Signaux physiques (PCSI)/Optique géométrique : miroir plan

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Optique géométrique : miroir plan
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Chapitre no 12
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes
Chap. suiv. :Optique géométrique : conditions de Gauss
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Notion de stigmatisme rigoureuxModifier

     L'introduction du stigmatisme n'ayant pas encore été introduite en cours, l'est dans ce chapitre mais, ce n'est pas une notion spécifique au miroir plan, elle concerne tous les systèmes optiques qu'ils soient composés de dioptres ou de miroirs quelle que soit leur forme.

Notion de système optiqueModifier

     Un système optique est l'espace optique entre deux surfaces, il est destiné à permettre la transmission de la lumière, la surface sur laquelle arrive la lumière incidente est appelée « face d'entrée » et celle à partir de laquelle émerge la lumière « face de sortie » ;

     il peut être composé d'une « succession de dioptres », dans ce cas le système est dit « dioptrique » [1] ou
     il peut être composé d'une « succession de dioptres et d'un miroir », dans ce cas le système est dit « catadioptrique » [2].

Notion de point objet, espaces objets, nature réelle ou virtuelleModifier

     Un objet  lumineux  est une « source lumineuse » ou un « objet sans émission interne de lumière mais éclairé par une source lumineuse » [3] ; il est qualifié de ponctuel s'il est « de dimension mésoscopique » [4], il peut être situé
          en-deçà de la face d'entrée du système optique étudié, il « émet » alors un faisceau « divergent » en direction de la face d'entrée et ayant une existence réelle il est qualifié d'« objet réel » ou
          au-delà de la face d'entrée du système optique étudié, il résulte alors de la convergence d'un faisceau lumineux en un point dont l'existence serait réelle si la face d'entrée n'était pas située en-deçà de ce point, il est alors qualifié d'« objet virtuel » ;

     on définit alors deux « espaces optiques de positionnement des objets » [5] :

  • un « espace objet réel » situé en-deçà de la face d'entrée et
  • un « espace objet virtuel » situé au-delà de la face d'entrée.

Notion d'axe optique principal (associé à un point objet), plans transversesModifier

     On appelle « axe optique principal  associé à un point objet » [7] la succession du « rayon incident passant par le point objet et normal à la face d'entrée » [8] et des « rayons correspondants se propageant dans les espaces optiques successifs » [9] ;

     les plans  à l'axe optique principal sont qualifiés de « plans transverses ».

     Remarques : La succession d'un « rayon incident passant par le point objet mais non normal à la face d'entrée » et des « rayons correspondants se propageant dans les espaces optiques successifs » définit un axe optique secondaire ; pour un point objet il n'y a qu'un axe optique principal mais une infinité d'axes optiques secondaires.

     Remarques : La définition « la plus générale » [12] d'un « axe optique » [13] d’un système optique est la « trajectoire moyenne » des rayons lumineux d’un pinceau arrivant sur le système optique lors de la propagation de ces derniers à travers le système  voir la partie droite du schéma immédiatement au-dessus .

Notion d'image d'un point objet par un système optiqueModifier

     Un faisceau issu d'un point objet   étant constitué de rayons incidents indépendants les uns des autres, on détermine le trajet des rayons intermédiaires et émergents correspondant aux rayons incidents du faisceau et deux cas se présentent :

  • tous les rayons émergents sont concourants, le système optique donne alors du faisceau incident issu de   un faisceau convergent en un point  ,   définit alors l'« image de   par le système optique » et cette image est « ponctuelle » [14],
  • tous les rayons émergents ne sont pas concourants mais leur ensemble possède une zone de resserrement à éclairement maximal qui peut être considérée comme l'image « non ponctuelle » [15] de   par le système optique.

Stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objetModifier

     Si le point objet   admet un point image   par le système optique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident issu de  , on dit qu'il y a « stigmatisme rigoureux du système optique pour le point objet  » ;

     si la propriété est vraie pour tous les points objets possibles, on dit que « le système optique est stigmatique rigoureux » [16].

Conjugaison rigoureuse d'un couple de points par un système optiqueModifier

     S'il y a stigmatisme rigoureux d'un système optique pour le point objet  , le point image étant noté  , on dit encore que « le couple de points   est conjugué rigoureux par le système optique ».

Espaces images, nature réelle ou virtuelleModifier

     S'il y a stigmatisme rigoureux du système optique, tout point objet   admet un point image   unique par le système optique ;   peut être situé

      au-delà de la face de sortie du système optique étudié, correspondant au point de « convergence du faisceau émergent », et ayant une existence réelle il est qualifié d'« image réelle » ou

      en-deçà de la face de sortie du système optique étudié, il résulte alors de la « divergence du faisceau émergent » à partir d'un point sans existence réelle, il est alors qualifié d'« image virtuelle » ;

     on définit alors deux « espaces optiques de positionnement des images » [17] :

  • un « espace image réelle » situé au-delà de la face de sortie et
  • un « espace image virtuelle » situé en-deçà de la face de sortie.

Construction de l'« image » d'un objet ponctuel par un miroir plan, stigmatisme rigoureux d'un miroir planModifier

Construction fondamentale d'un émergent correspondant à un incident donnéModifier

 
Construction d'un émergent par un miroir plan correspondant à un incident donné

     Méthode de construction du réfléchi de l'incident AI :

       étant un point quelconque de l’incident, construire   symétrique de   par rapport au miroir,   est alors le prolongement virtuel du rayon réfléchi  .

     Justification de la construction ci-contre :

     Soit le rayon incident ci-contre qui se réfléchit sur le miroir plan en    point d’incidence , d'angle d'incidence « » avec   un point quelconque de la partie réelle du rayon incident, le plan d’incidence  c.-à-d. le plan contenant   et   étant le plan de l'écran ;
     de la 1ère loi de Snell-Descartes [18], [19] de la réflexion [20], on déduit que le rayon réfléchi   est dans le plan de l'écran ;
     de 2ème loi de Snell-Descartes [18], [19] de la réflexion [21], on déduit l'angle de réflexion « », c.-à-d. l'opposé de l'angle d'incidence, d'où le prolongement « virtuel » du réfléchi est symétrique de l'incident par rapport au miroir ; on en déduit que    symétrique de   par rapport au miroir  appartient à ce prolongement virtuel  C.Q.F.D. [22] .

Stigmatisme rigoureux d'un miroir planModifier

 
Justification du stigmatisme rigoureux d'un miroir plan pour un point objet réel

     Soit   un point objet réel  point source d’un faisceau incident dont on a représenté deux rayons incidents sur la figure ci-contre [23] à droite  ;

     chaque rayon incident issu de   admet un réfléchi dont le prolongement virtuel passe par le symétrique   de   par rapport au miroir et par suite tous les rayons réfléchis étant issus de  , appartiennent à un même faisceau de sommet   ;

      , le symétrique de   par rapport au miroir, est donc le point image conjuguée du point objet    la conjugaison entre   et   est rigoureuse car il n’y a aucune restriction sur le rayon incident issu de   d'où le « stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets réels ».

 
Justification du stigmatisme rigoureux d'un miroir plan pour un point objet virtuel

     Soit   un point objet virtuel  c.-à-d. le point de convergence d'un faisceau incident situé au-delà du miroir plan [24]  voir la figure ci-contre [23] à gauche  ;

     chaque rayon incident dont le prolongement aboutit à   admet un réfléchi passant par le symétrique   de   par rapport au miroir et par suite tous les rayons réfléchis aboutissant à  , appartiennent à un même faisceau de sommet   ;

      , le symétrique de   par rapport au miroir, est donc le point image conjuguée du point objet    la conjugaison entre   et   est rigoureuse car il n’y a aucune restriction sur le rayon incident aboutissant à   d'où le « stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets virtuels ».

     Finalement, ayant démontré le stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets réels ou virtuels, on peut affirmer

« le stigmatisme rigoureux des miroirs plans » ;
de plus l'image et l'objet sont toujours de nature différente, l'image d'un objet réel étant virtuel et l'image d'un objet virtuel, réelle.

Points doubles d'un miroir plan et la nature afocale de ce dernierModifier

     On appelle « point double » d'un système optique stigmatique rigoureux, « un point objet qui est son propre conjugué rigoureux par le système optique » [25] ;

     considérant un miroir plan et les objets ponctuels situés sur un même axe optique principal, on peut définir sur cet axe deux points doubles :

  • le « sommet   du miroir » c.-à-d. « l'intersection du miroir et de l'axe optique principal », voir vérification sur figure ci-dessus à gauche,
         un faisceau convergeant en   se réfléchit en faisceau divergeant à partir de   d'où « le sommet   du miroir plan est un point double de ce dernier pour l'axe optique principal considéré » [26],
  • le « point à l'infini de l'axe optique principal » voir vérification sur figure ci-dessus à droite,
         un « faisceau   de direction   normale au miroir » se réfléchit sur lui-même [27] d'où « le point à l'infini est un point double du miroir pour l'axe optique principal considéré » [28] ;
         de cette propriété on en déduit que le miroir plan est un système « afocal »  voir définition ci-dessous .

     Définition de système focal, de système afocal :

          Un système optique est dit « focal » si « le point à l'infini de l'axe optique principal est le conjugué d'un point à distance finie »,

        Un système optiqueil est dit « afocal » si « le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double ».

Notion d'aplanétisme rigoureuxModifier

Définition d'un objet linéique transverseModifier

     Un « objet étendu » peut être considéré comme une « juxtaposition de points objets indépendants », nous ne considérerons par la suite que des « objets étendus à une dimension » [29] ;

     un objet étendu à une dimension est dit « linéique » si les points objets le constituant sont « alignés »,

     un objet linéique est dit « transverse » si les points objets alignés le constituant sont « dans un même plan transverse ».

Conséquence du caractère "stigmatisme rigoureux" d'un système optique sur un objet linéique transverseModifier

     Le système optique étant « stigmatique rigoureux », tous les points objets   constituant l'objet linéique transverse « » admettent un point image unique   et par suite
     Le système optique étant « stigmatique rigoureux », « le système optique donne de l'objet linéique transverse   une image unique  » [30] ; mais a priori
     Le système optique étant « stigmatique rigoureux », les points images composant   ne sont pas nécessairement alignés  l'image n'est donc pas nécessairement linéique  et s'ils le sont
     Le système optique étant « stigmatique rigoureux », ils ne se situent pas nécessairement dans un même plan transverse  si l'image est linéique, elle n'est pas nécessairement transverse .

Définition de l'aplanétisme rigoureux d'un système optique stigmatique rigoureuxModifier

     Un système optique stigmatique rigoureux est « aplanétique rigoureux » si « l'image d'un objet linéique transverse est elle-même linéique transverse quelles que soient la position et la dimension de l'objet » ;
     l'« aplanétisme rigoureux d'un système optique stigmatique rigoureux » est donc la conservation du caractère « linéique transverse » lors de la conjugaison rigoureuse du système optique quel que soit l'objet.

Construction de l'image d'un objet linéique transverse par un miroir plan, aplanétisme rigoureux d'un miroir planModifier

Construction de l'image d'un objet linéique transverse par un miroir planModifier

 
Justification de l'aplanétisme rigoureux d'un miroir plan pour un objet linéique transverse réel

     Soit l'objet linéique transverse réel   de point objet générique    voir figure ci-contre [31]  dont on cherche l'image   de point image générique   par le miroir plan ;

     chaque point objet   ayant pour image  , le symétrique de   par rapport au miroir plan nous en déduisons que
          « l'image   est symétrique de l'objet  », l'image de l'objet réel étant virtuelle ;

     on pourrait faire la construction à partir d'un objet linéique transverse virtuel   de point objet générique  , on trouverait que
          « l'image   est symétrique de l'objet  », l'image de l'objet virtuel étant réelle.

Aplanétisme rigoureux d'un miroir planModifier

     Reprenons la figure ci-contre,   restant à distance constante du miroir  caractère linéique transverse de l'objet , il en est de même de   d'où
          le « caractère linéique transverse » de l'image   quelles que soient la position et la dimension de l'objet réel  ou virtuel    ;

     on en déduit l'« aplanétisme rigoureux du miroir plan » étant donné que la propriété est vraie pour tous les objets réels  ou virtuels .

Natures différentes de l'objet et de son image par un miroir planModifier

     D'après ce qui précède, « un miroir plan donne d'un objet réel une image virtuelle » et
   D'après ce qui précède, « un miroir plan donne« d'un objet virtuel, une image réelle » ;

« un objet et son image conjuguée par miroir plan » sont donc de « natures différentes » [32].

Algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel), algébrisation associée des plans transverses, orientation dissociée des plans d'incidence ou d'émergenceModifier

     L'algébrisation physique de l'axe optique principal  associé à un objet ponctuel  n'ayant pas encore été introduite en cours, l'est dans ce chapitre mais, ce n'est pas une notion spécifique au miroir plan, elle concerne tous les systèmes optiques qu'ils soient composés de dioptres ou de miroirs quelle que soit leur forme ; il en est de même des notions qui en découlent à savoir l'algébrisation associée des plans transverses et l'orientation dissociée des plans d'incidence ou d'émergence.

Algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)Modifier

     On oriente l'axe optique principal « dans le sens de propagation de la lumière » ce qui donne, suivant la nature du système optique, les sens suivants :

 
Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un système dioptrique unidirectionnel
  • dans un système dioptrique « unidirectionnel » [33], l'axe optique principal est constitué de rayons incident, intermédiaires et émergent de même direction où les sens incident et émergent sont les mêmes [34],
    il n'y a donc qu'« un seul sens » [35]  voir schémas ci-contre à droite ,
 
Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un miroir
  • dans un système catadioptrique « unidirectionnel » [33], l'axe optique principal est là encore constitué de rayons incident et émergent de même direction [36] mais où les sens incident et émergent sont contraires [37],
    il y a donc « deux sens »,
     « le sens incident » et
     « le sens émergent »
     voir schémas ci-contre à gauche [38] .
 
Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un fibre optique courbée

     Pour terminer un exemple où l'axe optique principal associé à un point objet n'est pas une succession de rayons incident, intermédiaires et émergent car la partie intermédiaire n'est pas constituée de rayons  

     c'est l'exemple déjà cité de « fibre optique courbée »  voir ci-contre ,

     c'est l'exemple déjà cité de « fibre optique courbée » dans ce cas « il n'y a qu'un seul sens  ».

Repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principalModifier

     La position d’un point objet ou celle d'un point image de l'axe optique principal « d'un dioptre ou d'un miroir » [39] est repérée par rapport à une « origine liée à la surface dioptrique ou réfléchissante » [40] sur laquelle tous les rayons incidents issus du point objet arrivent et de laquelle tous les rayons émergents repartent en direction du point image [41], le point commun du rayon incident et du rayon émergent correspondant étant le point d'incidence situé sur la surface dioptrique ou réfléchissante, voir schémas ci-dessous,

  • « surface dioptrique » à gauche et
  • « surface réfléchissante » [42] au centre ;

     dans un système « dioptrique à plus d'un dioptre » ou « catadioptrique à un miroir et plusieurs dioptres » [43] ou « catadioptrique à plus d'un miroir ou surface réfléchissante » [44] ou encore, dans un système à axe optique principal possédant une portion courbée [45], que le système soit unidirectionnel ou polydirectionnel [46], la position d’un point objet ou d'un point image [41] de l'axe optique principal est repérée par rapport à une « origine liée à la face d'entrée ou la face de sortie » [47] en utilisant le « sens   incident » ou le « sens   émergent » [48], voir ci-dessus à droite sur l'exemple du prisme à réflexion totale.

Précautions à prendre lors de l'utilisation de l'algébrisation physique de l'axe optique principal d'un système pour lequel il y a plusieurs sens + définis sur l'axe optique principalModifier

     Dans le cas d'un miroir, une même position géométrique ayant une abscisse différente, suivant qu’elle est occupée par un point objet ou un point image, il faut préciser nettement s'il s’agit d'un point du rayon incident ou d'un point du rayon réfléchi et pour cela une façon consiste à rappeler « le sens d’orientation de la partie incidente ou réfléchie de l’axe optique principal » [49] en indice de la mesure algébrique considérée.

Orientation des espaces objets et imagesModifier

     Orientant les « espaces objets »  réels et virtuels  « à droite » [50] et y choisissant une « base directe » [51]  c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » [52] , l'orientation des espaces images  réelles et virtuelles  dépend du système optique considéré :

  • si le système optique est « dioptrique », les « espaces images »  réelles et virtuelles  sont « orientés à droite » [50] avec choix d'une « base directe » [51]  c.-à-d. déterminé par la « règle de la main droite » [52]   image de la base directe des espaces objets  réels et virtuels  par le système dioptrique ,
  • si le système optique est « catadioptrique » [53], les « espaces images »  réelles et virtuelles  sont « orientés à gauche » [50] avec choix d'une « base indirecte  au sens de la physique » [54]  c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche » [55]   la base indirecte  au sens de la physique  [54] des espaces images  réelles et virtuelles  est l'image de la base directe [51] des espaces objets  réels et virtuels  par le système catadioptrique [53] .

     Remarque : Si le système optique est catadioptrique avec plusieurs miroirs  ou surfaces réfléchissantes [44] , l'orientation des espaces images  réelles et virtuelles  dépend du nombre de miroirs  ou de surfaces réfléchissantes [44]  ;

  • après un nombre pair de réflexions, les « espaces images »  réelles et virtuelles  sont « orientés à droite » [50] avec choix d'une « base directe » [51]  c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » [52]   la base directe [51] des espaces images  réelles et virtuelles  est l'image de la base directe [51] des espaces objets  réels et virtuels  par le système catadioptrique à nombre pair de réflexions ,
  • après un nombre impair de réflexions, les « espaces images »  réelles et virtuelles  sont « orientés à gauche » [50] avec choix d'une « base indirecte  au sens de la physique » [54]  c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche » [55]   la base indirecte  au sens de la physique [54] des espaces images  réelles et virtuelles  est l'image de la base directe [51] des espaces objets  réels et virtuels  par le système catadioptrique à nombre impair de réflexions .

Algébrisation associée des plans transversesModifier

     L'axe optique principal du système optique étant algébrisé physiquement, le(s) vecteur(s) unitaire(s) associé(s) à cette algébrisation défini(ssen)t le 1er vecteur de base orientant l'espace objet  ou image , les 2ème et 3ème vecteurs de base orthonormée orientant cet espace objet  ou image  définissant l'algébrisation des plans transverses de l'espace considéré, plus précisément :

  • si le système optique est « dioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal n'ayant qu'une seule orientation, le vecteur unitaire associé est noté  , les espaces objet et image étant tous deux « orientés à droite » [50] avec choix d'une « base orthonormée directe » [51]  c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » [52] , nous la choisissons commune et la notons  , ceci entraînant une algébrisation identique des plans transverses des espaces objet ou image [56] par   ;
 
Algébrisation identique des plans transverses des espaces objets et images d'un miroir plan
  • si le système optique est « catadioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal a une orientation différente suivant qu'il s'agit d'un point objet ou d'un point image,
     le vecteur unitaire associé de la partie incidente de l'axe optique principal étant noté  , les espaces objets  réel ou virtuel  sont « orientés à droite » [50] avec choix d'une « base orthonormée directe » [51] notée  , ceci entraînant l'algébrisation des plans transverses des espaces objets  réel ou virtuel  par   et
     le vecteur unitaire associé de la partie émergente de l'axe optique principal étant noté  , les espaces images  réelles ou virtuelles  sont « orientés à gauche » [50] avec choix d'une « base orthonormée indirecte  au sens de la physique » [54]  c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche » [55] , notée  [57], ceci entraînant la même algébrisation des plans transverses des espaces images  réelles ou virtuelles  par   que celle des plans transverses des espaces objets réels ou virtuels [56]  voir schéma ci-contre dans l'exemple d'un miroir plan où   est noté  ,   noté   et   notés  .

     Remarque : On rappelle que pour un système catadioptrique avec plusieurs miroirs  ou surfaces réfléchissantes [44] , l'orientation des espaces images  réelles ou virtuelles  dépend du nombre de miroirs  ou de surfaces réfléchissantes [44]  ;

  • après un nombre pair de réflexions, les « espaces images »  réelles ou virtuelles  sont « orientés à droite » [50] avec choix d'une « base orthonormée directe » [51],
  • après un nombre impair de réflexions, les « espaces images »  réelles ou virtuelles  sont « orientés à gauche » [50] avec choix d'une « base orthonormée indirecte  au sens de la physique » [54] ;

     Remarque : toutefois, dans les deux cas, les plans transverses des espaces objets ou images sont algébrisés selon la règle citée en introduction de ce paragraphe respectant l'orientation de l'espace auquel appartient le plan transverse considéré [58].

Orientation des plans d'incidence et d'émergenceModifier

Rappel de l'orientation des angles d'un plan d'un espace à trois dimensionsModifier

     L'espace étant « orienté à droite » [50] avec choix d'une base orthonormée « directe » [51]  c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » [52]  ou

     L'espace étant « orienté à gauche » [50] avec choix d'une base orthonormée « indirecte  au sens de la physique » [54]  c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche » [55] ,

     les angles d'un plan quelconque de cet espace sont orientés par un vecteur unitaire normal   et

       et   étant deux vecteurs non colinéaires quelconques du plan dont les angles sont orientés par  , le signe de l'angle algébrisé   se détermine par la règle suivante :

  • si « le trièdre   est direct »  c.-à-d. suivant la « règle de la main droite » [52]  dans un espace « orienté à droite » [50]    ,
    si « le trièdre   est indirect »  c.-à-d. suivant la « règle de la main gauche » [55]  dans un espace « orienté à droite » [50]    ,
  • si « le trièdre   est indirect  au sens de la physique »  c.-à-d. suivant la « règle de la main gauche » [55]  dans un espace « orienté à gauche » [50]    ,
    si « le trièdre   est direct  au sens de la physique »  c.-à-d. suivant la « règle de la main droite » [52]  dans un espace « orienté à gauche » [50]    .

Orientation des plans d'incidence et d'émergenceModifier

     Si le système optique est « unidirectionnel », les plans d'incidence et d'émergence sont confondus et il est souhaitable   comme cela a été fait pour la réfraction et la réflexion   de définir un « même sens   d'orientation des angles » ;

  • si le système est « dioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal n'a qu'« une seule orientation de vecteur unitaire noté  », les espaces objet et image sont tous deux « orientés à droite » [50] avec choix d'une base « directe commune » [51]  c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » [52]  « » et
    si le système est « dioptrique unidirectionnel », si le plan d'incidence est le plan  , le plan d'émergence est aussi  , tous les deux étant   à  , le choix d'orienter les angles de ce plan par     « le sens   des angles de ce plan est de   vers  » car «  est direct » [59] ;
  • si le système est « catadioptrique unidirectionnel », la partie incidente de l'axe optique principal est orientée par le vecteur de base   1er vecteur de la base des espaces objets « orientés à droite » [50], base choisie « directe  » [51]  c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » [52]  alors que
    si le système est « catadioptrique unidirectionnel », sa partie émergente par le vecteur de base   1er vecteur de la base des espaces images « orientés à gauche » [50], base choisie « indirecte  au sens de la physique   » [54]  c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche » [55]  et
    si le système est « catadioptrique unidirectionnel », si le plan d'incidence est le plan  , le plan d'émergence est le plan  , tous deux étant   à  , le choix d'orienter les angles de ce plan commun par   aurait pour conséquences :
    si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « le sens   des angles du plan d'incidence est de   vers  » car «  est direct » [59]  suivant la « règle de la main droite » [52]  dans un espace « orienté à droite » [50] mais
    si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « le sens   des angles du plan d'émergence étant, avec le choix d'orientation par  , de   vers  » car «  est indirect  au sens de la physique » [59]  suivant la « règle de la main gauche » [55]  dans un espace « orienté à gauche » [50], ce sens   des angles du plan d'émergence serait le sens   des angles du plan d'incidence, ce qui n'est pas ce que nous souhaitions, aussi
         si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « les angles du plan d'incidence étant orientés par  » c.-à-d. « de   vers  »,
         si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « les angles du plan d'émergence doivent être orientés par  » c.-à-d. « de   vers  »  même orientation que « de   vers  » [60]  ceci étant en accord avec «  indirect  au sens de la physique » [61]  suivant la « règle de la main gauche » [55]  dans un espace « orienté à gauche » [50].

Relation de conjugaison de position de Descartes d'un miroir planModifier

Repérage « physique » de DescartesModifier

     On choisit comme « origine des parties incidente et réfléchie de l'axe optique principal » « le sommet   du miroir plan  associé à cet axe optique principal » et,
     pour rappeler que les sens   des parties incidente et réfléchie de l'axe optique principal sont différents dans l'algébrisation de l'axe optique principal,
     on notera l'abscisse « physique » de Descartes [19] du point objet   par « » [62] ainsi que
     on notera l'abscisse « physique » de Descartes [19] du point image   par « » [62].

Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir planModifier

Bien qu'il s'agisse d'une conjugaison rigoureuse, il n'est pas d'usage de le rappeler dans le nom de la relation.

     On utilise le fait que « les points conjugués par un miroir plan sont symétriques par rapport à ce dernier » ce qui entraîne qu'ils ont des abscisses « physiques » de Descartes [19] de même valeur absolue c.-à-d. « » ;

  • si « le point objet   est réel »,   est situé avant le sommet     « » et « le point image  , symétrique de   par rapport au miroir plan, est virtuel »,   étant alors situé avant le sommet   sur le rayon réfléchi   « » d'où l'égalité des abscisses « physiques » de Descartes [19],
  • si « le point objet   est virtuel »,   est situé après le sommet     « » et « le point image  , symétrique de   par rapport au miroir plan, est réel »,   étant alors situé après le sommet   sur le rayon réfléchi   « » d'où l'égalité des abscisses « physiques » de Descartes [19] ;

     finalement la relation de conjugaison de position  ou 1ère relation de conjugaison  de Descartes [19] d'un miroir plan est

« » ou « » [63].

Grandissement transverse d'un objet linéique transverse, relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes d'un miroir planModifier

Définition du grandissement transverse d'un objet linéique transverse dans le cas d'un système optique « unidirectionnel » aplanétiqueModifier

Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout système dioptrique ou catadioptrique « unidirectionnel » aplanétique,
il n'est pas spécifique à un miroir plan.

     Pour un système optique « unidirectionnel », les plans transverses de l'espace image sont   à ceux de l'espace objet et, dans le cas d'aplanétisme  rigoureux  « l'image   d'un objet linéique transverse  [64] étant   à ce dernier » [65] on définit le grandissement transverse de cet objet linéique transverse par

« »  nombre sans dimension ,
« » et « » étant les longueurs algébrisées respectivement de l'objet et de l'image
selon le vecteur de base commun   ou  [66] des plans transverses ;

     suivant le signe du grandissement transverse, on déduit le sens de l'image relativement à l'objet :

  • «si   est  », « l'image est dans le même sens que l'objet », on parle alors d'image « droite »,
  • «si   est  », « l'image est dans le sens contraire de l'objet », on parle alors d'image « inverse » [67].

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir planModifier

Bien qu'il s'agisse d'une conjugaison rigoureuse, il n'est pas d'usage de le rappeler dans le nom de la relation.

     « L'image étant symétrique de l'objet par rapport au miroir plan » avec « objet et image » tous deux   au miroir, « l'image est dans le même sens que l'objet et de même dimension » ;

     de cette dernière affirmation « l'image de même dimension que l'objet » on tire que « le grandissement transverse est de valeur absolue égale à  » et

     de la première affirmation    « l'image de même sens que l'objet »           on tire que « le grandissement transverse est positif »  les plans transverses objets et images étant orientés par les mêmes vecteurs de base  d'où :

     l'expression de la relation de conjugaison de grandissement transverse  ou 2ème relation de conjugaison  de Descartes [19] d'un miroir plan 

« » ou « » [68], [69].

Grandissement angulaire d'un pinceau lumineux, relation de Lagrange-HelmholtzModifier

Les deux 1ers paragraphes ci-dessous s'appliquent à tout système dioptrique ou catadioptrique « unidirectionnel » aplanétique,
ils ne sont pas spécifiques à un miroir plan.

Repérage d'un pinceau incident ou émergentModifier

     Un pinceau étant la matérialisation pratique d'un rayon, on le repère par l'angle orienté que fait sa direction de propagation avec celle de même nature sur l'axe optique principal [70], ainsi :

  • dans un système dioptrique « unidirectionnel », un pinceau incident de direction de propagation   est repéré par l'angle « » du plan d'incidence « orienté de   vers  » [71], «  étant le vecteur unitaire orientant l'axe optique principal », «  et   algébrisant les plans transverses » et «  la base directe » commune choisie dans les espaces objets et images tous deux « orientés à droite » [50], [51]  la base étant déterminée par la « règle de la main droite » [52]  ;
    dans un système dioptrique « unidirectionnel » un pinceau émergent de direction de propagation   est repéré par l'angle « » du plan d'émergence « orienté de   vers  » [71] ;
  • dans un système catadioptrique « unidirectionnel »  voir un exemple ci-dessous à droite, le miroir plan ; repérage d'un pinceau incident et du pinceau émergent correspondant ,
    dans un système catadioptrique « unidirectionnel » un pinceau incident de direction de propagation   est repéré par l'angle «   » du plan d'incidence orienté de «  vers  » [72], «  étant le vecteur unitaire orientant la partie incidente de l'axe optique principal », «  et   algébrisant les plans transverses » et «  la base directe » choisie dans les espaces objets « orientés à droite » [50], [51]  la base étant déterminée par la « règle de la main droite » [52]  ;
    dans un système catadioptrique « unidirectionnel » un pinceau émergent de direction de propagation   est repéré par l'angle « » du plan d'émergence orienté de «  vers  » [73], «  étant le vecteur unitaire orientant la partie émergente de l'axe optique principal », «  et   algébrisant les plans transverses » et «  la base indirecte  au sens de la physique  choisie dans les espaces images orientés à gauche » [50], [54]  la base étant déterminée par la « règle de la main gauche » [55] .

Définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objetModifier

 
Schéma de définition du grandissement angulaire, par un miroir plan, d'un pinceau lumineux issu d'un point objet

     Ayant défini, dans un « système dioptrique ou catadioptrique unidirectionnel »  voir le schéma ci-contre pour un système catadioptrique unidirectionnel ,

  • l'angle   d'inclinaison de la direction du pinceau incident issu du point objet   ainsi que
  • l'angle   d'inclinaison de la direction du pinceau émergent du point image  ,

     tous deux comptés positivement selon le « même sens  », on appelle

« grandissement angulaire du pinceau lumineux issu du point objet  , noté  »
le rapport algébrique « »  nombre sans dimension .

Valeur du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet par un miroir planModifier

     « Le point image   du point objet   par un miroir plan étant le symétrique de   par rapport au miroir plan », on vérifie aisément
          que les « angles   et   ont même valeur absolue »  en effet les triangles   et  ,   étant le point d'incidence du pinceau incident et réfléchi sur le miroir, sont égaux  et
          qu'ils sont de signe contraire  en effet   étant égal à l'angle de réflexion du rayon médian du pinceau émergent et   à l'angle d'incidence du rayon médian du pinceau incident, ces deux angles obéissant à la 2ème loi de Snell-Descartes [18], [19] de la réflexion [21] ,
     on en déduit le grandissement angulaire cherché soit

« » [74].

Lien entre le grandissement transverse d'un objet linéique transverse et le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu du point objet pied de l'objet linéique transverse par un miroir plan, relation de Lagrange-HelmholtzModifier

     Ayant établi que le grandissement transverse par un miroir plan d'un objet linéique transverse de pied   est « » et
     Ayant établi que le grandissement angulaire par le même miroir plan d'un pinceau lumineux issu de   est « »,
     on en déduit une « relation liant les grandissements transverse et angulaire relatifs à un même point objet  » ne dépendant pas de ce dernier, relation appelée « relation de Lagrange – Helmholtz » [75], [76], cette relation s'écrivant pour un miroir plan  et pour tout système catadioptrique unidirectionnel 

« » [77].

Sensibilisation de l'utilisation de la relation de Lagrange-Helmholtz à un système catadioptrique, exemple d'un miroir sphérique concaveModifier

Il ne s'agit pas d'étudier dans les détails toutes les propriétés des « miroirs sphériques » [78], mais uniquement
d'« utiliser les lois de Snell–Descartes de la réflexion » [20], [21] appliquées à un « miroir sphérique  concave » pour
souligner l'intérêt de la « relation de Lagrange-Helmholtz » [75], [76].

     Comme nous l'avons évoqué en note « 77 » plus haut dans ce chapitre, la « relation de Lagrange-Helmholtz » [75], [76] n'a aucun intérêt pour un miroir plan, par contre
          Comme nous l'avons évoqué en note « 77 » plus haut dans ce chapitre, la « relation de Lagrange-Helmholtz » elle en acquiert un pour un « miroir sphérique ».

     Quelques données relatives au miroir sphérique :  le centre de courbure   est sa propre image par le miroir sphérique quelle que soit l'ouverture du faisceau issu de  , il y a donc
          Quelques données relatives au miroir sphérique : d'une part « stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son centre de courbure » [79] et
          Quelques données relatives au miroir sphérique : d'autre part « le centre de courbure du miroir sphérique est un point double » [80] ;
     Quelques données relatives au miroir sphérique :  pour tous les autres point objets  à l'exception du sommet  , il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique mais,
          Quelques données relatives au miroir sphérique : si on limite les angles intervenant dans la réflexion   c.-à-d. si on se place dans les « conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » [81] du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »   il y a stigmatisme approché du miroir sphérique ;
     Quelques données relatives au miroir sphérique :  pour tous les objets linéiques transverses  de pied autre que   ou   vu du miroir sous un angle non petit [82], il n'y a pas aplanétisme rigoureux du miroir sphérique, mais
          Quelques données relatives au miroir sphérique : si l'objet linéique transverse est « vu du miroir » sous un petit angle   c.-à-d. si on se place dans les « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'un système optique centré » [81] du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »   il y a aplanétisme approché du miroir sphérique ;
     Quelques données relatives au miroir sphérique :  on peut donc, dans les « conditions de Gauss » [81] du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », évaluer les grandissements
               Quelques données relatives au miroir sphérique : angulaire d'un pinceau passant par le point objet   et
               Quelques données relatives au miroir sphérique : transverse d'un objet linéique transverse de pied  ,
          Quelques données relatives au miroir sphérique : ce qui permet de vérifier la « relation de Lagrange-Helmholtz » [75], [76] par construction effectuée sur un schéma :

 
Sensibilisation de la relation de Lagrange - Helmholtz sur un miroir sphérique concave

     Construction utilisant un miroir sphérique concave  : voir schéma d'analyse ci-contre  les angles représentés sont supposés petits de façon à ce que les « conditions de Gauss de stigmatisme approché [81] et celles supplémentaires d'aplanétisme approché » introduites au chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » soient réalisées  ;

     On construit le rayon réfléchi sur le miroir sphérique du rayon incident issu du point objet réel   de l'axe optique principal, rayon incident incliné de   relativement à la partie incidente de l'axe optique principal
     On construit par utilisation de la 1ère et 2ème loi de Snell–Descartes [18], [19] de la réflexion [20], [21],
     On construit l'intersection de l'axe optique principal et du rayon réfléchi incliné de   relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal définit le point image   réel ;

     on construit le point image   du point objet réel  , extrémité située hors axe optique principal de l'objet linéique transverse  ,
     on construit en utilisant le rayon incident issu de   et passant par le centre de courbure  , rayon qui se réfléchit sur lui-même, et,
     on construit compte-tenu de l'aplanétisme approché, le point image   ayant pour pied sur l'axe optique principal le point image   est le point réel du rayon réfléchi se projetant orthogonalement sur l'axe optique principal en   ;

     on observe que l'image   est inversée par rapport à l'objet   et que la taille de la 1ère est inférieure à celle du 2ème d'où
     on observe que « le grandissement transverse  » d'une part
     on observe que les angles   et   de même signe sont tels   est supérieur à   d'où
     on observe que « le grandissement angulaire  » d'autre part,
     l'observation graphique de ces résultats est donc conforme à la « relation de Lagrange-Helmholtz » [75], [76] laquelle, bien sûr, nécessiterait d'être démontrée  

Notes et référencesModifier

  1. Dans un système « dioptrique » à direction de propagation « unidirectionnelle », la lumière émergente est dans le « même sens » que la lumière incidente.
  2. Dans un système « catadioptrique » à direction de propagation « unidirectionnelle », la lumière émergente est dans le « sens contraire » de la lumière incidente ;
       on prolonge la définition des systèmes « catadioptriques » en permettant qu'ils contiennent plus d'un miroir ;
       dans le cas où la propagation est « unidirectionnelle »  par abus on parle encore de système « catadioptrique unidirectionnel » ,
    • si le nombre de miroirs est pair, le système catadioptrique est équivalent à un système dioptrique car le sens émergent est identique au sens incident et
    • si le nombre de miroirs est impair, le système catadioptrique est équivalent à un miroir, le sens émergent étant opposé au sens incident.
  3. Dans ce cas l'objet peut « absorber puis réémettre » ou « réfléchir » la lumière reçue, pour éviter les complications on dira que l'objet « émet la lumière  qu'il a reçu ».
  4. On parle alors de « point objet ».
  5. Voir la partie gauche du schéma ci-dessous.
  6. Voir le paragraphe « espaces images, nature réelle ou virtuelle » plus bas dans ce chapitre.
  7. Ce n'est pas la définition la plus générale qui est énoncée ci-après mais celle qui est donnée est applicable à tous les systèmes à l'exception d'une fibre optique courbée.
  8. Ce rayon   ainsi que son prolongement « virtuel » au-delà de la face d'entrée   définit la partie incidente de l'axe optique principal.
  9. Le rayon émergent   ainsi que son prolongement « virtuel » en-deçà de la face de sortie   définit la partie émergente de l'axe optique principal.
  10. 10,0 et 10,1 On a supposé que le faisceau incident issu du point objet   donnait un faisceau convergent en un point  , ceci n'est vrai que pour le miroir plan, pour les autres la convergence n'est pas ponctuelle pour une ouverture non petite  
  11. Pour une fibre optique courbée la définition d'un axe optique principal associé à un point objet doit être celle qui est donnée en remarque ci-dessous.
  12. Cette définition englobe la définition précédente et n'est vraiment utile que pour une fibre optique courbée pour laquelle la définition précédente ne s'applique pas.
  13. Principal ou secondaire  associé à un point objet .
  14. On parle alors de « point image ».
  15. Et par conséquent apparaissant « floue ».
  16. Le stigmatisme rigoureux d'un système optique pour tous les points objets est très rare ; comme nous le verrons, le miroir plan en est un exemple mais c'est en fait le seul.
  17. Voir la partie droite du schéma du paragraphe « notion de point objet, espaces objets, nature réelle ou virtuelle » plus haut dans ce chapitre.
  18. 18,0 18,1 18,2 et 18,3 Willebrord Snell Van Royen ou Snellius (1580 - 1626) humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes  sans que ce soit assuré   
  19. 19,00 19,01 19,02 19,03 19,04 19,05 19,06 19,07 19,08 19,09 et 19,10 René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.
  20. 20,0 20,1 et 20,2 Voir le paragraphe « 1ère loi de Snell-Descartes de la réflexion » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  21. 21,0 21,1 21,2 et 21,3 Voir le paragraphe « 2ème loi de Snell-Descartes de la réflexion » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  22. Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  23. 23,0 et 23,1 Sur cette figure a été indiquée l'algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel) définie au paragraphe précité plus loin dans ce chapitre.
  24. Pour créer un point objet virtuel   relativement au miroir plan, on crée un point image réelle   par un 1er système optique d'une source ponctuelle    on crée donc un point de convergence réelle   par ce 1er système optique d'un faisceau provenant d'une source ponctuelle  , mais on empêche la convergence réelle en   en interposant le miroir plan avant  , le faisceau rencontrant maintenant la face d'entrée du miroir avant son point de convergence  , ce dernier devient virtuel.
  25. On peut dire aussi qu'un point double est un point objet qui est sa propre image par le système optique.
  26. Le miroir plan étant la « face d'entrée » du système optique, si on définit l'espace objet réel comme l'espace strictement situé en-deçà du miroir plan dans le sens incident et l'espace objet virtuel comme l'espace strictement situé au-delà du miroir plan dans le sens incident, les deux espaces objets n'ayant pas d'intersection, un objet est donc soit réel, soit virtuel ;
       de même le miroir plan étant la « face de sortie » du système optique, si on définit l'espace image réelle comme l'espace strictement situé en-deçà du miroir plan dans le sens réfléchi et l'espace image virtuelle comme l'espace strictement situé au-delà du miroir plan dans le sens réfléchi, les deux espaces images n'ayant pas d'intersection, une image est donc soit réelle, soit virtuelle ;
       avec cette définition, le point objet situé au sommet du miroir n'a ni caractère réel, ni caractère virtuel et il en est de même du point image positionné au sommet du miroir, ce qui, mettant le sommet à part relativement aux autres objets ou aux autres images, n'est pas satisfaisant ;
       en fait il est impossible de mettre une source ponctuelle exactement sur le miroir, le plus simple pour essayer de réaliser l'expérience  avec un point objet sur le miroir plan  est de créer, par un autre système optique, une image ponctuelle   qui servira d'objet pour le miroir et de positionner ce dernier sur   mais dans la pratique le miroir sera très légèrement au-delà de   dans le sens incident rendant   réel ou très légèrement en-deçà de   dans le sens incident rendant   virtuel, aussi est-il possible de considérer qu'en théorie   sur le miroir est réel à   et virtuel à   ainsi que son image par le miroir confondue avec   est à la fois virtuelle à   et réelle à    si en pratique le miroir est très légèrement au-delà de   dans le sens incident rendant   réel, l'image de ce dernier par le miroir sera très légèrement en-deçà du miroir dans le sens réfléchi rendant l'image virtuelle et si en pratique le miroir est au contraire très légèrement en-deçà de   dans le sens incident rendant   virtuel, l'image de ce dernier par le miroir sera très légèrement au-delà du miroir dans le sens réfléchi rendant l'image réelle  d'où l'intérêt de donner une autre définition des espaces objets réel et virtuel ainsi que des espaces images réelle et virtuelle d'un miroir plan permettant de ne plus particulariser le sommet du miroir sur un axe optique principal quelconque ;
       pour cela il suffit de considérer que la « face d'entrée » appartient à la fois aux espaces objet réel et objet virtuel et que la « face de sortie » appartient à la fois aux espaces image réelle et image virtuelle, dans ces conditions le point double « sommet   du miroir plan pour l'axe optique principal considéré » situé sur le miroir dans l'intersection des espaces objet réel et image virtuelle ou des espaces objet virtuel et image réelle est bien tel que l'objet et l'image par le miroir plan sont confondues en étant de nature différente.
  27. Sur la figure considérée, les rayons réfléchis de point d'incidence respectif   et   ont été décalé relativement aux rayons incidents pour une question de lisibilité du schéma.
  28. Pour que le point à l'infini sur l'axe optique principal soit un point double, il faut admettre qu'il est à la fois réel et virtuel  les points conjugués par un miroir plan étant de nature différente  c.-à-d. considérer
       que l'espace objet réel  c.-à-d. l'espace objet situé en-deçà de la face d'entrée du miroir dans le sens incident  et à l'espace image virtuelle  c.-à-d. l'espace image situé en-deçà de la face de sortie du miroir dans le sens émergent  se rejoignent à l'infini ou que l'espace objet virtuel  c.-à-d. l'espace objet situé au-delà de la face d'entrée du miroir dans le sens incident  et à l'espace image réelle  c.-à-d. l'espace image situé au-delà de la face de sortie du miroir dans le sens émergent  se rejoignent aussi à l'infini ou encore,
       qu'une droite en tant que « limite d'un cercle dont le centre est situé perpendiculairement à la droite à une distance tendant vers l'infini, le rayon du cercle tendant également vers l'infini » est une courbe qui se ferme à l'infini  le cercle dont la droite est la limite étant une courbe fermée .
  29. Un « objet étendu à deux dimensions » étant une « juxtaposition continue d'objets étendus à une dimension indépendants » et un « objet étendu à trois dimensions », une « juxtaposition continue d'objets étendus à deux dimensions indépendants ».
  30. L'image « » étant composée d'images ponctuelles est donc « nette ».
  31. Sur cette figure sont indiquées l'algébrisation physique de l'axe optique principal ainsi que l'orientation des espaces objet et image qui seront définies aux paragraphes « algébrisation physique de l'axe optique principale (associé à un objet ponctuel) » et « orientation des espaces objets et images » plus loin dans ce chapitre.
  32. On rappelle qu'en englobant dans l'espace objet réel et l'espace objet virtuel, la face d'entrée du miroir, de même
       On rappelle qu'en englobant dans l'espace image réelle et l'espace image virtuelle, la face de sortie du miroir,
       le point double « sommet du miroir sur l'axe optique principal considéré » peut être considéré comme un objet réel, son image confondue avec lui étant alors virtuelle ou
       le point double « sommet du miroir sur l'axe optique principal considéré » peut être considéré comme un objet virtuel, son image confondue avec lui étant alors réelle ; de même
       le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal associé »  le point à l'infini d'une droite étant considéré comme le point de fermeture de la droite, limite d'un cercle dont le centre est situé perpendiculairement à la droite à une distance tendant vers l'infini, le rayon du cercle tendant également vers l'infini 
       le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal associé » peut être considéré comme un objet réel, son image confondue avec lui étant alors virtuelle ou
       le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal associé » peut être considéré comme un objet virtuel, son image confondue avec lui étant alors réelle.
  33. 33,0 et 33,1 Le qualificatif « unidirectionnel » appliqué à un système dioptrique ou catadioptrique signifiant que ce système dioptrique ou catadioptrique est à « axe optique principal unidirectionnel » ;
       avec la définition pratique de l'axe optique principal  applicable à pratiquement tous les systèmes à l'exception des fibres optiques courbées , l'axe optique principal est constitué de rayons ayant tous même support.
  34. L'application de cette propriété se prolonge aux systèmes catadioptriques unidirectionnels à nombre pair de miroirs.
  35.  
    Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un périscope
    Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme celui du système optique formant un périscope  le système est qualifié de catadioptrique car on observe des réflexions totales , l'axe optique principal est constitué
    • de rayon incident   à la face d'entrée, de rayon intermédiaire de même direction et de même sens que le rayon incident avant la 1ère réflexion totale,
    • de rayons intermédiaires de direction   au rayon incident après la 1ère réflexion,
    • de rayon intermédiaire de même direction et de même sens que le rayon incident après la 2ème réflexion totale, de rayon émergent de même direction et de même sens que le rayon incident,

       on dénombre donc « deux sens  »,
         le sens   incident ou émergent  ainsi qu'intermédiaire juste avant le 1ère réflexion totale ou juste après la 2ème  et
         le sens   pour les rayons intermédiaires correspondant à une rotation de   en valeur absolue relativement au sens   commun précédent.

  36. Si le système catadioptrique contient des dioptres intermédiaires  les faces d'entrée et de sortie étant les faces d'un miroir, les dioptres séparant des espaces optiques intermédiaires , en plus des rayons incident et émergent il y a des rayons intermédiaires mais pour un système « unidirectionnel » les rayons intermédiaires sont de même direction que les rayons incident et émergent ;
       si au contraire le miroir est intermédiaire il y a également en plus des rayons incident et émergent aboutissant ou issu des dioptres extrêmes, des rayons intermédiaires dont ceux aboutissant et issu du miroir, tous ces rayons ayant même direction.
  37. Si le système catadioptrique « unidirectionnel » contient des dioptres intermédiaires, il y a des rayons intermédiaires de même direction que les rayons incident et émergent ; le sens des rayons intermédiaires est alors identique au sens incident ;
       si au contraire le miroir est intermédiaire il y a donc des rayons intermédiaires de même direction que les rayons incident et émergent, le sens des rayons intermédiaires avant le miroir étant identique au sens incident et celui des rayons intermédiaires après le miroir identique au sens émergent.
  38.  
    Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'une équerre optique
    Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique  voir schéma ci-contre à droite   le système est qualifié de catadioptrique car on observe des réflexions totales, dans le cas d'une équerre optique on n'en observe qu'une , « il y a deux sens  »,
    • le sens   incident et
    • le sens   émergent,

       le sens du rayon intermédiaire avant réflexion étant identique au sens incident et celui du rayon intermédiaire après réflexion identique au sens émergent ;

    un autre exemple de système catadioptrique polydirectionnel est le cas du prisme à réflexion totale dans lequel on observe deux réflexions totales  voir schéma ci-contre à gauche exposant l'algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un prisme à réflexion totale , il y a alors « trois sens  »,
    • le sens   incident pour les rayons incident et intermédiaire avant la 1ère réflexion totale,
    • le sens   intermédiaire correspondant à une rotation de   en valeur absolue relativement au sens   incident pour le rayon intermédiaire après la 1ère réflexion totale et avant la 2ème,
    • le sens   émergent opposé au sens   incident pour les rayons émergent et intermédiaire après la 2ème réflexion totale.
  39. Avec un dioptre ou un miroir, l'axe optique principal associé à un point objet est constitué
    • du rayon incident issu du point objet   à la surface dioptrique ou réfléchissante et
    • du rayon émergent de même direction et de même sens que le rayon incident pour un dioptre ou de sens contraire pour un miroir.
  40. Le plus souvent on choisit le sommet   de la surface dioptrique ou réfléchissante, c.-à-d. l'intersection de cette dernière avec l'axe optique principal.
  41. 41,0 et 41,1 Pour définir un couple de points conjugués, il faut bien sûr que le système optique soit stigmatique rigoureux pour le point objet.
  42. Seul le cas d'un objet réel et d'une image virtuelle a été représenté  l'image n'étant a priori pas celle de l'objet positionné  ;
       si l'objet était virtuel il serait au-delà du miroir sur la partie incidente de l'axe optique principal  donc à droite  et si l'image envisagée était réelle elle serait au-delà du miroir sur la partie réfléchie de l'axe optique principal  donc à gauche .
  43. Dans ce cas le miroir ne pouvant constituer la face d'entrée  sinon les dioptres ne seraient pas utilisés