au même voisinage de
[52], le terme d'ordre zéro étant la valeur de la primitive en
à savoir
.
La propriété précédente reste applicable pour une fonction de classe
avec
fini
dans ces conditions n'importe quelle primitive est de classe
La propriété précédente reste applicable pour une fonction de classe
avec
fini mais la démonstration du fait que
avec
est un
[5]
La propriété précédente reste applicable pour une fonction de classe
avec
fini mais la démonstration est nécessairement différente[53]
et non fournie
.
Détermination progressive des D.L. d'ordre de plus en plus élevé des fonctions trigonométriques sinus et cosinus par intégration
modifier
Déduire du D.L. à l'ordre deux de sin(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre trois de cos(x) au même voisinage
modifier
Connaissant le D.L.[9] à l'ordre deux de la fonction sinus au voisinage de
«
»[5] et
Connaissant le résultat de l'intégration de la fonction sinus entre
et
selon
dont on déduit «
»,
on intègre terme à terme le D.L.[9] à l'ordre deux de la fonction sinus au voisinage de
selon «
»[5],[54] pour en déduire
on intègre terme à terme le D.L.[9] à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de
soit «
»[5],[55].
Déduire du D.L. à l'ordre trois de cos(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre quatre de sin(x) au même voisinage
modifier
Connaissant le D.L.[9] à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de
«
»[5] et
Connaissant le résultat de l'intégration de la fonction cosinus entre
et
selon
dont on déduit «
»,
on intègre terme à terme le D.L.[9] à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de
selon «
»[5],[56] pour en déduire
on intègre terme à terme le D.L.[9] à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de
soit «
»[5].
Déduire du D.L. à l'ordre quatre de sin(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre cinq de cos(x) au même voisinage
modifier
Connaissant le D.L.[9] à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de
«
»[5] et
Connaissant le résultat de l'intégration de la fonction sinus entre
et
selon
dont on déduit «
»,
on intègre terme à terme le D.L.[9] à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de
selon «
»[5],[57] pour en déduire
on intègre terme à terme le D.L.[9] à l'ordre cinq de la fonction cosinus au voisinage de
soit «
»[5],[58].
Trouver le développement limité d'une fonction « produit (ou quotient) de deux autres fonctions »
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Exposé de la méthode et précaution d'utilisation
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- On peut, pour évaluer le D.L.[9] à l'ordre
d'une « fonction produit
» au voisinage de
,
On peut, utiliser le D.L.[9] à l'ordre
des fonctions
et
au même voisinage de
, mais attention
On peut, utiliser le D.L.[9] à l'ordre
de chaque fonction facteur ayant éliminé tout infiniment petit d'ordre
[59],
On peut, utiliser le D.L. à l'ordre
de chaque fonction facteur maintenir l'existence d'infiniment petits d'ordre
lors du développement du produit des D.L.[9]
On peut, utiliser le D.L. à l'ordre
de chaque fonction facteur maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L.[9] de
faux à partir de l'ordre
,
On peut, utiliser le D.L. à l'ordre
de chaque fonction facteur tout infiniment petit d'ordre
obtenu en développant le produit des D.L.[9] doit impérativement être englobé dans un
[5].
- On peut aussi, pour évaluer le D.L.[9] à l'ordre
d'une « fonction quotient
» au voisinage de
[60]
On peut, utiliser le D.L.[9] à l'ordre
des fonctions
et
au même voisinage de
, plus précisément
On peut, se ramener à la détermination du D.L.[9] à l'ordre
de la fonction « produit
» au voisinage de
, et pour cela il conviendra auparavant de déduire,
On peut, avec «
», le D.L.[9] à l'ordre
de la « fonction
» de celui de «
avec
quand
»,
On peut, avec «
», le D.L.[9] à l'ordre
en
de
s'obtenant par utilisation
On peut, avec «
», du D.L.[9] à l'ordre
en
de «
»[5],[61] mais attention,
On peut, avec «
», le D.L.[9] à l'ordre
en
de
ayant éliminé tout infiniment petit d'ordre
[59],
On peut, avec «
», le D.L. à l'ordre
en
de
maintenir l'existence d'infiniment petits en
d'ordre
lors du développement de
où
On peut, avec «
», le D.L. à l'ordre
en
de
maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L.[9] de
On peut, avec «
», le D.L. à l'ordre
en
de
maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L. faux à partir de l'ordre
,
On peut, avec «
», le D.L. à l'ordre
en
de
tout infiniment petit d'ordre
obtenu en développant les infiniment petits
où
On peut, avec «
», le D.L. à l'ordre
en
de
tout infiniment petit d'ordre
doit impérativement être englobé dans un
[5] puis
On peut, utiliser le D.L.[9] à l'ordre
des fonctions
et
au même voisinage de
, mais attention
On peut, utiliser le D.L.[9] à l'ordre
de chaque fonction facteur ayant éliminé tout infiniment petit d'ordre
[59],
On peut, utiliser le D.L. à l'ordre
de chaque fonction facteur maintenir l'existence d'infiniment petits d'ordre
lors du développement du produit des D.L.[9]
On peut, utiliser le D.L. à l'ordre
de chaque fonction facteur maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L.[9] de
faux à partir de l'ordre
,
On peut, utiliser le D.L. à l'ordre
de chaque fonction facteur tout infiniment petit d'ordre
obtenu en développant le produit des D.L.[9] doit impérativement être englobé dans un
[5].
On peut, Commentaire : Dans le cas où «
», le D.L.[9] à l'ordre
en
de la fonction
au voisinage de
étant un infiniment petit d'ordre
,
On peut, Commentaire : Dans le cas où «
», la « fonction quotient
» n'est définie en
on peut lui associer un D.L.[9] à l'ordre
en
au voisinage de
que si
On peut, Commentaire : Dans le cas où «
», le D.L.[9] à l'ordre
en
de la fonction
au voisinage de
est aussi un infiniment petit d'ordre
[60] ; dans ces conditions,
On peut, Commentaire : Dans le cas où «
», la détermination du D.L.[9] à l'ordre
en
de la « fonction quotient
» au voisinage de
sera exposée en commentaire du
On peut, Commentaire : Dans le cas où «
», paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un quotient dont le numérateur est de D.L. à terme prépondérant égal à un infiniment petit d'ordre p »
On peut, Commentaire : Dans le cas où «
», paragraphe plus loin dans ce chapitre.
Détermination du D.L. à l'ordre quatre de la fonction tangente au voisinage de zéro à partir de celui des fonctions sinus et cosinus au même ordre et au même voisinage
modifier
À partir du D.L.[9] à l'ordre quatre de
[5] au voisinage de
[62] et
À partir de la définition de
on peut déterminer le D.L.[9] à l'ordre quatre de cette dernière au même voisinage de
et
pour cela il convient d'abord
de déterminer le D.L.[9] d'ordre quatre en
de «
» avec «
»[5]
pour cela il convient d'abord
de déterminer le D.L. d'ordre quatre en
de «
» avec infiniment petit dont le terme principal étant d'ordre deux en
il suffira
pour cela il convient d'abord
de déterminer le D.L. d'ordre quatre en
de « d'utiliser le D.L.[9] de
à l'ordre deux en
pour en avoir le D.L.[9] à l'ordre quatre en
soit
pour cela il convient d'abord
de déterminer le D.L. d'ordre quatre en
de «
[5],[63],[64] où
[5] et
pour cela il convient d'abord
de déterminer le D.L. d'ordre quatre en
de «
où
[5],[65]
pour cela il convient d'abord
de déterminer le D.L. d'ordre quatre en
de « d'où, en reportant ces expressions limitées à l'ordre quatre en
on obtient
pour cela il convient d'abord
de déterminer le D.L. d'ordre quatre en
de «
»[5] puis
pour cela il convient d'abord
de déterminer le D.L.[9] d'ordre quatre en
de «
» à partir de
[5] sans omettre de
pour cela il convient d'abord
pratiquer la troncature à l'ordre quatre dans le développement du produit des D.L.[9] soit
pour cela il convient d'abord
de déterminer le D.L. d'ordre quatre en
de «
»[5],[66] d'où
pour cela il convient d'abord
de déterminer le D.L. d'ordre quatre en
de «
»[5],[67].
Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un produit (ou d'un quotient) de deux fonctions dont le développement limité d'une des fonctions (ou du numérateur du quotient) a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p
modifier
Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le développement limité d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p
modifier
Pour obtenir un D.L.[9] à l'ordre
en l'infiniment petit
au voisinage de
d'un produit de deux fonctions
sachant que
Pour obtenir le D.L.[9] à l'ordre
d'un des facteurs
par exemple
a pour terme prépondérant « un infiniment petit d'ordre
»[68],
Pour obtenir un D.L. à l'ordre
il suffit de prendre le D.L.[9] de l'autre facteur
sur l'exemple
à l'ordre
; en effet,
Pour obtenir un D.L. à l'ordre
si on « factorise le 1er facteur
par
», le D.L.[9] à l'ordre
de
se réécrit «
»
Pour obtenir un D.L. à l'ordre
si on « factorise le 1er facteur
par
», où «
[5] est le D.L.[9] à l'ordre
de
» et
Pour obtenir un D.L. à l'ordre
le D.L.[9] du produit
à l'ordre
en
s'obtenant à partir de
Pour obtenir un D.L. à l'ordre
le D.L. du produit
à l'ordre
en
s'obtenant dans lequel
étant un D.L.[9] à l'ordre
en
, il est impératif que
Pour obtenir un D.L. à l'ordre
le D.L. du produit
à l'ordre
en
s'obtenant dans lequel
étant le D.L.[9] de
soit aussi à l'ordre
de façon à ce que
Pour obtenir un D.L. à l'ordre
le D.L. du produit
à l'ordre
en
s'obtenant dans lequel
étant le D.L.[9] du produit
soit exact à cet ordre
[69] ;
pour terminer le produit du D.L.[9] de
à l'ordre
par l'infiniment petit
d'ordre
conduit effectivement au D.L.[9] du produit
à l'ordre
.
D.L. d'un produit dont l'un des facteurs est équivalent à un infiniment petit d'ordre p
Cherchant à déterminer le D.L.
[9] à l'ordre

d'un produit de deux fonctions

au voisinage de

avec
Cherchant à déterminer le D.L.
[9] de

à l'ordre

ayant pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre

,
il suffit de prendre le D.L. de

à l'ordre

pour en faire le produit avec le D.L.
[9] de

.
- Pour déterminer le D.L.[9] à l'ordre un de
quand
est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L.[9] de
à l'ordre zéro,
- pour déterminer le D.L.[9] à l'ordre deux de
quand
est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L.[9] de
à l'ordre un,
- pour déterminer le D.L.[9] à l'ordre trois de
quand
est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L.[9] de
à l'ordre deux 
Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un quotient dont le numérateur est de développement limité à terme prépondérant égal à un infiniment petit d'ordre p
modifier
Pour obtenir un D.L.[9] à l'ordre
en l'infiniment petit
au voisinage de
d'un quotient de deux fonctions
sachant que
Pour obtenir le D.L.[9] à l'ordre
du numérateur
a pour terme prépondérant « un infiniment petit d'ordre
»[68],
Pour obtenir un D.L. à l'ordre
il suffit de prendre le D.L.[9] du dénominateur
à l'ordre
; en effet,
Pour obtenir un D.L. à l'ordre
si on « factorise le numérateur
par
», le D.L.[9] à l'ordre
de
se réécrit «
»
Pour obtenir un D.L. à l'ordre
si on « factorise le numérateur
par
», où «
[5] est le D.L.[9] à l'ordre
de
» et
Pour obtenir un D.L. à l'ordre
le D.L.[9] du quotient
à l'ordre
en
s'obtenant à partir de
Pour obtenir un D.L. à l'ordre
le D.L. du quotient
à l'ordre
en
s'obtenant dans lequel
étant un D.L.[9] à l'ordre
en
, il est impératif que
Pour obtenir un D.L. à l'ordre
le D.L. du quotient
à l'ordre
en
s'obtenant dans lequel
étant le D.L.[9] de
et donc de
soit aussi à l'ordre
Pour obtenir un D.L. à l'ordre
le D.L. du quotient
à l'ordre
en
s'obtenant de façon à ce que le D.L.[9] du produit
soit exact à cet ordre
[69] ;
pour terminer le produit du D.L.[9] de
à l'ordre
par l'infiniment petit
d'ordre
conduit effectivement au D.L.[9] du produit
à l'ordre
.
Commentaire : supposant le D.L.[9] à l'ordre
en
de la fonction
au voisinage de
être un infiniment petit d'ordre
[19] et
Commentaire : supposant le D.L.[9] à l'ordre
en
de la fonction
au voisinage de
être un infiniment petit d'ordre
[19] de façon à ce que
Commentaire : supposant la « fonction quotient
» soit définie en
et ait un D.L.[9] à l'ordre
en
au voisinage de
de terme prépondérant infiniment petit d'ordre
[70],
Commentaire :
la réécriture du D.L.[9] à l'ordre
en
de la fonction
au voisinage de
«
» avec
Commentaire :
la réécriture du D.L. à l'ordre
en
de la fonction
au voisinage de
«
»[5] ainsi que
Commentaire :
celle du D.L.[9] à l'ordre
en
de la fonction
au voisinage de
«
» avec
Commentaire :
celle du D.L. à l'ordre
en
de la fonction
au voisinage de
«
»[5] d'où la réécriture de «
» avec
Commentaire :
les D.L.[9] précédents selon «
[5],[71] ou, compte-tenu de la note « 71 »,
Commentaire :
les D.L. précédents selon «
»[5] ;
Commentaire : finalement nous obtenons le D.L.[9] de la « fonction quotient
» à l'ordre
en
au voisinage de
Commentaire : finalement nous obtenons le D.L. en appliquant la méthode exposée dans le corps de ce paragraphe à
[5]
Commentaire : finalement nous obtenons le D.L. en appliquant la méthode exposée dans le corps de ce paragraphe à
un D.L.[9] à l'ordre
en
au voisinage de
et par suite
Commentaire : finalement nous obtenons le D.L. en appliquant la méthode exposée dans le corps de ce paragraphe à
un D.L.[9] de
à l'ordre
[72] en
au voisinage de
Commentaire : finalement nous obtenons le D.L. en appliquant la méthode exposée dans le corps de ce paragraphe à
un D.L. de
de terme prépondérant infiniment petit d'ordre
[70] ;
Commentaire : remarque : pour obtenir un D.L.[9] de
à l'ordre
en
au voisinage de
il faut partir d'un D.L.[9] de
à l'ordre