Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini

**Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini**
Leçon : Signaux physiques (PCSI)

Exercices n^o8
Chapitre du cours :	Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
Exercices de niveau 14.
Exo préc. :	Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
Exo suiv. :	Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Le laser - Lune

Pour mesurer la distance Terre - Lune avec une précision de quelques millimètres, on envoie un faisceau laser en direction de la Lune.

Une partie de la lumière du laser est réfléchie par un « rétroréflecteur », dispositif qui a la propriété de renvoyer la lumière dans la direction d'où elle arrive et qui a été déposé sur le sol lunaire par les astronautes de la mission $\;{\text{Apollo}}\;11\;$ en $\;1969$ .

Un télescope terrestre recueille ensuite une partie de la lumière renvoyée par le « rétroréflecteur ».

La mesure précise de la durée $\;\tau \;$ de l'aller - retour de la lumière entre la surface terrestre et la surface lunaire permet de déduire la distance $\;D\;$ entre ces surfaces.

Évaluation de la durée de l'aller - retour de la lumière entre la Terre et la Lune connaissant la distance les séparant

Sachant que $\;D\simeq 3,76\;10^{8}\;m$ , évaluer $\;\tau$ .

La précision de l'horloge atomique utilisée étant de $\;50\;ps$ , calculer la précision relative sur la valeur de $\;\tau$ .

Solution

La durée de l'aller - retour de la lumière entre la Terre et la Lune se calcule selon

\;\tau ={\dfrac {2\;D}{c}}={\dfrac {2\times 3,76\;10^{8}}{3,00\;10^{8}}}\;

en

\;s\;

soit un ordre de grandeur de

\;\tau \simeq 2,51\;s\;

^[1] compte-tenu de l'ordre de grandeur donné pour

\;D

. Si l'incertitude absolue sur cette durée est celle de l'horloge atomique utilisée soit

\;50\;ps

, la précision relative est

\;{\dfrac {\Delta \tau }{\tau }}={\dfrac {50\;10^{-12}}{2,51}}\simeq 1,99\;10^{-11}

, soit

\;{\dfrac {\Delta \tau }{\tau }}\simeq 2\,10^{-11}\;

^[2].

Connaissant le diamètre du faisceau au départ de la Terre, détermination du diamètre de la tache sur le sol lunaire

Le faisceau au départ de la Terre a un diamètre $\;a=1,50\;m\;$ et sa longueur d'onde dans le vide est $\;\lambda _{0}=532\;nm$ . Calculer son rayon angulaire $\;{\big (}$ ou demi-angle d'ouverture ${\big )}\;$ dû à la diffraction du faisceau théoriquement cylindrique par la pupille de sortie du laser.

En déduire le diamètre de la tache que fait le faisceau sur le sol lunaire.

Solution

Diffraction par la pupille de sortie du faisceau théoriquement cylindrique du laser-Lune situé sur la Terre ainsi que, pour le retour, par le « rétroréflecteur » positionné sur la Lune

Le faisceau au départ de la Terre ayant un diamètre

\;a=1,50\;m\;

et sa longueur d'onde dans le vide étant

\;\lambda _{0}=532\;nm

, le « faisceau principal de diffraction »^[3] a pour rayon angulaire

\;{\big (}

ou demi-angle d'ouverture

{\big )}

\;\theta \;

tel que

\;\sin(\theta )=1,22\;{\dfrac {\lambda _{0}}{a}}=1,22\times {\dfrac {532\;10^{-9}}{1,50}}\simeq

4,327\;10^{-7}\ll 1\;

d'où

\;\theta \simeq 4,327\;10^{-7}\;rad\simeq 0,089\;{\text{'' d'angle}}\;

^[4], ce qui est très petit. Le rayon

\;r\;

de la tache d'Airy^[5] que fait le faisceau sur le sol lunaire se calcule par

\;\tan(\theta )={\dfrac {r}{D}}\;

soit

\;r=D\;\tan(\theta )\;

et, comme

\;\theta \ll 1

, le rayon se réécrit

\;r\simeq D\;\theta \;

donnant un diamètre double

\;d\simeq 2\;D\;\theta \simeq 2,44\;{\dfrac {D\;\lambda _{0}}{a}}

;

numériquement on trouve $\;d\simeq 2\times 3,76\;10^{8}\times 4,327\;10^{-7}\;$ en $\;m\;$ soit « $\;d\simeq 325\;m\;$ ».

Détermination de la fraction de la puissance lumineuse émise par la Terre et reçue par le « rétroréflecteur » de la Lune

Le « rétroréflecteur » étant un carré de côté $\;l=1\;m$ , calculer la fraction $\;\rho \;$ de la puissance lumineuse émise par la Terre qui est reçue par le « rétroréflecteur ».

Solution

Si on admet que la tache d'Airy^[5] correspond à un éclairement

\;{\mathcal {E}}_{0}\;

uniforme^[6], la fraction de la puissance lumineuse réfléchie par le « rétroréflecteur » est

\;\rho ={\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}\;l^{2}}{{\mathcal {E}}_{0}\;\pi \;{\dfrac {d^{2}}{4}}}}\;

soit encore

\;\rho ={\dfrac {4\;l^{2}}{\pi \;d^{2}}}\simeq {\dfrac {4\times 1^{2}}{\pi \times 325^{2}}}\simeq 1,21\ 10^{-5}\;

et finalement la fraction de puissance réfléchie relativement à la puissance reçue correspondant à la tache d'Airy^[5] est approximativement

\;\rho \simeq 10^{-5}\;

^[7].

Perte de puissance lumineuse captée par le télescope récepteur de la Terre

Expliquer pourquoi le télescope récepteur à la surface de la Terre^[8] ne capte qu'une très faible fraction $\;\rho '\;$ de la lumière réfléchie par le « rétroréflecteur ».

Au total la puissance lumineuse reçue à l'arrivée étant environ $\;10^{-17}\;$ fois la puissance lumineuse émise au départ, estimez-vous que la diffraction soit la seule cause des pertes ?

Solution

Diffraction par la pupille de sortie du faisceau théoriquement cylindrique du laser-Lune situé sur la Terre ainsi que, pour le retour, par le « rétroréflecteur » positionné sur la Lune

Le faisceau au départ de la Lune étant de section carrée de côté

\;l=1,00\;m\;

et sa longueur d'onde dans le vide étant toujours

\;\lambda _{0}=

532\;nm

, le « faisceau principal de diffraction »^[9] a pour rayon angulaire

\;{\big (}

ou demi-angle d'ouverture

{\big )}

\;\theta '\;

tel que

\;\sin(\theta ')={\dfrac {\lambda _{0}}{l}}={\dfrac {532\;10^{-9}}{1,00}}

\simeq 5,32\;10^{-7}\ll 1\;

d'où

\;\theta '\simeq 5,32\;10^{-7}\;rad\simeq 0,110\;{\text{'' d'angle}}\;

^[4], ce qui est encore très petit. Le demi-côté

\;{\dfrac {l'}{2}}\;

de la tache principale de diffraction que fait le faisceau sur le sol terrestre se calcule par

\;\tan(\theta ')=

{\dfrac {\dfrac {l'}{2}}{D}}\;

ce qui donne

\;{\dfrac {l'}{2}}=

D\;\tan(\theta ')\;

et, comme

\;\theta '\ll 1

,

\;{\dfrac {l'}{2}}\simeq D\;\theta '\;

soit un côté

\;l'\simeq 2\;D\;\theta '\simeq 2\;{\dfrac {D\;\lambda _{0}}{l}}

;

numériquement on trouve $\;l'\simeq 2\times 3,76\;10^{8}\times 5,32\;10^{-7}\;$ en $\;m\;$ soit « $\;l'\simeq 400\;m\;$ ».

Si on admet que la tache principale de diffraction correspond à un éclairement

\;{\mathcal {E}}'_{0}\;

uniforme^[6], la fraction de la puissance lumineuse reçue par le télescope relativement à celle réfléchie par le « rétroréflecteur » est

\;\rho '={\dfrac {{\mathcal {E}}'_{0}\;l^{2}}{{\mathcal {E}}'_{0}\;l'^{2}}}\;

soit encore

\;\rho '={\dfrac {l^{2}}{l'^{2}}}\simeq {\dfrac {1^{2}}{400^{2}}}\simeq 6,25\;10^{-6}\;

et finalement
la fraction de puissance reçue par le télescope relativement à la puissance reçue transportée dans le faisceau principal de diffraction est
approximativement

\;\rho '\simeq 0,5\,10^{-5}\;

^[10].

Si on ne tenait compte que de la diffraction la puissance lumineuse reçue à l'arrivée serait approximativement égale à la fraction $\;\rho \;\rho '\simeq 5\;10^{-11}\;$ de la puissance lumineuse émise au départ et non à la fraction de $\;10^{-17}$ ; la diffraction n'est donc pas la seule cause de perte de puissance, citons notamment les perturbations de l'atmosphère terrestre avec en particulier les phénomènes d'absorption $\;\ldots$

Mesure du diamètre d'un cheveu

Comment s'y prendre pour mesurer le diamètre d'un cheveu $\;{\big (}$ de l'ordre de « $\;100\,\mu m\;$ » ${\big )}\;$ en utilisant un laser de longueur d'onde dans le vide « $\;\lambda _{0}=633\,nm\;$ », un écran, une règle de « $\;20\,cm\;$ » graduée et un mètre ruban de « $\;2\,m\;$ » ?

Quelle précision maximum peut-on atteindre sachant que la règle et le mètre sont gradués en millimètres ?

Solution

On peut mesurer le diamètre d'un cheveu en faisant diffracter la lumière d'un faisceau laser par le cheveu,
le phénomène de diffraction par un obstacle de largeur « $\;d\;$ » étant « identique à celui d'une fente de même largeur »^[11] ;

Dispositif pour observer la diffraction par un cheveu sur un écran situé à une distance

\;D\;

du cheveu.

voir la figure ci-contre pour la définition de la largeur de la tache principale de diffraction ;

notant «

\;d\;

» le diamètre du cheveu et plaçant l'écran à une distance «

\;D\;

» suffisamment grande pour être considérée comme infinie

\;{\big (}

«

\;D\simeq qq\,m\;

» que l'on peut mesurer à l'aide du mètre ruban de «

\;2\,m\;

» de long

{\big )}

, on observe une figure de diffraction dont la tache centrale

\;{\big (}

la plus lumineuse

{\big )}\;

est de largeur «

\;L\;

» que l'on mesure à l'aide de la règle graduée de «

\;20\,cm\;

» de long, cette largeur étant liée au demi angle d'ouverture du faisceau central «

\;\theta \ll 1\;

» par «

\;\tan(\theta )={\dfrac {L}{2\,D}}\;

»

\Rightarrow

«

\;L=2\,D\,\tan(\theta )\simeq 2\,D\;\theta \;

» ;

le rayon angulaire d'ouverture du faisceau central de diffraction est lié à la largeur de l'obstacle « $\;d\;$ » et à la longueur d'onde « $\;\lambda _{0}\;$ », par « $\;\sin(\theta )={\dfrac {\lambda _{0}}{d}}\;$ »^[12] ou, avec « $\;\theta \ll 1\;$ », « $\;\theta \simeq {\dfrac {\lambda _{0}}{d}}\;$ »^[13], d'où l'expression de la largeur de la tache centrale « $\;L\simeq {\dfrac {2\,D\,\lambda _{0}}{d}}\;$ » dont on déduit la largeur de l'obstacle « $\;d\simeq {\dfrac {2\,D\,\lambda _{0}}{L}}\;$ ».

Si on impose « $\;D=2,000\,m\;$ », avec une incertitude estimée pouvant être de « $\;\Delta D=1\,cm\;$ »^[14] soit une précision de « $\;{\dfrac {\Delta D}{D}}=0,5\,\%\;$ » et
si l'ordre de grandeur de « $\;d\;$ » est de « $\;100\,\mu m\;$ », pour une longueur d'onde dans le vide égale à « $\;\lambda _{0}=633\,nm\;$ », on obtiendrait une largeur de tache centrale « $\;L\simeq {\dfrac {2\times 2,000\times 633\,10^{-9}}{100\,10^{-6}}}\simeq 2,5\ 10^{-2}\,m\;$ » soit « $\;L\simeq 2,5\,cm\;$ » mesurable avec une incertitude estimée de « $\;\Delta L=1\,mm\;$ »^[15] soit une précision de « $\;{\dfrac {\Delta L}{L}}=4\,\%\;$ ».

Le calcul d'incertitude relative sur la mesure de «

\;d\simeq {\dfrac {2\,D\,\lambda _{0}}{L}}\;

» avec «

\;\lambda _{0}\;

» connue avec précision, nous conduit à «

\;{\dfrac {\Delta d}{d}}={\dfrac {\Delta D}{D}}+{\dfrac {\Delta L}{L}}\simeq 0,5\,\%+4,0\,\%\;

»^[16] soit «

\;{\dfrac {\Delta d}{d}}\simeq 4,5\,\%\;

», ce qui donnerait «

\;d=101,5\,\mu m\pm 4,5\,\mu m\;

»^[17] soit une mesure entre «

\;97\,\mu m\;

et

\;106\,\mu m\;

».

Notes et références

↑ Plus précisément la célérité de la lumière est $\;c\simeq 2,99792458\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}$ .
↑ Cette précision ayant pour conséquence que les $\;10\;$ 1^ers chiffres suivant la virgule dans la mesure de $\;\tau \;$ sont assurés et que l'imprécision ne porte que le 11^ème chiffre ;
supposant $\;c\;$ connue avec une meilleure précision, on en déduit que l'incertitude relative sur $\;\tau \;$ est identique à celle sur $\;D\;$ et une précision relative sur la distance « surface terrestre - surface lunaire » de $\;2\;10^{-11}\;$ correspond à une incertitude absolue de $\;2\;10^{-11}\times 3,76\;10^{8}\;$ en $\;m\;$ soit de $\;7,5\;mm$ , permettant de connaître la distance « Terre - Lune » au centimètre près.
↑ C.-à-d. la partie du faisceau dont l'intersection avec le sol lunaire est la tache d'Airy.
Voir la note « ⁵ » plus bas dans cet exercice pour plus de détails sur Airy.
↑ ^4,0 et ^4,1 On rappelle qu'il y a $\;3600\;{\text{'' d'angle}}\;$ dans $\;1\;{\text{°}}\;$ et bien sûr $\;{\dfrac {180}{\pi }}\simeq 57,3\;{\text{°}}\;$ dans $\;1\;{\text{rad}}$ .
↑ ^5,0 ^5,1 et ^5,2 George Biddell Airy (1801 - 1892) mathématicien, astronome, géodésien et physicien britannique à qui on doit, entre autres, une théorie des arcs-en-ciel, de nombreuses mesures pendulaires permettant de mesurer la masse de la Terre et la constante de gravitation universelle, ainsi que l'utilisation, dans ses calculs d'optique, de fonctions spéciales mathématiques particulières portant son nom pour lui rendre hommage.
↑ ^6,0 et ^6,1 Hypothèse simplificatrice mais en fait ce n'est absolument pas uniforme.
↑ Ce n'est qu'un ordre de grandeur en effet :
   on sous-estime légèrement la puissance reçue par la Lune en négligeant celle correspondant aux anneaux de diffraction entourant la tache d'Airy, donc « on surestime légèrement la fraction renvoyée » mais
   si le « rétroréflecteur » est centré sur la tache d'Airy, l'éclairement y est supérieur à l'éclairement moyen $\;{\mathcal {E}}_{0}\;$ et par suite on sous-estime la puissance renvoyée par le « rétroréflecteur » et donc « on sous-estime la fraction renvoyée » ;
   il est néanmoins vraisemblable que la sous-estimation de $\;\rho \;$ est plus importante que la surestimation $\;\ldots \;$ $\;\rho \simeq 2\;10^{-5}\;$ serait certainement une meilleure estimation $\;\ldots \;$
   il serait possible de faire un calcul plus exact dans la mesure où on connaît la répartition de l'éclairement dans la tache d'Airy d'une part et d'autre part la position du « rétroréflecteur » dans la tache d'Airy $\;{\big [}$ voir le paragraphe « allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme, en fonction de l'angle d'observation » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}$ .
   Voir la note « ⁵ » plus haut dans cet exercice pour plus de détails sur Airy.
↑ Nous supposerons la taille du télescope récepteur à la surface de la Terre de même taille que le « rétroréflecteur » positionné sur la Lune.
↑ C.-à-d. la partie du faisceau dont l'intersection avec le sol terrestre est la tache principale de diffraction $\;{\big [}$ la section étant carrée et non plus un disque, la tache principale est également carrée et non plus la tache d'Airy $\;-\;$ voir le paragraphe « diffraction par un voilage » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}$ .
Voir la note « ⁵ » plus haut dans cet exercice pour plus de détails sur Airy.
↑ C.-à-d. la moitié de fraction de puissance réfléchie par le « rétroréflecteur » relativement à la puissance transportée dans le faisceau principal correspondant à la tache d'Airy.
Voir la note « ⁵ » plus haut dans cet exercice pour plus de détails sur Airy.
↑ On peut s'étonner de l'identité des phénomènes car on passe d'une ouverture à un obstacle mais, dans les deux cas, il s'agit de la diffraction par un « bord » ;
   dans le cas d'une fente, le bord de gauche $\;{\big (}$ en supposant horizontale la section de la fente ${\big )}\;$ « étale » la lumière sur la gauche $\;{\big (}$ là où il y aurait eu obscurité ${\big )}\;$ et le bord de droite sur la droite $\;{\big (}$ où il y aurait eu obscurité ${\big )}\;$ d'où la tache centrale alors que,
   dans le cas d'un obstacle $\;{\big (}$ en supposant horizontale la section de l'obstacle ${\big )}$ , le bord de gauche « étale » la lumière sur la droite $\;{\big (}$ là où il y aurait eu obscurité ${\big )}\;$ et le bord de droite sur la gauche $\;{\big (}$ où il y aurait eu obscurité ${\big )}\;$ d'où une tache centrale obtenue par recouvrement ;
   le fait que la figure de diffraction à l'infini d'un cheveu est la même que celle de la fente « dans laquelle il s'incrusterait exactement » est une application du théorème de Babinet des écrans « complémentaires » $\;{\big (}$ des écrans tels que l'un s'incruste dans l'autre en donnant un écran totalement opaque sont dits « complémentaires » ${\big )}$ .
   Jacques Babinet (1794 - 1872) est un mathématicien, physicien, astronome et météorologue français, surtout connu pour son invention du compensateur de Babinet utilisé dans l'étude de la biréfringence, mais aussi son invention d'un goniomètre, d'un polariscope $\;{\big (}$ se composant de deux polariseurs et d'une source de lumière, utilisant la propriété de photélasticimétrie basée sur la biréfringence des matériaux acquise sous l'effet des contraintes ${\big )}\;$ et d'un photomètre entre autres $\;\ldots$
↑ Voir le paragraphe « expression du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles (fonction sinus au voisinage de zéro) » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel « $\;\sin(\theta )\simeq \theta \;$ ».
↑ Il s'agit d'une incertitude de positionnement $\;\ldots$
↑ Cela peut sembler beaucoup compte-tenu du fait que l'on peut facilement mesurer à $\;0,5\,mm\;$ près avec un double-décimètre mais il s'agit d'une incertitude sur la limite estimée du bord de la tache $\;\ldots$
↑ Voir le paragraphe « application au cas “ z = x^p y^q ” où “ p et q sont des nombres rationnels relatifs ” » du T.P. $1$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ En effet, mesurant « $\;L\simeq 2,5\,cm\;$ » on trouve « $\;d\simeq {\dfrac {2\times 2,000\times 633\,10^{-9}}{2,5\,10^{-2}}}\simeq 101,3\;10^{-6}\,m\;$ » soit « $\;d\simeq 101,5\,\mu m\;$ » ;
En effet, avec « $\;d\simeq 101,5\,\mu m\;$ » et « $\;{\dfrac {\Delta d}{d}}\simeq 4,5\,\%\;$ », on en déduit « $\;\Delta d\simeq 0,045\times 101,5\,\mu m\simeq 4,5\,\mu m\;$ ».

Signaux physiques (PCSI)

Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus

[1] Plus précisément la célérité de la lumière est $\;c\simeq 2,99792458\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}$ .

[2] Cette précision ayant pour conséquence que les $\;10\;$ 1^ers chiffres suivant la virgule dans la mesure de $\;\tau \;$ sont assurés et que l'imprécision ne porte que le 11^ème chiffre ;
supposant $\;c\;$ connue avec une meilleure précision, on en déduit que l'incertitude relative sur $\;\tau \;$ est identique à celle sur $\;D\;$ et une précision relative sur la distance « surface terrestre - surface lunaire » de $\;2\;10^{-11}\;$ correspond à une incertitude absolue de $\;2\;10^{-11}\times 3,76\;10^{8}\;$ en $\;m\;$ soit de $\;7,5\;mm$ , permettant de connaître la distance « Terre - Lune » au centimètre près.

[3] C.-à-d. la partie du faisceau dont l'intersection avec le sol lunaire est la tache d'Airy.
Voir la note « ⁵ » plus bas dans cet exercice pour plus de détails sur Airy.

[seconde_d'angle-4] 4,0 et ^4,1 On rappelle qu'il y a $\;3600\;{\text{'' d'angle}}\;$ dans $\;1\;{\text{°}}\;$ et bien sûr $\;{\dfrac {180}{\pi }}\simeq 57,3\;{\text{°}}\;$ dans $\;1\;{\text{rad}}$ .

[Airy-5] 5,0 ^5,1 et ^5,2 George Biddell Airy (1801 - 1892) mathématicien, astronome, géodésien et physicien britannique à qui on doit, entre autres, une théorie des arcs-en-ciel, de nombreuses mesures pendulaires permettant de mesurer la masse de la Terre et la constante de gravitation universelle, ainsi que l'utilisation, dans ses calculs d'optique, de fonctions spéciales mathématiques particulières portant son nom pour lui rendre hommage.

[hypothèse_simplificatrice-6] 6,0 et ^6,1 Hypothèse simplificatrice mais en fait ce n'est absolument pas uniforme.

[7] Ce n'est qu'un ordre de grandeur en effet :
on sous-estime légèrement la puissance reçue par la Lune en négligeant celle correspondant aux anneaux de diffraction entourant la tache d'Airy, donc « on surestime légèrement la fraction renvoyée » mais
si le « rétroréflecteur » est centré sur la tache d'Airy, l'éclairement y est supérieur à l'éclairement moyen $\;{\mathcal {E}}_{0}\;$ et par suite on sous-estime la puissance renvoyée par le « rétroréflecteur » et donc « on sous-estime la fraction renvoyée » ;
il est néanmoins vraisemblable que la sous-estimation de $\;\rho \;$ est plus importante que la surestimation $\;\ldots \;$ $\;\rho \simeq 2\;10^{-5}\;$ serait certainement une meilleure estimation $\;\ldots \;$
il serait possible de faire un calcul plus exact dans la mesure où on connaît la répartition de l'éclairement dans la tache d'Airy d'une part et d'autre part la position du « rétroréflecteur » dans la tache d'Airy $\;{\big [}$ voir le paragraphe « allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme, en fonction de l'angle d'observation » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}$ .
Voir la note « ⁵ » plus haut dans cet exercice pour plus de détails sur Airy.

[8] Nous supposerons la taille du télescope récepteur à la surface de la Terre de même taille que le « rétroréflecteur » positionné sur la Lune.

[9] C.-à-d. la partie du faisceau dont l'intersection avec le sol terrestre est la tache principale de diffraction $\;{\big [}$ la section étant carrée et non plus un disque, la tache principale est également carrée et non plus la tache d'Airy $\;-\;$ voir le paragraphe « diffraction par un voilage » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}$ .
Voir la note « ⁵ » plus haut dans cet exercice pour plus de détails sur Airy.

[10] C.-à-d. la moitié de fraction de puissance réfléchie par le « rétroréflecteur » relativement à la puissance transportée dans le faisceau principal correspondant à la tache d'Airy.
Voir la note « ⁵ » plus haut dans cet exercice pour plus de détails sur Airy.

[11] On peut s'étonner de l'identité des phénomènes car on passe d'une ouverture à un obstacle mais, dans les deux cas, il s'agit de la diffraction par un « bord » ;
dans le cas d'une fente, le bord de gauche $\;{\big (}$ en supposant horizontale la section de la fente ${\big )}\;$ « étale » la lumière sur la gauche $\;{\big (}$ là où il y aurait eu obscurité ${\big )}\;$ et le bord de droite sur la droite $\;{\big (}$ où il y aurait eu obscurité ${\big )}\;$ d'où la tache centrale alors que,
dans le cas d'un obstacle $\;{\big (}$ en supposant horizontale la section de l'obstacle ${\big )}$ , le bord de gauche « étale » la lumière sur la droite $\;{\big (}$ là où il y aurait eu obscurité ${\big )}\;$ et le bord de droite sur la gauche $\;{\big (}$ où il y aurait eu obscurité ${\big )}\;$ d'où une tache centrale obtenue par recouvrement ;
le fait que la figure de diffraction à l'infini d'un cheveu est la même que celle de la fente « dans laquelle il s'incrusterait exactement » est une application du théorème de Babinet des écrans « complémentaires » $\;{\big (}$ des écrans tels que l'un s'incruste dans l'autre en donnant un écran totalement opaque sont dits « complémentaires » ${\big )}$ .
Jacques Babinet (1794 - 1872) est un mathématicien, physicien, astronome et météorologue français, surtout connu pour son invention du compensateur de Babinet utilisé dans l'étude de la biréfringence, mais aussi son invention d'un goniomètre, d'un polariscope $\;{\big (}$ se composant de deux polariseurs et d'une source de lumière, utilisant la propriété de photélasticimétrie basée sur la biréfringence des matériaux acquise sous l'effet des contraintes ${\big )}\;$ et d'un photomètre entre autres $\;\ldots$

[12] Voir le paragraphe « expression du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[13] Voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles (fonction sinus au voisinage de zéro) » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel « $\;\sin(\theta )\simeq \theta \;$ ».

[14] Il s'agit d'une incertitude de positionnement $\;\ldots$

[15] Cela peut sembler beaucoup compte-tenu du fait que l'on peut facilement mesurer à $\;0,5\,mm\;$ près avec un double-décimètre mais il s'agit d'une incertitude sur la limite estimée du bord de la tache $\;\ldots$

[16] Voir le paragraphe « application au cas “ z = x^p y^q ” où “ p et q sont des nombres rationnels relatifs ” » du T.P. $1$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[17] En effet, mesurant « $\;L\simeq 2,5\,cm\;$ » on trouve « $\;d\simeq {\dfrac {2\times 2,000\times 633\,10^{-9}}{2,5\,10^{-2}}}\simeq 101,3\;10^{-6}\,m\;$ » soit « $\;d\simeq 101,5\,\mu m\;$ » ;
En effet, avec « $\;d\simeq 101,5\,\mu m\;$ » et « $\;{\dfrac {\Delta d}{d}}\simeq 4,5\,\%\;$ », on en déduit « $\;\Delta d\simeq 0,045\times 101,5\,\mu m\simeq 4,5\,\mu m\;$ ».

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