En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Remarque : En physique on note ou, Remarque : En physique on note en introduisant la variable .
Développements limités à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeursModifier
Définitions
pouvant être choisi aussi petit que possible définit « un infiniment petit d'ordre un » et
l'approximation linéaire de au voisinage de [5][6] est encore appelé « développement limité (D.L.) à l'ordre un de la fonctionau voisinage de » [7] :
le 1er terme étant le terme d'ordre zéroseule grandeur non infiniment petite et
le 2ème le terme d'ordre unqui est aussi un infiniment petit d'ordre un ;
le 1er terme non nul définit le terme prépondérantc.-à-d. .
Développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuellesModifier
D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou ,
D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou ,
D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou [8],
D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou ,
D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou [9],
D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou ,
D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou ,
D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro : ou ,
D.L. à l'ordre un de [10],[11] au voisinage de zéro : ou .
Remarque : Il est possible, dans certains cas, de déterminer un développement limité à l'ordre deux d'une fonction par utilisation exclusive de l'approximation linéaire d'une autre fonction comme sur l'exemple suivant « D.L. à l'ordre deux de au voisinage de zéro » :
Remarque : on utilise la formule de trigonométrie et le D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro [12] d'où
Remarque : [13] ou [14].
Soit une fonction réelle de la variable , de classe sur un domaine [15], une valeur du domaine et [16], on peut lui appliquer la relation de Taylor-Young [1] suivante :
Infiniment petits d'ordres successifs, notion de développements limités d'ordre p d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeursModifier
Réécriture du théorème de Taylor-Young utilisant qu'une fonction de classe Cn est de classe Cp avec p < nModifier
Soit une fonction réelle de la variable , de classe sur un domaine [15], elle est évidemment de classe sur le même domaine si [19] et on peut réécrire la relation de Taylor-Young [1] selon [20] dans lequel la somme entre accolades est un car soit finalement la réécriture de la relation de Taylor-Young [1] selon
Notion de développements limités d'ordre p d'une fonction d'une variable de classe Cn au voisinage d'une de ses valeurs, l'ordre p étant < à nModifier
On appelle développement limité (ou D.L.) d'ordrede la fonctionde classe sur le domaine [15]au voisinage de, la relation de Taylor-Young [1] tronquée à l'ordre à savoir [4] avec ;
D.L. [22] de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « /mathoid/local/v1/ » :): {\displaystyle \;f\;}
d'ordre au voisinage de : [4],[23] dans lequel ,
D.L. [22] de d'ordre au voisinage de : [4] dans lequel .
Remarques : Par abus nous appellerons D.L. [22] de d'ordre au voisinage de , la relation de Taylor-Young [1] de appliquée à l'ordre au voisinage de bien qu'il n'y ait pas troncature donc pas de limitation du développement.
Remarques : On rappelle que les D.L. [22] de d'ordre au voisinage de sont écrits de façon plus concise en physique [24] selon .
Principaux développements limités au voisinage de zéroModifier
D.L. d'ordre un de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéroModifier
D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [32],
D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [32],
D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [41],
D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [42],[32],
D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro : ou [43],[32].
Trouver le développement limité au voisinage de zéro d'une fonction connaissant celui de sa dérivéeModifier
Retrouver, sur un exemple, le D.L. d'ordre deux d'une fonction au voisinage de zéro connaissant le D.L. d'ordre un de sa dérivée au même voisinageModifier
On se propose de retrouver le D.L. [22] à l'ordre deux de au voisinage de zéro à partir du D.L. [22] à l'ordre un de au même voisinage de zéro, sachant que est la primitive de qui s'annule en ;
sachant que à l'ordre un en au voisinage de zéro, on en déduit, en intégrant terme à terme, le D.L. [22] de à l'ordre deux en au voisinage de zéro soit [44], ce qui est effectivement le D.L. [22] de à l'ordre deux au voisinage de zéro.
Par intégration du D.L. à l'ordre p d'une fonction au voisinage de zéro, détermination du D.L. à l'ordre p + 1 de n'importe quelle de ses primitives au même voisinageModifier
Si on connaît le D.L. [22] à l'ordre d'une fonction de classe au voisinage de zéro, on peut déterminer, en intégrant terme à terme, le D.L. [22] à l'ordre de n'importe quelle de ses primitives au même voisinage de zéro, le terme d'ordre zéro étant la valeur de la primitive en zéro à savoir [45].
La propriété précédente reste applicable pour une fonction de classe avec fini dans ces conditions n'importe quelle primitive est de classe mais la démonstration du fait que avec est un est nécessairement différente [46]et non fournie.
Détermination progressive des D.L. d'ordre de plus en plus élevé des fonctions trigonométriques sinus et cosinus par intégrationModifier
Déduire du D.L. à l'ordre deux de sin(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre trois de cos(x) au même voisinageModifier
Connaissant le D.L. [22] à l'ordre deux de la fonction sinus au voisinage de zéro et
intégrant la fonction sinus entre et selon dont on déduit ,
on intègre terme à terme le D.L. [22] à l'ordre deux de la fonction sinus au voisinage de zéro pour
en déduire le D.L. [22] à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de zéro soit [47].
Déduire du D.L. à l'ordre trois de cos(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre quatre de sin(x) au même voisinageModifier
À partir du D.L. [22] à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de zéro et
intégrant la fonction cosinus entre et selon ,
on intègre terme à terme le D.L. [22] à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de zéro pour
en déduire le D.L. [22] à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de zéro soit .
Déduire du D.L. à l'ordre quatre de sin(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre cinq de cos(x) au même voisinageModifier
À partir du D.L. [22] à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de zéro et
ayant établi précédemment que ,
on intègre terme à terme le D.L. [22] à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de zéro pour
en déduire le D.L. [22] à l'ordre cinq de la fonction cosinus au voisinage de zéro soit [47]
Trouver le développement limité d'une fonction « produit (ou quotient) de deux autres fonctions »Modifier
Exposé de la méthode et précaution d'utilisationModifier
On peut, pour évaluer le D.L. [22] à l'ordre d'une fonction produit au voisinage de zéro, utiliser le D.L. [22] à l'ordre des fonctions et au même voisinage de zéro, mais attention
le D.L. [22] à l'ordre de chaque fonction composante ayant nécessité d'éliminer tout infiniment petit d'ordre strictement supérieur à , maintenir l'existence d'infiniment petits d'ordre strictement supérieur à lors du développement du produit des D.L. [22] conduirait nécessairement à un D.L. [22] de faux à partir de l'ordre , tout infiniment petit d'ordre strictement supérieur à obtenu en développant le produit des D.L. [22] doit impérativement être englobé dans un .
On peut aussi, pour évaluer le D.L. [22] à l'ordre d'une fonction quotient au voisinage de zéro, utiliser le D.L. [22] à l'ordre des fonctions et au même voisinage de zéro, plus précisément
on se ramènera à la détermination du D.L. [22] à l'ordre de la fonction produit au voisinage de zéro, et il conviendra auparavant de déduire le D.L. [22] à l'ordre de la fonction de celui de la forme normalisée de dont le terme constant étant égal à avec quand , le D.L. à l'ordre en de s'obtenant par utilisation du D.L. à l'ordre en de mais attention,
le D.L. [22] à l'ordre en de la forme normalisée de ayant nécessité d'éliminer tout infiniment petit d'ordre strictement supérieur à , maintenir l'existence d'infiniment petits en d'ordre strictement supérieur à lors du développement de où conduirait nécessairement à un D.L. [22] de faux à partir de l'ordre , tout infiniment petit d'ordre strictement supérieur à obtenu en développant les infiniment petits où doit impérativement être englobé dans un et
bien sûr la remarque précédente faite lors du développement du produit des D.L. [22] des composants et doit également être suivie
Détermination du D.L. à l'ordre quatre de la fonction tangente au voisinage de zéro à partir de celui des fonctions sinus et cosinus au même ordre et au même voisinageModifier
À partir du D.L. [22] à l'ordre quatre de au voisinage de zéro et de la définition de on peut déterminer le D.L. [22] à l'ordre quatre de cette dernière au même voisinage de zéro et pour cela il convient d'abord de
déterminer le D.L. [22] d'ordre quatre en de avec infiniment petit dont le terme principal étant d'ordre deux en implique qu'il suffira d'utiliser le D.L. [22] de à l'ordre deux en pour avoir le D.L. [22] à l'ordre quatre en de soit [48] avec et [49] d'où, en reportant ces expressions limitées à l'ordre quatre en on obtient puis de
déterminer le D.L. [22] d'ordre quatre en de à partir de sans omettre de pratiquer la troncature à l'ordre quatre dans le développement du produit des D.L. soit [50] d'où
Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un produit (ou d'un quotient) de deux fonctions dont le développement limité d'une des fonctions (ou du numérateur du quotient) a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre pModifier
Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le développement limité d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre pModifier
Pour obtenir un D.L. [22] à l'ordre en l'infiniment petit au voisinage de zéro d'un produit sachant que le D.L. [22] à l'ordre d'un des facteurs par exemple a pour terme prépondérant « un infiniment petit d'ordre » [52], il suffit de prendre le D.L. [22] de l'autre facteur sur l'exemple à l'ordre ;
en effet, si on factorise le 1er facteur par , le D.L. [22] à l'ordre de se réécrit où est le D.L. [22] à l'ordre de et
en effet, le D.L. [22] du produit à l'ordre pouvant s'obtenir à partir de dans lequel étant un D.L. [22] à l'ordre en , il est impératif que le D.L. [22] de soit aussi à l'ordre de façon à ce que le D.L. [22] du produit soit exact à cet ordre [53] ;
pour terminer le produit du D.L. [22] de à l'ordre par l'infiniment petit d'ordre conduit effectivement au D.L. [22] du produit à l'ordre .
D.L. d'un produit dont l'un des facteurs est équivalent à un infiniment petit d'ordre p
Cherchant à déterminer le D.L. [22] à l'ordre d'un produit au voisinage de zéro avec le D.L. [22] de à l'ordre ayant pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre , il suffit de prendre le D.L. de à l'ordre pour en faire le produit avec le D.L. [22] de .
Pour déterminer le D.L. [22] à l'ordre un de quand est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. [22] de à l'ordre zéro,
pour déterminer le D.L. [22] à l'ordre deux de quand est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. [22] de à l'ordre un,
pour déterminer le D.L. [22] à l'ordre trois de quand est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. [22] de à l'ordre deux
Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un quotient dont le numérateur est de développement limité à terme prépondérant égal à un infiniment petit d'ordre pModifier
Pour obtenir un D.L. [22] à l'ordre en l'infiniment petit au voisinage de zéro d'un quotient sachant que le D.L. [22] à l'ordre du numérateur a pour terme prépondérant « un infiniment petit d'ordre » [52], il suffit de prendre le D.L. [22] du dénominateur à l'ordre ;
en effet, si on factorise le numérateur par , le D.L. [22] à l'ordre de se réécrit où est le D.L. [22] à l'ordre de et
en effet, le D.L. [22] du quotient à l'ordre pouvant s'obtenir à partir de dans lequel étant un D.L. [22] à l'ordre en , il est impératif que le D.L. [22] de et donc de soit aussi à l'ordre de façon à ce que le D.L. [22] du produit soit exact à cet ordre [53] ;
pour terminer le produit du D.L. [22] de à l'ordre par l'infiniment petit d'ordre conduit effectivement au D.L. [22] du produit à l'ordre .
D.L. d'un quotient dont le numérateur est équivalent à un infiniment petit d'ordre p
Cherchant à déterminer le D.L. [22] à l'ordre d'un quotient au voisinage de zéro avec le D.L. [22] de à l'ordre ayant pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre , il suffit de prendre le D.L. [22] de à l'ordre pour en déduire celui de au même ordre et en faire le produit avec le D.L. [22] de .
Pour déterminer le D.L. [22] à l'ordre un de quand est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. [22] de à l'ordre zéro,
pour déterminer le D.L. [22] à l'ordre deux de quand est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. [22] de à l'ordre un,
pour déterminer le D.L. [22] à l'ordre trois de quand est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. [22] de à l'ordre deux
↑ 1,01,11,21,31,4 et 1,5Brook Taylor (1685 - 1731) est un mathématicien anglais à qui on doit essentiellement le théorème connu sous le nom de Taylor établi en et qui possède plusieurs variantes dont celle de Taylor-Young. William Henry Young (1863 - 1942) est un mathématicien anglais ayant travaillé dans de nombreux domaines dont les séries de Fourier et le calcul différentiel, il apporta aussi une contribution au théorème de Taylor, ce qui donna le théorème ou formule de Taylor-Young.
↑ C.-à-d. fonction et dérivée première continues sur le domaine .
↑ est un voisinage de si et seulement s'il existe un réel strictement positif tel que .
↑ En toute rigueur, pour que le développement soit limité à l'ordre un, il faut qu'il soit possible à un ordre supérieur à un et donc que la fonction soit au moins de classe fonction et dérivées continues jusqu'à l'ordre deux minimal sur le domaine , sinon il s'agit d'une simple application du théorème de Taylor - Young à l'ordre le plus élevé possible c.-à-d. l'ordre un pour une fonction de classe sur le domaine .
↑ 8,0 et 8,1 Le D.L. d'une fonction paire au voisinage de zéro ne peut contenir que des termes d'ordre pair.
↑ Ce D.L. à l'ordre un au voisinage de zéro pouvait être aussi déduit du lien existant entre et , à savoir , dans lequel on injecte le D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro soit ce qui permet d'écrire ou, sachant que est aussi un , le D.L. final écrit.
↑ 11,0 et 11,1 est exclu car, pour cette valeur, ce n'est pas un D.L. mais une expression exacte.
↑ En effet étant telle que vérifie aussi c.-à-d. que peut s'écrire .
↑ En effet étant telle que on en déduit c.-à-d. que peut s'écrire , de même est telle que ou encore c.-à-d. que peut s'écrire , enfin une combinaison linéaire de est aussi une fonction du type .
↑ 15,015,1 et 15,2 C.-à-d. continûment dérivable jusqu'à l'ordre inclus sur le domaine .
↑ est un voisinage de si et seulement s'il existe un réel strictement positif tel que .
↑ choisi « le plus proche possible de » signifie que l'ouvert dans lequel se trouve , est choisi le plus étroit possible en prenant le plus petit possible
↑ Cette notation est utilisée pour représenter un intervalle fermé d'entiers naturels.
↑ La borne étant exclue de l'intervalle, celui-ci pourrait être écrit ; bien sûr pourrait aussi prendre la valeur mais il se s'en déduirait alors aucune transformation de la relation de Taylor-Young et c'est la raison pour laquelle on exclut la valeur .
↑ Le 1er terme de la somme étant s'identifiant à si on admet, d'une part, que la dérivée d'ordre zéro d'une fonction est la fonction elle-même et avec, d'autre part, ainsi que par convention.
↑ Le fait d'autoriser que puisse prendre la valeur ne fait que réécrire la relation de Taylor-Young sous sa forme initiale, cela n'apporte donc rien de nouveau mais c'est bien sûr admissible
![{\displaystyle \;\;\lim \limits _{x\rightarrow a}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x-a\right)}{x-a}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336583a7500326a30250200382c656911b0d8902)
![{\displaystyle {\Bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5009a1a3c1fcd7483273ceb0ed46bba07856fae5)
![{\displaystyle \cos(\varepsilon )=1-2\,\left[{\dfrac {\varepsilon }{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\right]^{2}=1-{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}-2\,\varepsilon \,{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)-2\,\left[{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\right]^{2}=1-{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d2d2da36b2d6a5b3a27dafba657765172d02b2)
![{\displaystyle +f^{(n)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{n}}{n!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n}\right]\;\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b51976d8fa23e42fa3b5166e860d381461bc4b7)
![{\displaystyle \;\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n}\right]}{\left(x-a\right)^{n}}}\right\rbrace =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17441faff3fba92b0cd3ab557d0d74703eda3f93)
![{\displaystyle \;k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b2d8654cf5cc9fa72a41fdc4ce531af9ec91ea0)
![{\displaystyle \;f(x)=\sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[0\,,\,p\right]\right]}f^{(k)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{k}}{k!}}+\left\lbrace \sum \limits _{l\,\in \,\left[\left[p+1\,,\,n\right]\right]}f^{(l)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{l}}{l!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe7264e421c27639b3d336b911d366b8f62fceb)
![{\displaystyle \;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{p}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c12804b82e50275d0259b3f7ac4ec6776635145)
![{\displaystyle \;\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {\sum \limits _{l\,\in \,\left[\left[p+1\,,\,n\right]\right]}f^{(l)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{l}}{l!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n}\right]}{\left(x-a\right)^{p}}}\right\rbrace =\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace \sum \limits _{l\,\in \,\left[\left[p+1\,,\,n\right]\right]}f^{(l)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{l-p}}{l!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n-p}\right]\right\rbrace =0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b2bf43055563be5453336f062988001754c8a8a)
![{\displaystyle \;f(x)=\sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[0\,,\,p\right]\right]}f^{(k)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{k}}{k!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{p}\right]\;\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83166a53dba1eadf9b3a031e0b1bdeb4ce02e04)
![{\displaystyle \;\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{p}\right]}{\left(x-a\right)^{p}}}\right\rbrace =0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d3b84a9b39e689f26d9a104152992a8d21b155)
![{\displaystyle \;p\in \left[\left[0\,,\,n\right]\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd92ef86651e9e70f12064daba4bcd440dc5369)
![{\displaystyle \;p\in \left[\left[0\,,\,(n-1)\right]\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2d64da369a2401ab6cddd1e27eabfd08d1e34c)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{p}\right]}{\left(x-a\right)^{p}}}\right\rbrace =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9bc83bd983b74e3a13f790d0a337dd03578f46)
![{\displaystyle f(x)=f(a)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[1\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505825f8d716a4dcdbf015f0642540bdecc29c81)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[1\right]}{1}}\right\rbrace =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a010faf20ba9319be958aedd67a8fdc7012ce0fa)
![{\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84237a0bceb1b04810147dde9651e655d090603)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)\right]}{\left(x-a\right)}}\right\rbrace =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab2d189b2d5eef1a20c8149b877be82d0ebe93b)
![{\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+f''(a)\,{\dfrac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b7aae47069f0756553f86e4a04443b751be303)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{2}\right]}{\left(x-a\right)^{2}}}\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213828b66eade71091b2c6564ae0fd32721af760)
![{\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+f''(a)\,{\dfrac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+f^{(3)}(a)\,{\dfrac {\left(x-a\right)^{3}}{6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{3}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9857b6a72255b519249d38f036df49ca0ebad1e)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{3}\right]}{\left(x-a\right)^{3}}}\right\rbrace =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc113c85782f683ac8246b837736cd4f914ca8e)
![{\displaystyle {\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n-1}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d95e97a76ff40196805bde483afa35473318489)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n-1}\right]}{\left(x-a\right)^{n-1}}}\right\rbrace =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f1d06f4097fd7ee2838f82c7930004419325e4)
![{\displaystyle \;f(x)\simeq \sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[0\,,\,p\right]\right]}f^{(k)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a574a63c9cec46feb4285832a8ec75d27ceef68)
![{\displaystyle \;C^{\,n+1}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f294ff83debec37adc17c701a36bcf3d8ef9f339)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi =\left[-\cos(\xi )\right]_{0}^{x}=1-\cos(x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aba21d1dbdd7786aff5d21ce51f8798b2a75752)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{0}^{x}\cos(\xi )\;d\xi =\left[\sin(\xi )\right]_{0}^{x}=\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/064deeff420322e52e77feca5afff0b58c16b4e9)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{v(x)}}={\dfrac {1}{v(0)}}\,\left[{\dfrac {v(x)}{v(0)}}\right]^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a95c17143555b20db3e7852355b0d6bb1ab194)
![{\displaystyle \;x\rightarrow 0{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa4ce93f92886be2f657c5da45b70453f5cb73e)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {v(x)}{v(0)}}\right]^{-1}=\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df32b3b8040b7d5341dae12c8bd2e69afd7017e)
![{\displaystyle \;\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb2f407b207dd3e50a0a45c1fdead9b48ffbf98)
![{\displaystyle 1-\alpha (x)+\alpha ^{2}(x)-\alpha ^{3}(x)+\cdots +(-1)^{n}\;\alpha ^{n}(x)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\alpha ^{n}(x)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2776acf80b09d8dc87383120428b5fe823c03b)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {v(x)}{v(0)}}\right]^{-1}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/550d7654ef6cdeca50c9889f76e8dcfd4f5037de)
![{\displaystyle \left[1+\alpha (x)\right]^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29407082f10738a8810b5e57662a0d479c32f31)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{\cos(x)}}=\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25de0279875de1f874810c99445ff15b76c757dc)
![{\displaystyle \;\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fde4d3e998490af51363267c747e6b190f0eeda)
![{\displaystyle 1-\alpha (x)+\alpha ^{2}(x)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\alpha ^{2}(x)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609b0b9bed466c8fb978579fdda1fd2230becf80)
![{\displaystyle 1-\left[-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\right]+\left[{\dfrac {x^{4}}{4}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\right]+\left[{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\right]=1+{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {5\;x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e833d120d620dfd050bb48cdc47cddd32154144)
![{\displaystyle \left[x-{\dfrac {x^{3}}{6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\right]\times 1+\left[x+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{2}\right)\right]\times {\dfrac {x^{2}}{2}}+\left[{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(0\right)\right]\times {\dfrac {5\;x^{4}}{24}}\;{\cancel {+\left[0\right]\times {\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd825915b70cc93d6627b1f11f2451f7d3288ce)
![{\displaystyle \;u(x){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7d8106b8ccf2f9d512a230010219635aac71f8)
![{\displaystyle \;v(x){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a24daad97e3d2f0000712ae54e9d9af43e7c482)
![{\displaystyle \;u(x)=x^{p}\left[a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)\right]=x^{p}\;\alpha (x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d8905f1775589cc19a75355d13c77bb57379af)
![{\displaystyle \;p(x)=\left[x^{p}\;\alpha (x)\right]v(x)=x^{p}\left[\alpha (x)\;v(x)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686c123e2054821928cb65cb80eabf8e8aff1e79)
![{\displaystyle \;u(x)=x^{p}\left[a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336f7ad0b64951f9d44993b9ba0a2206c95818df)
![{\displaystyle \;q(x)=\left[x^{p}\;\alpha (x)\right]{\dfrac {1}{v(x)}}=x^{p}\left[\alpha (x)\;{\dfrac {1}{v(x)}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/110c5bb8ac0f91606785a22e7c17063c3b0b35b3)
![{\displaystyle \;\left]a-\mu \,{;}\,a+\mu \right[\subset {\mathcal {V}}(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ff49d0fb377d8f007661316f471f160931631c)
![{\displaystyle \;\;\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)}{\varepsilon }}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2607770854e7fb4d378fd31083fddca7c29ea6)
![{\displaystyle \;\arccos(\varepsilon )={\dfrac {\pi }{2}}-\left[\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f908d860bf32f7f2c98f81efed32164c5c585fb)
![{\displaystyle \;u^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{u^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cefebd531862704a8632c1db66cda494b474bed)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{{\frac {\varepsilon }{2}}\rightarrow 0}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left({\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)}{\dfrac {\varepsilon }{2}}}\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752461881bd04ecd2cbbd51dbf1b5c9a6dae0313)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left({\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)}{\varepsilon }}\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a36e8ab95033d859becc77bb37bb34a6d48657f)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)}{\varepsilon }}\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98701c70ff743569fad2672ef018b676906f9de9)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[{\dfrac {\varepsilon \;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)}{\varepsilon ^{2}}}\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee068682c2c9b627f63e68c42c4c613faa38e82)
![{\displaystyle \;\left[{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d4b6e89a8f3db4b0174e2075a43bdda6ccecdd)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)}{\varepsilon }}\times {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)}{\varepsilon }}\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca77fe8b075866b905a7cbfdd9455d7c3a4de0db)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\left\lbrace {\dfrac {\left[{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\right]^{2}}{\varepsilon ^{2}}}\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6fc3a2ec7196e802132cc25168c451a86fba4e5)
![{\displaystyle \;\;\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)}{\varepsilon ^{2}}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab01eea50fd012467749c44913861d8082094422)
![{\displaystyle \;\left]a-\mu \,,\,a+\mu \right[\subset {\mathcal {V}}(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77425c53cda3824296376328ed05fa305a035be3)
![{\displaystyle \;\left]a-\mu \,,\,a+\mu \right[\subset {\mathcal {V}}(a)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b8b7a7d721b867395679496c4edf865bb163bd)
![{\displaystyle \;\left[\left[0\,,\,(n-1)\right]\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6121eeb6a29e5bd37e228d64ab0ae82e8cd8aa9)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\sinh \right]}{dx}}(0)=\cosh(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34b0822767b375c76b6a730998f62a959e5f419)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\tanh \right]}{dx}}(0)={\dfrac {1}{\cosh ^{2}(0)}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078f9a918063525dad070bfc9bf4a6086d5de9d5)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\cosh \right]}{dx}}(0)=\sinh(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf426930e569f308483cafe89d8ec6870a6d2c14)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\mathrm {argsinh} \right]}{dx}}(0)={\dfrac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}(x=0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ba93a8ed5b81f31f63725e354cff80d35d3a4a)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\mathrm {argtanh} \right]}{dx}}(0)={\dfrac {1}{1-x^{2}}}(x=0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db1188b6ce28a47ce88e846134a1bbf98d1d8e5)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d^{2}\left[\sin \right]}{dx^{2}}}(0)=-\sin(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cfdf64daaf9a2e8c3d933646d5a5ca1f67dd2e4)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d^{2}\left[\tan \right]}{dx^{2}}}(0)={\dfrac {d\left[1+\tan ^{2}\right]}{dx}}(0)=2\;\tan(0)\,\left[1+\tan ^{2}(0)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b58d00282c40e04c6fc45beba148fd126c73b9)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d^{2}\left[\cos \right]}{dx^{2}}}(0)=-\cos(0)=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c386beff50ba1733dfcd6d9a66eacb5f5aa50a6)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d^{2}\left[\arcsin \right]}{dx^{2}}}(0)={\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right]}{dx}}(0)=-{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {2\;x}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}(x=0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24057587a5198b43458b18ca4f2f4879a87938a)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d^{2}\left[\arccos \right]}{dx^{2}}}(0)={\dfrac {d\left[{\dfrac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right]}{dx}}(0)=-{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {-2\;x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}(x=0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db326ffd0a60a44e3e70fc37acb8c31ef65e451a)