Signaux physiques (PCSI)/Optique géométrique : miroir plan
Notion de stigmatisme rigoureux
modifierL'introduction du stigmatisme n'ayant pas encore été introduite en cours, l'est dans ce chapitre mais, ce n'est pas une notion spécifique au miroir plan, elle concerne tous les systèmes optiques qu'ils soient composés de dioptres ou de miroirs quelle que soit leur forme.
Notion de système optique
modifierUn système optique est l'espace optique entre deux surfaces, il est destiné à permettre la transmission de la lumière, la surface sur laquelle arrive la lumière incidente est appelée « face d'entrée » et celle à partir de laquelle émerge la lumière « face de sortie » ;
il peut être composé d'une « succession de dioptres », dans ce cas le système est dit « dioptrique » [1] ou
il peut être composé d'une « succession de dioptres et d'un miroir », dans ce cas le système est dit « catadioptrique » [2].
Notion de point objet, espaces objets, nature réelle ou virtuelle
modifier Un objet lumineux est une « source lumineuse » ou un « objet sans émission interne de lumière mais éclairé par une source lumineuse » [3] ; il est qualifié de ponctuel s'il est « de dimension mésoscopique » [4], il peut être situé
en-deçà de la face d'entrée du système optique étudié, il « émet » alors un faisceau « divergent » en direction de la face d'entrée et ayant une existence réelle il est qualifié d'« objet réel » ou
au-delà de la face d'entrée du système optique étudié, il résulte alors de la convergence d'un faisceau lumineux en un point dont l'existence serait réelle si la face d'entrée n'était pas située en-deçà de ce point, il est alors qualifié d'« objet virtuel » ;
on définit alors deux « espaces optiques de positionnement des objets » [5] :
- un « espace objet réel » situé en-deçà de la face d'entrée et
- un « espace objet virtuel » situé au-delà de la face d'entrée.
-
Positionnement des espaces objets réel et virtuel à gauche, des espaces images réelle et virtuelle à droite [6]
Notion d'axe optique principal (associé à un point objet), plans transverses
modifierOn appelle « axe optique principal associé à un point objet » [7] la succession du « rayon incident passant par le point objet et normal à la face d'entrée » [8] et des « rayons correspondants se propageant dans les espaces optiques successifs » [9] ;
les plans à l'axe optique principal sont qualifiés de « plans transverses ».
-
Exemples d'axe optique principal d'un dioptre ou d'un miroir [10]
Remarques : La succession d'un « rayon incident passant par le point objet mais non normal à la face d'entrée » et des « rayons correspondants se propageant dans les espaces optiques successifs » définit un axe optique secondaire ; pour un point objet il n'y a qu'un axe optique principal mais une infinité d'axes optiques secondaires.
Remarques : La définition « la plus générale » [12] d'un « axe optique » [13] d’un système optique est la « trajectoire moyenne » des rayons lumineux d’un pinceau arrivant sur le système optique lors de la propagation de ces derniers à travers le système voir la partie droite du schéma immédiatement au-dessus .
Notion d'image d'un point objet par un système optique
modifierUn faisceau issu d'un point objet étant constitué de rayons incidents indépendants les uns des autres, on détermine le trajet des rayons intermédiaires et émergents correspondant aux rayons incidents du faisceau et deux cas se présentent :
- tous les rayons émergents sont concourants, le système optique donne alors du faisceau incident issu de un faisceau convergent en un point , définit alors l'« image de par le système optique » et cette image est « ponctuelle » [14],
- tous les rayons émergents ne sont pas concourants mais leur ensemble possède une zone de resserrement à éclairement maximal qui peut être considérée comme l'image « non ponctuelle » [15] de par le système optique.
Stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet
modifierSi le point objet admet un point image par le système optique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident issu de , on dit qu'il y a « stigmatisme rigoureux du système optique pour le point objet » ;
si la propriété est vraie pour tous les points objets possibles, on dit que « le système optique est stigmatique rigoureux » [16].
Conjugaison rigoureuse d'un couple de points par un système optique
modifierS'il y a stigmatisme rigoureux d'un système optique pour le point objet , le point image étant noté , on dit encore que « le couple de points est conjugué rigoureux par le système optique ».
Espaces images, nature réelle ou virtuelle
modifierS'il y a stigmatisme rigoureux du système optique, tout point objet admet un point image unique par le système optique ; peut être situé
au-delà de la face de sortie du système optique étudié, correspondant au point de « convergence du faisceau émergent », et ayant une existence réelle il est qualifié d'« image réelle » ou
en-deçà de la face de sortie du système optique étudié, il résulte alors de la « divergence du faisceau émergent » à partir d'un point sans existence réelle, il est alors qualifié d'« image virtuelle » ;
on définit alors deux « espaces optiques de positionnement des images » [17] :
- un « espace image réelle » situé au-delà de la face de sortie et
- un « espace image virtuelle » situé en-deçà de la face de sortie.
Construction de l'« image » d'un objet ponctuel par un miroir plan, stigmatisme rigoureux d'un miroir plan
modifierConstruction fondamentale d'un émergent correspondant à un incident donné
modifierMéthode de construction du réfléchi de l'incident AI :
- étant un point quelconque de l’incident, construire symétrique de par rapport au miroir, est alors le prolongement virtuel du rayon réfléchi .
Justification de la construction ci-contre :
- Soit le rayon incident ci-contre qui se réfléchit sur le miroir plan en point d’incidence , d'angle d'incidence « » avec un point quelconque de la partie réelle du rayon incident, le plan d’incidence c.-à-d. le plan contenant et étant le plan de l'écran ;
- de la 1ère loi de Snell-Descartes [18], [19] de la réflexion [20], on déduit que le rayon réfléchi est dans le plan de l'écran ;
- de 2ème loi de Snell-Descartes [18], [19] de la réflexion [21], on déduit l'angle de réflexion « », c.-à-d. l'opposé de l'angle d'incidence, d'où le prolongement « virtuel » du réfléchi est symétrique de l'incident par rapport au miroir ; on en déduit que symétrique de par rapport au miroir appartient à ce prolongement virtuel C.Q.F.D. [22] .
Stigmatisme rigoureux d'un miroir plan
modifierSoit un point objet réel point source d’un faisceau incident dont on a représenté deux rayons incidents sur la figure ci-contre [23] à droite ;
chaque rayon incident issu de admet un réfléchi dont le prolongement virtuel passe par le symétrique de par rapport au miroir et par suite tous les rayons réfléchis étant issus de , appartiennent à un même faisceau de sommet ;
, le symétrique de par rapport au miroir, est donc le point image conjuguée du point objet la conjugaison entre et est rigoureuse car il n’y a aucune restriction sur le rayon incident issu de d'où le « stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets réels ».
Soit un point objet virtuel c.-à-d. le point de convergence d'un faisceau incident situé au-delà du miroir plan [24] voir la figure ci-contre [23] à gauche ;
chaque rayon incident dont le prolongement aboutit à admet un réfléchi passant par le symétrique de par rapport au miroir et par suite tous les rayons réfléchis aboutissant à , appartiennent à un même faisceau de sommet ;
, le symétrique de par rapport au miroir, est donc le point image conjuguée du point objet la conjugaison entre et est rigoureuse car il n’y a aucune restriction sur le rayon incident aboutissant à d'où le « stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets virtuels ».
Finalement, ayant démontré le stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets réels ou virtuels, on peut affirmer
de plus l'image et l'objet sont toujours de nature différente, l'image d'un objet réel étant virtuel et l'image d'un objet virtuel, réelle.
Points doubles d'un miroir plan et la nature afocale de ce dernier
modifierOn appelle « point double » d'un système optique stigmatique rigoureux, « un point objet qui est son propre conjugué rigoureux par le système optique » [25] ;
considérant un miroir plan et les objets ponctuels situés sur un même axe optique principal, on peut définir sur cet axe deux points doubles :
-
Justification de la propriété de point double pour les points d'un miroir plan
-
Justification de la propriété de point double pour les points à l'infini d'un miroir plan
- le « sommet du miroir » c.-à-d. « l'intersection du miroir et de l'axe optique principal », voir vérification sur figure ci-dessus à gauche,
un faisceau convergeant en se réfléchit en faisceau divergeant à partir de d'où « le sommet du miroir plan est un point double de ce dernier pour l'axe optique principal considéré » [26], - le « point à l'infini de l'axe optique principal » voir vérification sur figure ci-dessus à droite,
un « faisceau de direction normale au miroir » se réfléchit sur lui-même [27] d'où « le point à l'infini est un point double du miroir pour l'axe optique principal considéré » [28] ;
de cette propriété on en déduit que le miroir plan est un système « afocal » voir définition ci-dessous .
Définition de système focal, de système afocal :
Un système optique est dit « focal » si « le point à l'infini de l'axe optique principal est le conjugué d'un point à distance finie »,
Un système optiqueil est dit « afocal » si « le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double ».
Notion d'aplanétisme rigoureux
modifierDéfinition d'un objet linéique transverse
modifierUn « objet étendu » peut être considéré comme une « juxtaposition de points objets indépendants », nous ne considérerons par la suite que des « objets étendus à une dimension » [29] ;
un objet étendu à une dimension est dit « linéique » si les points objets le constituant sont « alignés »,
un objet linéique est dit « transverse » si les points objets alignés le constituant sont « dans un même plan transverse ».
Conséquence du caractère "stigmatisme rigoureux" d'un système optique sur un objet linéique transverse
modifier Le système optique étant « stigmatique rigoureux », tous les points objets constituant l'objet linéique transverse « » admettent un point image unique et par suite
Le système optique étant « stigmatique rigoureux », « le système optique donne de l'objet linéique transverse une image unique » [30] ; mais a priori
Le système optique étant « stigmatique rigoureux », les points images composant ne sont pas nécessairement alignés l'image n'est donc pas nécessairement linéique et s'ils le sont
Le système optique étant « stigmatique rigoureux », ils ne se situent pas nécessairement dans un même plan transverse si l'image est linéique, elle n'est pas nécessairement transverse .
Définition de l'aplanétisme rigoureux d'un système optique stigmatique rigoureux
modifier Un système optique stigmatique rigoureux est « aplanétique rigoureux » si « l'image d'un objet linéique transverse est elle-même linéique transverse quelles que soient la position et la dimension de l'objet » ;
l'« aplanétisme rigoureux d'un système optique stigmatique rigoureux » est donc la conservation du caractère « linéique transverse » lors de la conjugaison rigoureuse du système optique quel que soit l'objet.
Construction de l'image d'un objet linéique transverse par un miroir plan, aplanétisme rigoureux d'un miroir plan
modifierConstruction de l'image d'un objet linéique transverse par un miroir plan
modifierSoit l'objet linéique transverse réel de point objet générique voir figure ci-contre [31] dont on cherche l'image de point image générique par le miroir plan ;
chaque point objet ayant pour image , le symétrique de par rapport au miroir plan nous en déduisons que
« l'image est symétrique de l'objet », l'image de l'objet réel étant virtuelle ;
on pourrait faire la construction à partir d'un objet linéique transverse virtuel de point objet générique , on trouverait que
« l'image est symétrique de l'objet », l'image de l'objet virtuel étant réelle.
Aplanétisme rigoureux d'un miroir plan
modifier Reprenons la figure ci-contre, restant à distance constante du miroir caractère linéique transverse de l'objet , il en est de même de d'où
le « caractère linéique transverse » de l'image quelles que soient la position et la dimension de l'objet réel ou virtuel ;
on en déduit l'« aplanétisme rigoureux du miroir plan » étant donné que la propriété est vraie pour tous les objets réels ou virtuels .
Natures différentes de l'objet et de son image par un miroir plan
modifier D'après ce qui précède, « un miroir plan donne d'un objet réel une image virtuelle » et
D'après ce qui précède, « un miroir plan donne« d'un objet virtuel, une image réelle » ;
Algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel), algébrisation associée des plans transverses, orientation dissociée des plans d'incidence ou d'émergence
modifierL'algébrisation physique de l'axe optique principal associé à un objet ponctuel n'ayant pas encore été introduite en cours, l'est dans ce chapitre mais, ce n'est pas une notion spécifique au miroir plan, elle concerne tous les systèmes optiques qu'ils soient composés de dioptres ou de miroirs quelle que soit leur forme ; il en est de même des notions qui en découlent à savoir l'algébrisation associée des plans transverses et l'orientation dissociée des plans d'incidence ou d'émergence.
Algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)
modifierOn oriente l'axe optique principal « dans le sens de propagation de la lumière » ce qui donne, suivant la nature du système optique, les sens suivants :
- dans un système dioptrique « unidirectionnel » [33], l'axe optique principal est constitué de rayons incident, intermédiaires et émergent de même direction où les sens incident et émergent sont les mêmes [34],
il n'y a donc qu'« un seul sens » [35] voir schémas ci-contre à droite ,
- dans un système catadioptrique « unidirectionnel » [33], l'axe optique principal est là encore constitué de rayons incident et émergent de même direction [36] mais où les sens incident et émergent sont contraires [37],
il y a donc « deux sens »,
« le sens incident » et
« le sens émergent »
voir schémas ci-contre à gauche [38] .
Pour terminer un exemple où l'axe optique principal associé à un point objet n'est pas une succession de rayons incident, intermédiaires et émergent car la partie intermédiaire n'est pas constituée de rayons
c'est l'exemple déjà cité de « fibre optique courbée » voir ci-contre ,
c'est l'exemple déjà cité de « fibre optique courbée » dans ce cas « il n'y a qu'un seul sens ».
Repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal
modifierLa position d’un point objet ou celle d'un point image de l'axe optique principal « d'un dioptre ou d'un miroir » [39] est repérée par rapport à une « origine liée à la surface dioptrique ou réfléchissante » [40] sur laquelle tous les rayons incidents issus du point objet arrivent et de laquelle tous les rayons émergents repartent en direction du point image [41], le point commun du rayon incident et du rayon émergent correspondant étant le point d'incidence situé sur la surface dioptrique ou réfléchissante, voir schémas ci-dessous,
- « surface dioptrique » à gauche et
- « surface réfléchissante » [42] au centre ;
-
Repérage d'un point objet ou image sur l'axe optique principal d'un dioptre, lien entre la réalité ou la virtualité du point et le signe de son abscisse
-
Repérage d'un point objet ou image sur l'axe optique principal d'un miroir, lien entre la réalité ou la virtualité du point et le signe de son abscisse
-
Repérage d'un point objet ou image sur l'axe optique principal d'un prisme à réflexion totale, lien entre réalité ou virtualité du point et signe de son abscisse
dans un système « dioptrique à plus d'un dioptre » ou « catadioptrique à un miroir et plusieurs dioptres » [43] ou « catadioptrique à plus d'un miroir ou surface réfléchissante » [44] ou encore, dans un système à axe optique principal possédant une portion courbée [45], que le système soit unidirectionnel ou polydirectionnel [46], la position d’un point objet ou d'un point image [41] de l'axe optique principal est repérée par rapport à une « origine liée à la face d'entrée ou la face de sortie » [47] en utilisant le « sens incident » ou le « sens émergent » [48], voir ci-dessus à droite sur l'exemple du prisme à réflexion totale.
Précautions à prendre lors de l'utilisation de l'algébrisation physique de l'axe optique principal d'un système pour lequel il y a plusieurs sens + définis sur l'axe optique principal
modifierDans le cas d'un miroir, une même position géométrique ayant une abscisse différente, suivant qu’elle est occupée par un point objet ou un point image, il faut préciser nettement s'il s’agit d'un point du rayon incident ou d'un point du rayon réfléchi et pour cela une façon consiste à rappeler « le sens d’orientation de la partie incidente ou réfléchie de l’axe optique principal » [49] en indice de la mesure algébrique considérée.
Orientation des espaces objets et images
modifierOrientant les « espaces objets » réels et virtuels « à droite » [50] et y choisissant une « base directe » [51] c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » [52] , l'orientation des espaces images réelles et virtuelles dépend du système optique considéré :
- si le système optique est « dioptrique », les « espaces images » réelles et virtuelles sont « orientés à droite » [50] avec choix d'une « base directe » [51] c.-à-d. déterminé par la « règle de la main droite » [52] image de la base directe des espaces objets réels et virtuels par le système dioptrique ,
- si le système optique est « catadioptrique » [53], les « espaces images » réelles et virtuelles sont « orientés à gauche » [50] avec choix d'une « base indirecte au sens de la physique » [54] c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche » [55] la base indirecte au sens de la physique [54] des espaces images réelles et virtuelles est l'image de la base directe [51] des espaces objets réels et virtuels par le système catadioptrique [53] .
Remarque : Si le système optique est catadioptrique avec plusieurs miroirs ou surfaces réfléchissantes [44] , l'orientation des espaces images réelles et virtuelles dépend du nombre de miroirs ou de surfaces réfléchissantes [44] ;
- après un nombre pair de réflexions, les « espaces images » réelles et virtuelles sont « orientés à droite » [50] avec choix d'une « base directe » [51] c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » [52] la base directe [51] des espaces images réelles et virtuelles est l'image de la base directe [51] des espaces objets réels et virtuels par le système catadioptrique à nombre pair de réflexions ,
- après un nombre impair de réflexions, les « espaces images » réelles et virtuelles sont « orientés à gauche » [50] avec choix d'une « base indirecte au sens de la physique » [54] c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche » [55] la base indirecte au sens de la physique [54] des espaces images réelles et virtuelles est l'image de la base directe [51] des espaces objets réels et virtuels par le système catadioptrique à nombre impair de réflexions .
Algébrisation associée des plans transverses
modifierL'axe optique principal du système optique étant algébrisé physiquement, le(s) vecteur(s) unitaire(s) associé(s) à cette algébrisation défini(ssen)t le 1er vecteur de base orientant l'espace objet ou image , les 2ème et 3ème vecteurs de base orthonormée orientant cet espace objet ou image définissant l'algébrisation des plans transverses de l'espace considéré, plus précisément :
- si le système optique est « dioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal n'ayant qu'une seule orientation, le vecteur unitaire associé est noté , les espaces objet et image étant tous deux « orientés à droite » [50] avec choix d'une « base orthonormée directe » [51] c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » [52] , nous la choisissons commune et la notons , ceci entraînant une algébrisation identique des plans transverses des espaces objet ou image [56] par ;
- si le système optique est « catadioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal a une orientation différente suivant qu'il s'agit d'un point objet ou d'un point image,
le vecteur unitaire associé de la partie incidente de l'axe optique principal étant noté , les espaces objets réel ou virtuel sont « orientés à droite » [50] avec choix d'une « base orthonormée directe » [51] notée , ceci entraînant l'algébrisation des plans transverses des espaces objets réel ou virtuel par et
le vecteur unitaire associé de la partie émergente de l'axe optique principal étant noté , les espaces images réelles ou virtuelles sont « orientés à gauche » [50] avec choix d'une « base orthonormée indirecte au sens de la physique » [54] c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche » [55] , notée [57], ceci entraînant la même algébrisation des plans transverses des espaces images réelles ou virtuelles par que celle des plans transverses des espaces objets réels ou virtuels [56] voir schéma ci-contre dans l'exemple d'un miroir plan où est noté , noté et notés .
Remarque : On rappelle que pour un système catadioptrique avec plusieurs miroirs ou surfaces réfléchissantes [44] , l'orientation des espaces images réelles ou virtuelles dépend du nombre de miroirs ou de surfaces réfléchissantes [44] ;
Remarque : après un nombre pair de réflexions, les « espaces images » réelles ou virtuelles sont « orientés à droite » [50] avec choix d'une « base orthonormée directe » [51],
Remarque : après un nombre impair de réflexions, les « espaces images » réelles ou virtuelles sont « orientés à gauche » [50] avec choix d'une « base orthonormée indirecte au sens de la physique » [54] ;
Remarque : toutefois, dans les deux cas, les plans transverses des espaces objets ou images sont algébrisés selon la règle citée en introduction de ce paragraphe respectant l'orientation de l'espace auquel appartient le plan transverse considéré [58].
Orientation des plans d'incidence et d'émergence
modifierRappel de l'orientation des angles d'un plan d'un espace à trois dimensions
modifierL'espace étant « orienté à droite » [50] avec choix d'une base orthonormée « directe » [51] c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » [52] ou
L'espace étant « orienté à gauche » [50] avec choix d'une base orthonormée « indirecte au sens de la physique » [54] c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche » [55] ,
les angles d'un plan quelconque de cet espace sont orientés par un vecteur unitaire normal et
et étant deux vecteurs non colinéaires quelconques du plan dont les angles sont orientés par , le signe de l'angle algébrisé se détermine par la règle suivante :
- si « le trièdre est direct » c.-à-d. suivant la « règle de la main droite » [52] dans un espace « orienté à droite » [50] ,
si « le trièdre est indirect » c.-à-d. suivant la « règle de la main gauche » [55] dans un espace « orienté à droite » [50] , - si « le trièdre est indirect au sens de la physique » c.-à-d. suivant la « règle de la main gauche » [55] dans un espace « orienté à gauche » [50] ,
si « le trièdre est direct au sens de la physique » c.-à-d. suivant la « règle de la main droite » [52] dans un espace « orienté à gauche » [50] .
Orientation des plans d'incidence et d'émergence
modifierSi le système optique est « unidirectionnel », les plans d'incidence et d'émergence sont confondus et il est souhaitable comme cela a été fait pour la réfraction et la réflexion de définir un « même sens d'orientation des angles » ;
- si le système est « dioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal n'a qu'« une seule orientation de vecteur unitaire noté », les espaces objet et image sont tous deux « orientés à droite » [50] avec choix d'une base « directe commune » [51] c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » [52] « » et
si le système est « dioptrique unidirectionnel », si le plan d'incidence est le plan , le plan d'émergence est aussi , tous les deux étant à , le choix d'orienter les angles de ce plan par « le sens des angles de ce plan est de vers » car « est direct » [59] ; - si le système est « catadioptrique unidirectionnel », la partie incidente de l'axe optique principal est orientée par le vecteur de base 1er vecteur de la base des espaces objets « orientés à droite » [50], base choisie « directe » [51] c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » [52] alors que
si le système est « catadioptrique unidirectionnel », sa partie émergente par le vecteur de base 1er vecteur de la base des espaces images « orientés à gauche » [50], base choisie « indirecte au sens de la physique » [54] c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche » [55] et
si le système est « catadioptrique unidirectionnel », si le plan d'incidence est le plan , le plan d'émergence est le plan , tous deux étant à , le choix d'orienter les angles de ce plan commun par aurait pour conséquences :
si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « le sens des angles du plan d'incidence est de vers » car « est direct » [59] suivant la « règle de la main droite » [52] dans un espace « orienté à droite » [50] mais
si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « le sens des angles du plan d'émergence étant, avec le choix d'orientation par , de vers » car « est indirect au sens de la physique » [59] suivant la « règle de la main gauche » [55] dans un espace « orienté à gauche » [50], ce sens des angles du plan d'émergence serait le sens des angles du plan d'incidence, ce qui n'est pas ce que nous souhaitions, aussi
si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « les angles du plan d'incidence étant orientés par » c.-à-d. « de vers »,
si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « les angles du plan d'émergence doivent être orientés par » c.-à-d. « de vers » même orientation que « de vers » [60] ceci étant en accord avec « indirect au sens de la physique » [61] suivant la « règle de la main gauche » [55] dans un espace « orienté à gauche » [50].
Relation de conjugaison de position de Descartes d'un miroir plan
modifierRepérage « physique » de Descartes
modifier On choisit comme « origine des parties incidente et réfléchie de l'axe optique principal » « le sommet du miroir plan associé à cet axe optique principal » et,
pour rappeler que les sens des parties incidente et réfléchie de l'axe optique principal sont différents dans l'algébrisation de l'axe optique principal,
on notera l'abscisse « physique » de Descartes [19] du point objet par « » [62] ainsi que
on notera l'abscisse « physique » de Descartes [19] du point image par « » [62].
Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan
modifierOn utilise le fait que « les points conjugués par un miroir plan sont symétriques par rapport à ce dernier » ce qui entraîne qu'ils ont des abscisses « physiques » de Descartes [19] de même valeur absolue c.-à-d. « » ;
- si « le point objet est réel », est situé avant le sommet « » et « le point image , symétrique de par rapport au miroir plan, est virtuel », étant alors situé avant le sommet sur le rayon réfléchi « » d'où l'égalité des abscisses « physiques » de Descartes [19],
- si « le point objet est virtuel », est situé après le sommet « » et « le point image , symétrique de par rapport au miroir plan, est réel », étant alors situé après le sommet sur le rayon réfléchi « » d'où l'égalité des abscisses « physiques » de Descartes [19] ;
finalement la relation de conjugaison de position ou 1ère relation de conjugaison de Descartes [19] d'un miroir plan est
Grandissement transverse d'un objet linéique transverse, relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes d'un miroir plan
modifierDéfinition du grandissement transverse d'un objet linéique transverse dans le cas d'un système optique « unidirectionnel » aplanétique
modifieril n'est pas spécifique à un miroir plan.
Pour un système optique « unidirectionnel », les plans transverses de l'espace image sont à ceux de l'espace objet et, dans le cas d'aplanétisme rigoureux « l'image d'un objet linéique transverse [64] étant à ce dernier » [65] on définit le grandissement transverse de cet objet linéique transverse par
« » et « » étant les longueurs algébrisées respectivement de l'objet et de l'image
selon le vecteur de base commun ou [66] des plans transverses ;
suivant le signe du grandissement transverse, on déduit le sens de l'image relativement à l'objet :
- «si est », « l'image est dans le même sens que l'objet », on parle alors d'image « droite »,
- «si est », « l'image est dans le sens contraire de l'objet », on parle alors d'image « inverse » [67].
Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan
modifier« L'image étant symétrique de l'objet par rapport au miroir plan » avec « objet et image » tous deux au miroir, « l'image est dans le même sens que l'objet et de même dimension » ;
de cette dernière affirmation « l'image de même dimension que l'objet » on tire que « le grandissement transverse est de valeur absolue égale à » et
de la première affirmation « l'image de même sens que l'objet » on tire que « le grandissement transverse est positif » les plans transverses objets et images étant orientés par les mêmes vecteurs de base d'où :
l'expression de la relation de conjugaison de grandissement transverse ou 2ème relation de conjugaison de Descartes [19] d'un miroir plan
Grandissement angulaire d'un pinceau lumineux, relation de Lagrange-Helmholtz
modifierils ne sont pas spécifiques à un miroir plan.
Repérage d'un pinceau incident ou émergent
modifierUn pinceau étant la matérialisation pratique d'un rayon, on le repère par l'angle orienté que fait sa direction de propagation avec celle de même nature sur l'axe optique principal [70], ainsi :
- dans un système dioptrique « unidirectionnel », un pinceau incident de direction de propagation est repéré par l'angle « » du plan d'incidence « orienté de vers » [71], « étant le vecteur unitaire orientant l'axe optique principal », « et algébrisant les plans transverses » et « la base directe » commune choisie dans les espaces objets et images tous deux « orientés à droite » [50], [51] la base étant déterminée par la « règle de la main droite » [52] ;
dans un système dioptrique « unidirectionnel » un pinceau émergent de direction de propagation est repéré par l'angle « » du plan d'émergence « orienté de vers » [71] ; - dans un système catadioptrique « unidirectionnel » voir un exemple ci-dessous à droite, le miroir plan ; repérage d'un pinceau incident et du pinceau émergent correspondant ,
dans un système catadioptrique « unidirectionnel » un pinceau incident de direction de propagation est repéré par l'angle « » du plan d'incidence orienté de « vers » [72], « étant le vecteur unitaire orientant la partie incidente de l'axe optique principal », « et algébrisant les plans transverses » et « la base directe » choisie dans les espaces objets « orientés à droite » [50], [51] la base étant déterminée par la « règle de la main droite » [52] ;
dans un système catadioptrique « unidirectionnel » un pinceau émergent de direction de propagation est repéré par l'angle « » du plan d'émergence orienté de « vers » [73], « étant le vecteur unitaire orientant la partie émergente de l'axe optique principal », « et algébrisant les plans transverses » et « la base indirecte au sens de la physique choisie dans les espaces images orientés à gauche » [50], [54] la base étant déterminée par la « règle de la main gauche » [55] .
Définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet
modifierAyant défini, dans un « système dioptrique ou catadioptrique unidirectionnel » voir le schéma ci-contre pour un système catadioptrique unidirectionnel ,
- l'angle d'inclinaison de la direction du pinceau incident issu du point objet ainsi que
- l'angle d'inclinaison de la direction du pinceau émergent du point image ,
tous deux comptés positivement selon le « même sens », on appelle
le rapport algébrique « » nombre sans dimension .
Valeur du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet par un miroir plan
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« Le point image du point objet par un miroir plan étant le symétrique de par rapport au miroir plan », on vérifie aisément
que les « angles et ont même valeur absolue » en effet les triangles et , étant le point d'incidence du pinceau incident et réfléchi sur le miroir, sont égaux et
qu'ils sont de signe contraire en effet étant égal à l'angle de réflexion du rayon médian du pinceau émergent et à l'angle d'incidence du rayon médian du pinceau incident, ces deux angles obéissant à la 2ème loi de Snell-Descartes [18], [19] de la réflexion [21] ,
on en déduit le grandissement angulaire cherché soit
Lien entre le grandissement transverse d'un objet linéique transverse et le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu du point objet pied de l'objet linéique transverse par un miroir plan, relation de Lagrange-Helmholtz
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Ayant établi que le grandissement transverse par un miroir plan d'un objet linéique transverse de pied est « » et
Ayant établi que le grandissement angulaire par le même miroir plan d'un pinceau lumineux issu de est « »,
on en déduit une « relation liant les grandissements transverse et angulaire relatifs à un même point objet » ne dépendant pas de ce dernier,
on en déduit une « relation appelée « relation de Lagrange – Helmholtz » [75], [76], cette relation s'écrivant pour un miroir plan et pour tout système catadioptrique unidirectionnel
Sensibilisation de l'utilisation de la relation de Lagrange-Helmholtz à un système catadioptrique, exemple d'un miroir sphérique concave
modifierd'« utiliser les lois de Snell–Descartes de la réflexion » [20], [21] appliquées à un « miroir sphérique concave » pour
souligner l'intérêt de la « relation de Lagrange-Helmholtz » [75], [76].
Comme nous l'avons évoqué en note « 77 » plus haut dans ce chapitre, la « relation de Lagrange-Helmholtz » [75], [76] n'a aucun intérêt pour un miroir plan, par contre
Comme nous l'avons évoqué en note « 77 » plus haut dans ce chapitre, la « relation de Lagrange-Helmholtz » elle en acquiert un pour un « miroir sphérique ».
Quelques données relatives au miroir sphérique : le centre de courbure est sa propre image par le miroir sphérique quelle que soit l'ouverture du faisceau issu de , il y a donc
Quelques données relatives au miroir sphérique : d'une part « stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son centre de courbure » [79] et
Quelques données relatives au miroir sphérique : d'autre part « le centre de courbure du miroir sphérique est un point double » [80] ;
Quelques données relatives au miroir sphérique : pour tous les autres point objets à l'exception du sommet , il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique mais,
Quelques données relatives au miroir sphérique : si on limite les angles intervenant dans la réflexion c.-à-d. si on se place dans les « conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » [81] du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » il y a stigmatisme approché du miroir sphérique ;
Quelques données relatives au miroir sphérique : pour tous les objets linéiques transverses de pied autre que ou vu du miroir sous un angle non petit [82], il n'y a pas aplanétisme rigoureux du miroir sphérique, mais
Quelques données relatives au miroir sphérique : si l'objet linéique transverse est « vu du miroir » sous un petit angle c.-à-d. si on se place dans les « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'un système optique centré » [81] du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » il y a aplanétisme approché du miroir sphérique ;
Quelques données relatives au miroir sphérique : on peut donc, dans les « conditions de Gauss » [81] du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », évaluer les grandissements
Quelques données relatives au miroir sphérique : angulaire d'un pinceau passant par le point objet et
Quelques données relatives au miroir sphérique : transverse d'un objet linéique transverse de pied ,
Quelques données relatives au miroir sphérique : ce qui permet de vérifier la « relation de Lagrange-Helmholtz » [75], [76] par construction effectuée sur un schéma :
Construction utilisant un miroir sphérique concave : voir schéma d'analyse ci-contre les angles représentés sont supposés petits de façon à ce que les « conditions de Gauss de stigmatisme approché [81] et celles supplémentaires d'aplanétisme approché » introduites au chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » soient réalisées ;
On construit le rayon réfléchi sur le miroir sphérique du rayon incident issu du point objet réel de l'axe optique principal, rayon incident incliné de relativement à la partie incidente de l'axe optique principal
On construit par utilisation de la 1ère et 2ème loi de Snell–Descartes [18], [19] de la réflexion [20], [21],
On construit l'intersection de l'axe optique principal et du rayon réfléchi incliné de relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal définit le point image réel ;
on construit le point image du point objet réel , extrémité située hors axe optique principal de l'objet linéique transverse ,
on construit en utilisant le rayon incident issu de et passant par le centre de courbure , rayon qui se réfléchit sur lui-même, et,
on construit compte-tenu de l'aplanétisme approché, le point image ayant pour pied sur l'axe optique principal le point image est le point réel du rayon réfléchi se projetant orthogonalement sur l'axe optique principal en ;
on observe que l'image est inversée par rapport à l'objet et que la taille de la 1ère est inférieure à celle du 2ème d'où
on observe que « le grandissement transverse » d'une part
on observe que les angles et de même signe sont tels est supérieur à d'où
on observe que « le grandissement angulaire » d'autre part,
l'observation graphique de ces résultats est donc conforme à la « relation de Lagrange-Helmholtz » [75], [76] laquelle, bien sûr, nécessiterait d'être démontrée
Notes et références
modifier- ↑ Dans un système « dioptrique » à direction de propagation « unidirectionnelle », la lumière émergente est dans le « même sens » que la lumière incidente.
- ↑ Dans un système « catadioptrique » à direction de propagation « unidirectionnelle », la lumière émergente est dans le « sens contraire » de la lumière incidente ;
on prolonge la définition des systèmes « catadioptriques » en permettant qu'ils contiennent plus d'un miroir ;
dans le cas où la propagation est « unidirectionnelle » par abus on parle encore de système « catadioptrique unidirectionnel » ,- si le nombre de miroirs est pair, le système catadioptrique est équivalent à un système dioptrique car le sens émergent est identique au sens incident et
- si le nombre de miroirs est impair, le système catadioptrique est équivalent à un miroir, le sens émergent étant opposé au sens incident.
- ↑ Dans ce cas l'objet peut « absorber puis réémettre » ou « réfléchir » la lumière reçue, pour éviter les complications on dira que l'objet « émet la lumière qu'il a reçu ».
- ↑ On parle alors de « point objet ».
- ↑ Voir la partie gauche du schéma ci-dessous.
- ↑ Voir le paragraphe « espaces images, nature réelle ou virtuelle » plus bas dans ce chapitre.
- ↑ Ce n'est pas la définition la plus générale qui est énoncée ci-après mais celle qui est donnée est applicable à tous les systèmes à l'exception d'une fibre optique courbée.
- ↑ Ce rayon ainsi que son prolongement « virtuel » au-delà de la face d'entrée définit la partie incidente de l'axe optique principal.
- ↑ Le rayon émergent ainsi que son prolongement « virtuel » en-deçà de la face de sortie définit la partie émergente de l'axe optique principal.
- ↑ 10,0 et 10,1 On a supposé que le faisceau incident issu du point objet donnait un faisceau convergent en un point , ceci n'est vrai que pour le miroir plan, pour les autres la convergence n'est pas ponctuelle pour une ouverture non petite
- ↑ Pour une fibre optique courbée la définition d'un axe optique principal associé à un point objet doit être celle qui est donnée en remarque ci-dessous.
- ↑ Cette définition englobe la définition précédente et n'est vraiment utile que pour une fibre optique courbée pour laquelle la définition précédente ne s'applique pas.
- ↑ Principal ou secondaire associé à un point objet .
- ↑ On parle alors de « point image ».
- ↑ Et par conséquent apparaissant « floue ».
- ↑ Le stigmatisme rigoureux d'un système optique pour tous les points objets est très rare ; comme nous le verrons, le miroir plan en est un exemple mais c'est en fait le seul.
- ↑ Voir la partie droite du schéma du paragraphe « notion de point objet, espaces objets, nature réelle ou virtuelle » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 18,0 18,1 18,2 et 18,3 Willebrord Snell Van Royen ou Snellius (1580 - 1626) humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes sans que ce soit assuré
- ↑ 19,00 19,01 19,02 19,03 19,04 19,05 19,06 19,07 19,08 19,09 et 19,10 René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.
- ↑ 20,0 20,1 et 20,2 Voir le paragraphe « 1ère loi de Snell-Descartes de la réflexion » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ 21,0 21,1 21,2 et 21,3 Voir le paragraphe « 2ème loi de Snell-Descartes de la réflexion » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
- ↑ Ce Qu'il Fallait Démontrer.
- ↑ 23,0 et 23,1 Sur cette figure a été indiquée l'algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel) définie au paragraphe précité plus loin dans ce chapitre.
- ↑ Pour créer un point objet virtuel relativement au miroir plan, on crée un point image réelle par un 1er système optique d'une source ponctuelle on crée donc un point de convergence réelle par ce 1er système optique d'un faisceau provenant d'une source ponctuelle , mais on empêche la convergence réelle en en interposant le miroir plan avant , le faisceau rencontrant maintenant la face d'entrée du miroir avant son point de convergence , ce dernier devient virtuel.
- ↑ On peut dire aussi qu'un point double est un point objet qui est sa propre image par le système optique.
- ↑ Le miroir plan étant la « face d'entrée » du système optique, si on définit l'espace objet réel comme l'espace strictement situé en-deçà du miroir plan dans le sens incident et l'espace objet virtuel comme l'espace strictement situé au-delà du miroir plan dans le sens incident, les deux espaces objets n'ayant pas d'intersection, un objet est donc soit réel, soit virtuel ;
de même le miroir plan étant la « face de sortie » du système optique, si on définit l'espace image réelle comme l'espace strictement situé en-deçà du miroir plan dans le sens réfléchi et l'espace image virtuelle comme l'espace strictement situé au-delà du miroir plan dans le sens réfléchi, les deux espaces images n'ayant pas d'intersection, une image est donc soit réelle, soit virtuelle ;
avec cette définition, le point objet situé au sommet du miroir n'a ni caractère réel, ni caractère virtuel et il en est de même du point image positionné au sommet du miroir, ce qui, mettant le sommet à part relativement aux autres objets ou aux autres images, n'est pas satisfaisant ;
en fait il est impossible de mettre une source ponctuelle exactement sur le miroir, le plus simple pour essayer de réaliser l'expérience avec un point objet sur le miroir plan est de créer, par un autre système optique, une image ponctuelle qui servira d'objet pour le miroir et de positionner ce dernier sur mais dans la pratique le miroir sera très légèrement au-delà de dans le sens incident rendant réel ou très légèrement en-deçà de dans le sens incident rendant virtuel, aussi est-il possible de considérer qu'en théorie sur le miroir est réel à et virtuel à ainsi que son image par le miroir confondue avec est à la fois virtuelle à et réelle à si en pratique le miroir est très légèrement au-delà de dans le sens incident rendant réel, l'image de ce dernier par le miroir sera très légèrement en-deçà du miroir dans le sens réfléchi rendant l'image virtuelle et si en pratique le miroir est au contraire très légèrement en-deçà de dans le sens incident rendant virtuel, l'image de ce dernier par le miroir sera très légèrement au-delà du miroir dans le sens réfléchi rendant l'image réelle d'où l'intérêt de donner une autre définition des espaces objets réel et virtuel ainsi que des espaces images réelle et virtuelle d'un miroir plan permettant de ne plus particulariser le sommet du miroir sur un axe optique principal quelconque ;
pour cela il suffit de considérer que la « face d'entrée » appartient à la fois aux espaces objet réel et objet virtuel et que la « face de sortie » appartient à la fois aux espaces image réelle et image virtuelle, dans ces conditions le point double « sommet du miroir plan pour l'axe optique principal considéré » situé sur le miroir dans l'intersection des espaces objet réel et image virtuelle ou des espaces objet virtuel et image réelle est bien tel que l'objet et l'image par le miroir plan sont confondues en étant de nature différente. - ↑ Sur la figure considérée, les rayons réfléchis de point d'incidence respectif et ont été décalé relativement aux rayons incidents pour une question de lisibilité du schéma.
- ↑ Pour que le point à l'infini sur l'axe optique principal soit un point double, il faut admettre qu'il est à la fois réel et virtuel les points conjugués par un miroir plan étant de nature différente c.-à-d. considérer
que l'espace objet réel c.-à-d. l'espace objet situé en-deçà de la face d'entrée du miroir dans le sens incident et à l'espace image virtuelle c.-à-d. l'espace image situé en-deçà de la face de sortie du miroir dans le sens émergent se rejoignent à l'infini ou que l'espace objet virtuel c.-à-d. l'espace objet situé au-delà de la face d'entrée du miroir dans le sens incident et à l'espace image réelle c.-à-d. l'espace image situé au-delà de la face de sortie du miroir dans le sens émergent se rejoignent aussi à l'infini ou encore,
qu'une droite en tant que « limite d'un cercle dont le centre est situé perpendiculairement à la droite à une distance tendant vers l'infini, le rayon du cercle tendant également vers l'infini » est une courbe qui se ferme à l'infini le cercle dont la droite est la limite étant une courbe fermée . - ↑ Un « objet étendu à deux dimensions » étant une « juxtaposition continue d'objets étendus à une dimension indépendants » et un « objet étendu à trois dimensions », une « juxtaposition continue d'objets étendus à deux dimensions indépendants ».
- ↑ L'image « » étant composée d'images ponctuelles est donc « nette ».
- ↑ Sur cette figure sont indiquées l'algébrisation physique de l'axe optique principal ainsi que l'orientation des espaces objet et image qui seront définies aux paragraphes « algébrisation physique de l'axe optique principale (associé à un objet ponctuel) » et « orientation des espaces objets et images » plus loin dans ce chapitre.
- ↑ On rappelle qu'en englobant dans l'espace objet réel et l'espace objet virtuel, la face d'entrée du miroir, de même
On rappelle qu'en englobant dans l'espace image réelle et l'espace image virtuelle, la face de sortie du miroir,
le point double « sommet du miroir sur l'axe optique principal considéré » peut être considéré comme un objet réel, son image confondue avec lui étant alors virtuelle ou
le point double « sommet du miroir sur l'axe optique principal considéré » peut être considéré comme un objet virtuel, son image confondue avec lui étant alors réelle ; de même
le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal associé » le point à l'infini d'une droite étant considéré comme le point de fermeture de la droite, limite d'un cercle dont le centre est situé perpendiculairement à la droite à une distance tendant vers l'infini, le rayon du cercle tendant également vers l'infini
le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal associé » peut être considéré comme un objet réel, son image confondue avec lui étant alors virtuelle ou
le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal associé » peut être considéré comme un objet virtuel, son image confondue avec lui étant alors réelle. - ↑ 33,0 et 33,1 Le qualificatif « unidirectionnel » appliqué à un système dioptrique ou catadioptrique signifiant que ce système dioptrique ou catadioptrique est à « axe optique principal unidirectionnel » ;
avec la définition pratique de l'axe optique principal applicable à pratiquement tous les systèmes à l'exception des fibres optiques courbées , l'axe optique principal est constitué de rayons ayant tous même support. - ↑ L'application de cette propriété se prolonge aux systèmes catadioptriques unidirectionnels à nombre pair de miroirs.
- ↑ Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme celui du système optique formant un périscope le système est qualifié de catadioptrique car on observe des réflexions totales , l'axe optique principal est constitué
- de rayon incident à la face d'entrée, de rayon intermédiaire de même direction et de même sens que le rayon incident avant la 1ère réflexion totale,
- de rayons intermédiaires de direction au rayon incident après la 1ère réflexion,
- de rayon intermédiaire de même direction et de même sens que le rayon incident après la 2ème réflexion totale, de rayon émergent de même direction et de même sens que le rayon incident,
on dénombre donc « deux sens »,