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Signaux physiques (PCSI)/Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes

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Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes
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Chapitre no 11
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Optique géométrique : sources lumineuses, milieu transparent, approximation de l'optique géométrique
Chap. suiv. :Optique géométrique : miroir plan
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Notion de miroirs et de dioptres

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Miroir

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Définition d'un miroir

     « Surface » séparant un milieu « transparent » d’un milieu « opaque » sur lequel se produit une « réflexion » [1].

     Exemples : miroir « plan », miroir « sphérique concave », miroir « sphérique convexe », miroir « parabolique »  concave ou convexe   
     Exemples : Voir schémas ci-dessous à gauche  à l'exception des miroirs paraboliques  :

  •  
    Schémas de miroirs plan      et                     sphériques convexe et concave
  •  
              Schémas de dioptres plan                et                               Schémas de dioptres sphériques

Dioptre

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Définition d'un dioptre

     « Surface » séparant deux milieux « transparents » d’indice « différent » sur laquelle peut se produire une « réfraction » [2].

     Exemples : dioptre « plan », dioptre « sphérique »  
     Exemples : Voir schémas ci-dessus à droite :

Réflexion métallique

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Graphe du facteur de réflexion énergétique en fonction de l'angle d'incidence

     Considérons un rayon lumineux arrivant sur une surface métallique en  , point d'incidence, et faisant un angle d'incidence non orienté   avec la normale en   à la surface métallique ; la puissance lumineuse transportée par ce rayon subit, en grande partie, à l'arrivée sur la surface métallique, une « réflexion »  c.-à-d. que la puissance lumineuse est renvoyée dans le milieu d’où elle vient , qualifiée de « métallique » ;

     il existe néanmoins une faible partie qui se propage dans le métal en s’atténuant très fortement   on dit qu’il y a « absorption » pour cette partie, ceci entraînant un léger échauffement du métal   et on définit un « facteur de réflexion énergétique  » donnant le « pourcentage de puissance lumineuse réfléchie relativement à la puissance lumineuse reçue » :

  • en incidence normale  angle d'incidence non algébrisé  ,   pour « l’un des meilleurs conducteurs métalliques l' » [3] ;
  • le facteur de réflexion énergétique   dépend de l'angle d'incidence   et aussi de l'état de polarisation de la lumière [4]  voir graphe ci-contre  ;
  • le facteur de réflexion énergétique   dépend aussi de la longueur d’onde dans le vide   : pour « l’un des meilleurs conducteurs métalliques l' » la réflexion est « relativement sélective » [5], seulement   pour l’U.V. proche au lieu de   pour le jaune du visible.

     La réflexion métallique est dite « parfaite » [6] si le facteur de réflexion énergétique   quelle que soit la longueur d’onde dans le vide   et l’angle d’incidence non algébrisé  .

Réflexion et réfraction dioptriques

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Graphe du facteur de réflexion énergétique dioptrique pour onde polarisée perpendiculairement en fonction de l'angle d'incidence pour le dioptre air - verre

     Considérons toujours un rayon lumineux arrivant sur une surface dioptrique en  , point d'incidence, et faisant un angle d'incidence non orienté   avec la normale en   à la surface dioptrique ; la puissance lumineuse peut se propager partiellement dans le milieu situé au-delà du dioptre   ceci définissant une « réfraction »   en changeant de direction [7], le reste subissant une réflexion « partielle » [8] et qualifiée de « dioptrique » ;

 
Graphe du facteur de réflexion énergétique dioptrique pour onde polarisée parallèlement en fonction de l'angle d'incidence pour le dioptre air - verre

     on définit également un « facteur de réflexion énergétique  » donnant le « pourcentage de puissance lumineuse réfléchie relativement à la puissance lumineuse reçue » [9] :

  • En incidence normale, le facteur de réflexion énergétique est « très faible » [10] : seulement   pour le « dioptre air - verre »,   pour le « dioptre air - eau »,   pour le « dioptre eau - verre »  
  • Le facteur de réflexion énergétique   varie fortement avec l’angle d’incidence non algébrisé  , atteignant   en « incidence rasante »  c.-à-d. quand l'angle d'incidence non algébrisé   tend vers   : pour le « dioptre air - verre » le « facteur de réflexion énergétique moyen » [11] vaut  ,    ,      voir « figures » [12] ci-contre à gauche pour l'onde polarisée perpendiculairement et à droite pour l'onde polarisée parallèlement .

Les deux lois de Snell-Descartes de la réflexion

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     Les lois de Snell - Descartes [13] de la réflexion sont des postulats de l'optique géométrique, elles sont validées par vérification expérimentale [14].

Quelques définitions relatives à la réflexion métallique ou dioptrique

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     On donnera ces définitions relativement à un miroir  sur lequel il y a réflexion métallique , mais elles restent valables pour la réflexion sur un dioptre.

 
Schéma de définitions intervenant dans une réflexion métallique ou dioptrique

     Soit un rayon incident quelconque   avec   appelé « point d'incidence », on lui associe   la normale au miroir en   orientée dans le sens incident par   et dans le sens réfléchi par  [15] ;
     soit   le vecteur unitaire orientant le rayon incident [16], on définit   dans le cas où le rayon incident n'est pas normal  c.-à-d.   au miroir en   le plan   comme « plan d'incidence associé au rayon incident » [17], le plan d'incidence étant orienté de façon arbitraire [18] ;
     l'angle orienté   est appelé « angle d'incidence associé au rayon incident » [19], il peut prendre toute valeur de   en  [20]  les bornes de cet intervalle ne sont pas des valeurs permettant une réflexion mais, un angle d'incidence tendant vers la borne inférieure par valeur supérieure   ou vers la borne supérieure par valeur inférieure   conduit à une réflexion, le rayon incident étant dit « rasant » .

     Soit   le rayon « réfléchi » correspondant au rayon incident précédemment défini [21], on l’oriente par le vecteur unitaire    dans le sens de propagation du rayon réfléchi , et on définit   dans le cas où le rayon réfléchi n'est pas normal  c.-à-d.   au miroir en   le plan   comme « plan de réflexion associé au rayon réfléchi » [22], le plan de réflexion étant « orienté en liaison avec celle du plan d’incidence » [23] ;
     l'angle orienté   est appelé « angle de réflexion associé au rayon réféchi », il peut prendre toute valeur de   en  [20]  là encore les bornes de cet intervalle ne sont pas des valeurs correspondant à une réflexion mais, un angle de réflexion tendant vers la borne inférieure par valeur supérieure   ou vers la borne supérieure par valeur inférieure   correspond à une réflexion effective, le rayon réfléchi étant dit « rasant » .

Première loi de Snell-Descartes de la réflexion

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Début d’un théorème
Énoncés équivalents
« Le rayon réfléchi est contenu dans le plan d'incidence »
ou
« le plan de réflexion est confondu avec le plan d'incidence » [24].
Fin du théorème

Deuxième loi de Snell-Descartes de la réflexion

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Début d’un théorème
Énoncés équivalents
« L'angle de réflexion est opposé à l'angle d'incidence »
ou
          « » [25].
Fin du théorème

Les deux lois de Snell-Descartes de la réfraction

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     La « réfraction dioptrique » est la poursuite de la propagation au-delà du dioptre avec un éventuel changement de direction [26].

     Les lois de Snell - Descartes [13] de la réfraction [27] sont également des postulats de l'optique géométrique, elles sont validées par vérification expérimentale [14].

Quelques définitions relatives à la réfraction dioptrique

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Schéma de définitions intervenant dans une réfraction dioptrique

     Soit un rayon incident quelconque   avec   appelé « point d'incidence », on lui associe   la normale au dioptre en   orientée le vecteur unitaire  [28] ;
     soit   le vecteur unitaire orientant le rayon incident [16], on définit   dans le cas où le rayon incident n'est pas normal  c.-à-d.   au miroir en   le plan   comme « plan d'incidence associé au rayon incident » [17], le plan d'incidence étant orienté de façon arbitraire [18] ;
     l'angle orienté   est appelé « angle d'incidence associé au rayon incident » [19], il peut prendre toute valeur de   en  [20]  les bornes de cet intervalle ne sont pas des valeurs permettant une réfraction mais, un angle d'incidence tendant vers la borne inférieure par valeur supérieure   ou vers la borne supérieure par valeur inférieure   peut conduire à une réfraction [29], le rayon incident étant dit « rasant » .

     Soit   le rayon « réfracté » correspondant au rayon incident précédemment défini [30], on l’oriente par le vecteur unitaire    dans le sens de propagation du rayon réfracté , et on définit   dans le cas où le rayon réfracté n'est pas normal  c.-à-d.   au dioptre en   le plan   comme « plan de réfraction associé au rayon réfracté » [31], le plan de réfraction étant « orienté en liaison avec l'orientation du plan d’incidence » [32] ;
     l'angle orienté   est appelé « angle de réfraction associé au rayon réfracté », il peut prendre une valeur de   en  [20]  les bornes de cet intervalle ne sont pas des valeurs correspondant à une réfraction mais, un angle de réfraction tendant vers la borne inférieure par valeur supérieure   ou vers la borne supérieure par valeur inférieure   peut   sous réserve de positionnement de l'indice du milieu émergent   relativement à celui du milieu incident  [33]   correspondre à une réfraction effective, le rayon réfracté étant dit « rasant » .

Première loi de Snell-Descartes de la réfraction

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Début d’un théorème
Énoncés équivalents
« Le rayon réfracté est contenu dans le plan d'incidence »
ou
« le plan de réfraction est confondu avec le plan d'incidence » [24].
Fin du théorème

Deuxième loi de Snell-Descartes de la réfraction

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Début d’un théorème
Énoncé
« Les angles d'incidence et de réfraction sont liés par la " relation des sinus " :
 ».
Fin du théorème

     Commentaires :   permet de comparer   à   suivant le rapport   :

  • tout d'abord       montrant qu'« un rayon incident normal traverse le dioptre sans déviation »,
  • ensuite,   et   sont de même signe, montrant qu'« un incident et son réfracté au point d'incidence   sont toujours situés de part et d'autre de la normale en   à la surface dioptrique »,
  • enfin, « si    exemple dioptre air - verre »    , nous en déduisons « » [34] soit, sachant que    , « »   « » [35] c.-à-d. « un rayon passant d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent se réfracte en se rapprochant de la normale »  voir ci-dessous à gauche ,
  •  
    Disposition du rayon réfracté relativement au rayon incident dans une réfraction air - verre
  •  
    Disposition du rayon réfracté relativement au rayon incident dans une réfraction verre - air
  • alors que « si    exemple dioptre verre - air »    , nous en déduisons « » [36] soit, dans la mesure où il y a réfraction et sachant que    , « »    [37] c.-à-d. « un rayon passant d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent se réfracte en s'éloignant de la normale » [38]  voir ci-dessus à droite .

Cône limite de réfraction dans le cas du passage d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent

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La lumière passe d'un milieu d'indice   à un milieu d'indice  .

     Le rayon réfracté étant plus proche de la normale que le rayon incident, la variation de   de   à   entraîne une « variation moindre de   de   à  » où «  est l’angle limite de réfraction » défini par

«  soit  » ;
 
Coupe longitudinale du cône limite de réfraction issu de I pour un dioptre air - eau

     à un rayon incident quelconque arrivant en un point d’incidence   fixé, correspondra un rayon réfracté issu de   et se trouvant à l’intérieur d’un cône de révolution [39], de sommet  , d’axe   normal au dioptre en   et de demi-angle au sommet   ; ce cône est appelé « cône limite de réfraction en », voir figure ci-contre  plaçant un diaphragme sur le dioptre, ne permettant de faire passer la lumière qu’à travers  , et supposant que la seule source de lumière se trouve du côté de l’air, seul le cône de réfraction en   sera éclairé, le reste étant dans l’obscurité et par suite, un poisson situé hors de ce cône ne pourra pas être vu par le pêcheur situé dans le milieu « air » car aucun rayon incident arrivant en   ne pourra atteindre le poisson .

     Passage air - eau : « »,

     passage air - verre : « » [40] et

     passage eau - verre : « » [40].

Cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction dans le cas d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent

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La lumière passe d'un milieu d'indice   à un milieu d'indice  .

     Le rayon réfracté étant plus éloigné de la normale que le rayon incident, la variation de   de   à   correspond à une « variation moindre de   de   à  » où «  est l’angle limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction » défini par

 
Coupe longitudinale du cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction en I pour un dioptre verre - air et représentation de rayons incidents subissant la réfraction
 
Coupe longitudinale du cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction en I pour un dioptre verre - air et représentation de rayons incidents hors cône subissant une réflexion totale
«  soit  » ;

     à un rayon réfracté quelconque issu d'un point d’incidence  , correspond un rayon incident passant par   et se trouvant à l’intérieur d’un cône de révolution [39], de sommet  , d’axe   normal au dioptre en   et de demi-angle au sommet   ; ce cône est appelé « cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction en » [41], voir figure ci-contre à gauche  plaçant un diaphragme sur le dioptre, ne permettant de faire passer la lumière qu’à travers  , et supposant que la seule source de lumière se trouve du côté du verre [42], on peut restreindre le cône incident de lumière en   à son cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction sans qu'il y ait une quelconque modification sur la puissance lumineuse reçue du côté de l'air  ;

     sur la figure ci-contre à droite, représentation d'un rayon incident situé hors du cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction en  , ce rayon subissant une réflexion totale  il ne faut pas perdre de vue que « la réfraction n'est toujours que partielle, le reste subissant une réflexion » [43] par conséquent, si la réfraction n'est pas possible, « la réflexion devient totale »  ; « si  » [44]  ou, si un rayon incident passant par   est situé « hors du cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction en  » , il y a « réflexion totale »  voir figure ci-dessus à droite .

     Remarque : L'angle limite de réfraction   pour le dioptre « air - eau » étant défini par   et l'angle limite d'incidence   pour qu'il y ait réfraction sur le dioptre « eau - air » par  , nous constatons qu'il s'agit de la même relation de définition d'où « »  valable quel que soit le dioptre .

Angle limite d'un dioptre

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     Pour tout dioptre séparant deux milieux d'indices différents, l'un des deux est nécessairement le plus petit, nous définissons alors

l'« angle limite du dioptre » par «  tel que  », cet angle limite étant :
  • l'angle limite de réfraction si la lumière passe du milieu le moins réfringent au milieu le plus réfringent,
  • l'angle limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction si la lumière passe du milieu le plus réfringent au milieu le moins réfringent.

Retour sur la propagation dans un milieu inhomogène

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On rappelle qu'il ne s'agit que d'un complément mais qui, me semble-t-il, doit faire partie de la culture générale.

     Nous avons indiqué dans la note « 38 » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que « la propagation cesse d'être rectiligne dans un milieu inhomogène »  voir le paragraphe « milieu inhomogène » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »  en précisant la forme de la propagation dans une solution saturée saline d'une part et d'autre part celle dans l'air des régions « chaude ou froide » [45] créant l'apparition de mirages  rappel ci-dessous  ;

  •  
    Propagation incurvée d'un faisceau cylindrique laser dans une solution saline saturée
  •  
    Mirage chaud  ou inférieur  dû à un gradient de température d'air vertical descendant
  •  
    Mirage froid  ou supérieur  dû à un gradient de température d'air vertical ascendant

     nous expliquons ces phénomènes simplement en remplaçant le milieu inhomogène dans lequel l'indice varie continûment avec l'altitude par une juxtaposition verticale de couches planes de faible épaisseur de milieux homogènes d'indices différents d'une couche à l'autre ainsi :

  • dans une solution saline saturée non homogénéisée  telle que la concentration   quand   et, comme   est une fonction   de  ,   quand   nous pouvons considérer une succession verticale de couches de faible épaisseur de concentration constante donc d'indice constant, entraînant l'existence d'une succession de dioptres plans séparant deux milieux d'indices très voisins ; le milieu supérieur étant moins réfringent que le milieu inférieur, nous observons qu'un « rayon incident du milieu supérieur se réfracte vers le milieu inférieur en se rapprochant de la normale » d'où une courbure de la direction de propagation vers le bas  voir figure ci-dessous à gauche  ;
  •  
    Explication de la propagation incurvée d'un faisceau cylindrique laser dans une solution saline saturée par réfraction à travers des couches horizontales de faible épaisseur
  •  
    Explication d'un mirage chaud  ou inférieur  dû à un gradient de température d'air vertical descendant par réfraction à travers des couches horizontales de faible épaisseur
  •  
    Explication d'un mirage froid  ou supérieur  dû à un gradient de température d'air vertical ascendant par réfraction à travers des couches horizontales de faible épaisseur
  • dans une région chaude à forte variation de température par mètre d'altitude  telle que la température   quand   et, comme   est une fonction   de  ,   quand   nous pouvons considérer une succession verticale de couches de faible épaisseur de température constante donc d'indice constant, entraînant l'existence d'une succession de dioptres plans séparant deux milieux d'indices très voisins ; le milieu supérieur étant plus réfringent que le milieu inférieur, nous observons tout d'abord qu'un « rayon incident du milieu supérieur se réfracte vers le milieu inférieur en s'éloignant de la normale » jusqu'à ce que l'incidence devienne rasante, la composante verticale de la propagation se faisant alors dans l'autre sens et on observe qu'« un rayon incident du milieu inférieur se réfracte vers le milieu supérieur en se rapprochant de la normale » d'où une courbure de la direction de propagation vers le haut  voir figure ci-dessus au centre  ;
  • dans une région froide à forte variation de température par mètre d'altitude  telle que la température   quand   et, comme   est une fonction   de  ,   quand   nous pouvons considérer une succession verticale de couches de faible épaisseur de température constante donc d'indice constant, entraînant l'existence d'une succession de dioptres plans séparant deux milieux d'indices très voisins ; le milieu inférieur étant plus réfringent que le milieu supérieur, nous observons tout d'abord qu'un « rayon incident du milieu inférieur se réfracte vers le milieu supérieur en s'éloignant de la normale » jusqu'à ce que l'incidence devienne rasante, la composante verticale de la propagation se faisant alors dans l'autre sens et on observe qu'« un rayon incident du milieu supérieur se réfracte vers le milieu inférieur en se rapprochant de la normale » d'où une courbure de la direction de propagation vers le bas  voir figure ci-dessus à droite .

Interprétation des deuxièmes lois de Snell-Descartes à l'aide du modèle ondulatoire

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Introduction

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     Nous avons considéré les lois de « Snell - Descartes » [13] comme postulats de l'optique géométrique mais il est possible d'avoir une autre approche en restant d'abord dans le cadre de l'optique ondulatoire pour déterminer quelques propriétés puis en se plaçant dans l'approximation de l'optique géométrique  ce qui revient à considérer   comme un infiniment petit relativement aux autres dimensions  ;
     une « O.P.H. » [46] de longueur d'onde dans le vide   a une « phase instantanée égale à  » soit encore «   » en utilisant le « lien entre longueur d'onde   dans le milieu et celle   dans le vide  », soit enfin,
           une « O.P.H. » de longueur d'onde dans le vide   en définissant le « chemin optique »   comme « la distance que la lumière parcourrait dans le vide pendant la même durée que celle qu'elle parcourt dans le milieu d'indice » soit, pour une « distance géométrique   dans un milieu d'indice  », un chemin optique égal à « », la réécriture de la phase instantanée selon

« ».

Interprétation de la deuxième loi de Snell-Descartes de la réfraction par utilisation du modèle ondulatoire

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Schéma d'explication de la réfraction d'un pinceau par optique ondulatoire

     Un « pinceau parallèle monochromatique » [47] arrivant sur le dioptre avec un angle d'incidence   est associé, dans le modèle ondulatoire, à une « O.P.H. » [48] se propageant dans la direction faisant, avec la normale au dioptre, l'angle   et
     cette « O.P.H. » émerge de la surface dioptrique en « O.P.H. » [49] se propageant dans une direction faisant, avec la normale au dioptre, un angle  , cette « O.P.H. réfractée » étant associée à un « pinceau parallèle monochromatique » [50] d'angle de réfraction   ;

     admettant la 1ère loi de Snell - Descartes [13] de la réfraction, les directions des pinceaux incident et réfracté sont considérées dans un même plan normal passant par   « le plan d'incidence »  voir figure ci-contre ,
          admettant la 1ère loi de Snell - Descartes de la réfraction, nous nous proposons de démontrer la 2ème loi de Snell - Descartes [13] de la réfraction à savoir «   » ;

     les plans d'onde dont les traces sur le plan d'incidence sont respectivement   et  , étant des surfaces équiphases, nous en déduisons que le « chemin optique entre   et  » est le même que « celui entre   et  » soit « » ou « » ;
     deux angles à côtés respectivement   étant égaux nous en déduisons « » et «   » d'où «   » et « » soit, par report dans  , « » ou, par simplification par  ,

« » c.-à-d. la 2ème loi de Snell - Descartes [13] de la réfraction.

Interprétation de la deuxième loi de Snell-Descartes de la réflexion par utilisation du modèle ondulatoire

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Schéma d'explication de la réflexion d'un pinceau par optique ondulatoire

     Dans le cadre de l'optique ondulatoire et en admettant la 1ère loi de Snell - Descartes [13] de la réflexion nous pouvons procéder de même pour démontrer la 2ème loi de Snell - Descartes [13] de la réflexion ; pour cela nous considérons un « pinceau parallèle monochromatique » [47] arrivant sur la surface réfléchissante avec un angle d'incidence   et nous lui associons une « O.P.H. » [48] se propageant dans la direction faisant, avec le vecteur unitaire   normal à la surface réfléchissante orienté dans le sens incident, l'angle   ;

     cette « O.P.H. » se réfléchit alors en « O.P.H. » [49] se propageant dans une direction faisant, avec le vecteur unitaire normale   à la surface réfléchissante orienté dans le sens réfléchi, un angle  , et à cette « onde plane réfléchie » on associe un « pinceau parallèle monochromatique » [50] d'angle de réflexion   ;

     admettant la 1ère loi de Snell - Descartes [13] de la réflexion, les directions des pinceaux incident et réfléchi sont considérées dans un même plan normal passant par   « le plan d'incidence »  voir figure ci-contre  et nous nous proposons de démontrer la 2ème loi de Snell - Descartes [13] de la réflexion à savoir « » ;

     les plans d'onde dont les traces sur le plan d'incidence sont respectivement   et  , étant des surfaces équiphases, nous en déduisons que le « chemin optique entre   et  » est le même que « celui entre   et  » soit «   » ou « » [51] ;
     deux angles à côtés respectivement   étant égaux nous en déduisons « » et «   » d'où « » et « » soit, par report dans  , «   » dont on déduit « » et, compte-tenu du signe des angles visualisés sur la figure [52]

« » c.-à-d. la 2ème loi de Snell - Descartes [13] de la réflexion.

Conditions de réflexion totale dioptrique

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Généralités

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     Nous avons vu, d'une part, qu'il y avait toujours réfraction quel que soit l'angle d'incidence si la lumière passait d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent car le rayon réfracté est plus proche de la normale que le rayon incident d'où une 1ère C.N. [53] pour qu'il n'y ait pas réfraction :
      la lumière doit passer d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent  , exemple : dioptre « verre - air » ou « eau - air » ;

     nous avons vu, d'autre part, que dans ce cas, la condition de réfraction est que l'angle d'incidence soit strictement inférieur à l'angle limite du dioptre d'où une 2ème C.N. [53] pour qu'il y ait réflexion totale  associée à la 1ère C.N. [53], ces conditions s'avèrent suffisantes  :
      l'angle d'incidence doit être supérieur au sens large à l'angle limite du dioptre [54] ou « »   « ».

Applications

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     Les applications de la réflexion totale sont nombreuses, citons en deux exemples :

Prisme à réflexion totale

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Utilisation de la réflexion totale dans une équerre optique
 
Translation verticale à l'aide de deux équerres optiques dans un périscope ou un appareil photo réflex
Utilisé dans les périscopes ou les premiers appareils photographiques « réflex » [55].

     L'angle limite pour un dioptre « verre - air » avec un verre d'indice   et l'air d'indice   étant «   », si un rayon se propageant dans le verre arrive sur une des surfaces dioptriques « verre - air » avec un angle d'incidence supérieur à  , il sera totalement réfléchi comme sur les schémas ci-contre à gauche ou à droite :

      « équerre optique » sur le schéma de gauche  un rayon incident normal entre par la face d'entrée   sans être dévié, il rencontre le dioptre « verre - air »   sous l'angle d'incidence  [56] supérieur à l'angle limite   d'où réflexion totale sur la face   renvoyant le rayon perpendiculairement au rayon incident et enfin le rayon réfléchi arrivant normalement à la face de sortie   n'est pas dévié ,

      réalisation d'une « translation verticale » à l'aide de « deux équerres optiques » comme cela est nécessaire dans un périscope ou un appareil photographique « réflex » sur le schéma de droite.

Fibre optique guide de lumière

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Principe de propagation dans une fibre optique courbée par réflexion totale sur la surface séparant l'âme de la gaine

     Une fibre optique est constituée d'une âme cylindrique d'indice    exemple   entourée d'une gaine, enveloppe cylindrique, d'indice    pour le même exemple   ;

     une fibre est utilisée pour guider la lumière incidente pénétrant dans son âme par une extrémité et devant ressortir par l'autre extrémité sans avoir subi de réfraction sur la surface dioptrique « âme - gaine », il faut donc qu'un rayon qui atteindrait cette surface y arrive sous un angle d'incidence de valeur absolue supérieure à l'angle limite de ce dioptre « » [57]  voir figure ci-contre où la fibre est courbée [58].

Notes et références

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  1. ↑ C.-à-d. un renvoi de puissance lumineuse dans le milieu d'où elle vient.
  2. ↑ C.-à-d. une transmission de puissance lumineuse d'un milieu vers un autre mais nous verrons que cette transmission n'est pas toujours possible  
  3. ↑   pour l'   or ,   pour le    cuivre  et   pour l'acier  alliage métallique constitué de    fer  et d'une faible proportion de    carbone à proportion de   à   en masse .
  4. ↑ Sur la figure on distingue le facteur de réflexion énergétique suivant l'état de polarisation de l'onde incidente,   quand le champ électrique est perpendiculaire au plan d'incidence  c.-à-d. le plan normal en  , point d'incidence à la surface métallique et contenant le rayon incident  et   quand le champ électrique est dans le plan d'incidence.
  5. ↑ On peut rendre l’  moins sélectif du point de vue réflexion en déposant une couche mince de    sulfure de zinc   
  6. ↑ Seul cas étudié à ce niveau.
  7. ↑ Sauf dans le cas où  .
  8. ↑ Dans certains cas  pour certains milieux en présence et certains angles d’incidence non algébrisés , la réfraction peut ne pas se produire, il n’y a alors que réflexion et cette dernière est qualifiée de « totale ».
  9. ↑ Le complément à   définissant le facteur de réfraction  ou transmission  énergétique c.-à-d. le pourcentage de puissance lumineuse transmise relativement à la puissance lumineuse reçue.
  10. ↑ On établit  à considérer comme complément  que   et donc que le facteur énergétique de réflexion dioptrique sous incidence normale est d'autant plus petit que les indices sont proches  
  11. ↑ On utilise un facteur de réflexion énergétique moyen car le coefficient de réflexion énergétique dépend aussi de l’état de polarisation de l’onde.
  12. ↑ Sur ces figures on distingue le facteur de réflexion énergétique suivant l'état de polarisation de l'onde incidente,   quand le champ électrique est perpendiculaire au plan d'incidence et   quand le champ électrique est dans le plan d'incidence ;
       on remarque que   s'annule   et par conséquent le facteur de transmission énergétique   vaut 1   pour une valeur particulière d'angle d'incidence appelé « angle d'incidence de Brewster » ; si l'onde incidente n'est pas polarisée et si l'angle d'incidence a la valeur de Brewster, l'onde réfléchie est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence  puisque la composante   n'est pas réfléchie  ;
       David Brewster (1781 - 1868) physicien, inventeur et écrivain écossais, dans le domaine de la physique ses travaux portèrent sur la polarisation de la lumière par réflexion.
  13. ↑ 13,00 13,01 13,02 13,03 13,04 13,05 13,06 13,07 13,08 13,09 et 13,10 Willebrord Snell Van Royen ou Snellius (1580 - 1626) humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes  sans que ce soit assuré .
       René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.
  14. ↑ 14,0 et 14,1 Il y a une autre approche remplaçant les deux lois de Snell - Descartes de la réflexion considérées comme postulats par un principe de l'optique géométrique « le principe de Fermat »  « La lumière se propage d'un point à un autre sur des trajectoires telles que la durée du parcours soit localement minimale  si on considère deux points voisins de la trajectoire, toute modification de cette dernière entre ces deux points figés correspondra à une augmentation de la durée de parcours »  et les lois de Snell - Descartes de la réflexion en découlent par application du principe de Fermat ;
       Pierre de Fermat (1ère décennie du XVIIème siècle - 1665) magistrat, polymathe  qui a une connaissance approfondie d'un grand nombre de sujets différents dans le domaine des arts et des sciences  et mathématicien français, surnommé « le prince des amateurs », habile latiniste et helléniste, s'étant intéressé, entre autres, à l'optique  il a énoncé le principe « de Fermat » en   mais n'a soumis son mémoire « Synthèse pour les réfractions » qu'en   et à l'arithmétique  il est surtout connu par le petit théorème de Fermat énoncé en    mais sans démonstration « faute de place »  et par le dernier théorème de Fermat encore appelé grand théorème de Fermat énoncé en tant que conjecture et démontré en   par Andrew John Wiles (né en 1953) mathématicien britannique  depuis ce théorème est judicieusement appelé « théorème de Fermat-Whiles » .
  15. ↑   et   étant des vecteurs unitaires.
  16. ↑ 16,0 et 16,1 Donc de direction « le rayon incident » et de sens « le sens de propagation » appelé « sens incident ».
  17. ↑ 17,0 et 17,1 Dans le cas où le rayon incident est normal,   étant colinéaire à  , tout plan   au miroir en   peut jouer le rôle de plan d'incidence associé au rayon incident normal  non unicité de la notion de plan d'incidence dans ce cas .
  18. ↑ 18,0 et 18,1 Mais on choisit usuellement le sens « » de telle façon que l'angle d'incidence associé au rayon incident particulier considéré soit positif  notion d'angle d'incidence définie ci-après .
  19. ↑ 19,0 et 19,1 L'angle étant orienté, son signe dépend du sens d'orientation arbitraire choisi dans le plan d'incidence mais, quand plusieurs rayons incidents sont définis dans un même plan d'incidence, on choisit usuellement le sens « » de façon que le plus grand nombre d'angles d'incidence soit positif ;
       dans le cas où le rayon incident est normal, l'angle d'incidence est nul et peu importe le choix du sens « ».
  20. ↑ 20,0 20,1 20,2 et 20,3 Ou de l'intervalle   en  .
  21. ↑ Sur la figure ci-dessus, il est représenté, en rouge, dans le plan d'incidence car nous verrons que la « première loi régissant la réflexion » le positionne dans le plan d'incidence mais, avant d'appliquer cette première loi, le rayon réfléchi pourrait être « dans n'importe quel plan contenant  » d'où les définitions liées aux rayons réfléchi et incident indépendantes de cette première loi.
  22. ↑ Dans le cas où le rayon réfléchi est normal,   étant colinéaire à  , tout plan   au miroir en   peut jouer le rôle de plan de réflexion associé au rayon réfléchi normal  non unicité de la notion de plan de réflexion dans ce cas .
  23. ↑ Si nous tenons compte de la « première loi régissant la réflexion » qui identifie le plan de réflexion et le plan d'incidence, l'orientation du plan de réflexion est identique à celle du plan d'incidence.
  24. ↑ 24,0 et 24,1 Raison pour laquelle on peut confondre les orientations des deux plans.
  25. ↑ Ou encore, d'une part les rayons réfléchi et incident sont situés de part et d'autre de la normale en   à la surface réfléchissante et
       Ou encore, d'autre part les angles d'incidence et de réflexion « non orientés » sont égaux.
  26. ↑ En fait il y a toujours changement de direction sauf quand le rayon incident est normal  c.-à-d. quand le rayon incident est   à la surface dioptrique au point d'incidence  .
  27. ↑ En ce qui concerne les lois de Snell - Descartes de la réfraction, il n'est pas assuré que Snell les ait pour la 1ère fois énoncées car il ne les a pas explicitement publiées mais la paternité lui en a été reconnue sous l'influence entre autres de Huygens qui, outré de la prétention des Français de revendiquer cette découverte pour le seul Descartes, mentionne dans ses publications, soixante-dix ans plus tard, les travaux de Snell dont il a eu connaissance  Snell a développé des travaux lesquels aboutirent à la publication en   de sa table des sinus permettant de positionner tout rayon réfracté connaissant le rayon incident .
       Descartes a publié en   la loi de la réfraction dans son traité « Dioptrique », annexe du « Discours de la Méthode »  Kepler avait déjà publié dans son « dioptrique » en  , une loi de réfraction qui n'était applicable que pour les petits angles   avant que Snell ne publie, en  , sa table des sinus .
       Christian Huygens (1629 – 1695)  ou Christian Huyghens  mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
       Johannes Kepler (1571 - 1630)  ou Johannes Keppler  astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic (1473 - 1543)  chanoine, médecin et astronome polonais  et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil  c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique .
       Willebrord Snell Van Royen ou Snellius (1580 - 1626) humaniste, mathématicien et physicien néerlandais et René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français : voir la note « 13 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
  28. ↑ Sur la normale  , les sens incident et émergent étant identiques, on ne définit qu'un seul vecteur unitaire   orientant la normale pour l'incidence et la réfraction.
  29. ↑ Nous verrons qu'il peut ne pas y avoir réfraction pour une incidence rasante suivant la valeur de l'indice du milieu émergent   relativement à celle du milieu incident  plus précisément nous verrons que l'incidence rasante ne conduit pas à une réfraction si  .
  30. ↑ Sur la figure ci-dessus, il est représenté, en rouge, dans le plan d'incidence car nous verrons que la « première loi régissant la réfraction » le positionne dans le plan d'incidence mais, avant d'appliquer cette première loi, le rayon réfracté pourrait être « dans n'importe quel plan contenant  » d'où les définitions liées aux rayons réfracté et incident indépendantes de cette première loi.
  31. ↑ Dans le cas où le rayon réfracté est normal,   étant colinéaire à  , tout plan   au dioptre en   peut jouer le rôle de plan de réfraction associé au rayon réfracté normal  non unicité de la notion de plan de réfraction dans ce cas .
  32. ↑ Si nous tenons compte de la « première loi régissant la réfraction » qui identifie le plan de réfraction et le plan d'incidence, l'orientation du plan de réfraction est identique à celle du plan d'incidence.
  33. ↑ Nous verrons plus précisément qu'il peut y avoir une émergence rasante pour une valeur d'angle d'incidence si  .
  34. ↑ En multipliant de part et d'autre   par  .
  35. ↑   étant équivalent à   et la fonction sinus étant  .
  36. ↑ En multipliant de part et d'autre   par  .
  37. ↑   étant équivalent à   et la fonction sinus étant  .
  38. ↑ On pouvait aussi invoquer la loi de retour inverse de la lumière  voir le paragraphe « 3ème loi : loi du retour inverse de la lumière » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »  par rapport au cas précédent : le milieu d'indice le plus faible était le milieu d'entrée, il devient le milieu de sortie si on envisage un retour inverse  simultanément les rayons incident et réfracté permutent , le rayon réfracté était plus proche de la normale que le rayon incident, le rayon incident devient plus proche de la normale que le rayon réfracté par application de la loi du retour inverse  en fait il suffit de permuter les indices   et  .
  39. ↑ 39,0 et 39,1 Au lieu de considérer que le rayon réfracté  ou incident  passant par   peut décrire un demi-plan situé d'un même côté du dioptre pour le rayon réfracté  ou son opposé pour le rayon incident , correspondant à un angle de réfraction  ou d'incidence  pouvant être positif ou négatif, nous considérons que le rayon réfracté  ou incident  passant par   décrit un quart de plan situé d'un même côté du dioptre pour le rayon réfracté  ou son opposé par   pour le rayon incident  et correspondant à un angle de réfraction  ou d'incidence  positif, les valeurs négatives considérées précédemment s'obtenant maintenant avec les valeurs positives simultanément à une rotation du plan de réfraction  ou d'incidence  de   autour de la normale   en   à la surface dioptrique.
  40. ↑ 40,0 et 40,1 Tous les verres ne sont pas d'indice  .
  41. ↑ Pour justifier de ce cône nous pouvons aussi invoquer la loi de retour inverse de la lumière  voir le paragraphe « 3ème loi : loi du retour inverse de la lumière » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »  par rapport au cas précédent : le milieu d'indice le plus faible était le milieu d'entrée, il devient le milieu de sortie, le rayon réfracté permutant avec le rayon incident ; le rayon réfracté était plus proche de la normale que le rayon incident et était localisé dans le cône limite de réfraction de demi-angle au sommet égal à  , par loi du retour inverse le rayon incident devient plus proche que le rayon réfracté et est localisé   pour qu'il y ait réfraction   dans le cône limite d'incidence de demi-angle au sommet égal à    .
  42. ↑ Plus exactement on suppose qu'aucune source de lumière n'est située du côté de l'air, donc la seule lumière ne peut provenir que d'une source du côté du verre mais bien sûr la source n'est pas dans le verre ; c'est l'exemple d'une pièce sans source d'éclairage interne mais dont la lumière arrive en traversant une vitre.
  43. ↑ Plus exactement une partie de la puissance incidente est réfractée, le reste étant réfléchi.
  44. ↑ Ici nous considérons de nouveau qu'un rayon incident passant par   peut décrire tout le demi-plan situé d'un même côté du dioptre, l'angle d'incidence correspondant pouvant prendre une valeur positive ou négative.
  45. ↑ Ce n'est pas la température qui importe mais la variation de température ; pour qu'un mirage soit observable il faut qu'il y ait une variation de température d'au moins   par mètre d'altitude  soit au moins   sur   de dénivellation  et plus la variation de température par mètre d'altitude est grande, mieux observable est le mirage.
  46. ↑ Onde Plane Harmonique  ou onde plane progressive sinusoïdale  donc nécessairement monochromatique.
  47. ↑ 47,0 et 47,1 C'est un pinceau monochromatique issu du point à l'infini dans la direction faisant l'angle d'incidence cité après.
  48. ↑ 48,0 et 48,1 Celle-ci ayant une expansion limitée dans l'espace, est soumise à une diffraction qui doit être inobservable pour que l'approximation de l'optique géométrique soit applicable  c.-à-d. la longueur d'onde dans le vide de l'O.P.H.   doit être très petite devant la dimension transversale du pinceau associé   voir le paragraphe « approximation de l'optique géométrique » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » .
  49. ↑ 49,0 et 49,1 Pour la justification du fait que l'onde émergeant de la surface dioptrique  ou réfléchissante  est « plane » revoir le paragraphe « tentative d'explication de la diffraction à l'infini d'une O.P.H. par une fente infiniment longue » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », utilisant le « principe de Huygens - Fresnel  contribution de Fraunhofer »  voir les paragraphes « principe de Huygens - Fresnel » et « contribution de Fraunhofer » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »  où on considère que chaque point de la surface dioptrique  ou réfléchissante  atteint par l'onde plane incidente peut être considéré comme une source secondaire réémettant une ondelette  de Huygens , l'ensemble des ondelettes interférant pour donner une onde résultante également plane  le schéma d'explication du paragraphe « précité » ayant été fait avec une onde plane incidente normale, l'onde réfractée   à l'exclusion des bords   est plane également normale mais la justification est indépendante de cette particularité et la réfraction peut être remplacée sans inconvénient par une réflexion  ;
       Christian Huygens (1629 – 1695)  ou Christian Huyghens  mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
       Augustin Fresnel (1788 – 1827) physicien français, considéré comme le fondateur de l'optique moderne, a expliqué tous les phénomènes optiques connus de son temps dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.
       Joseph von Fraunhofer (1787 – 1826) opticien et physicien allemand est, entre autres, inventeur du spectroscope avec lequel il repéra les raies du spectre solaire.
  50. ↑ 50,0 et 50,1 Le pinceau est parallèle car, bien que l'« O.P.H. réfractée  ou réfléchie » ait également une expansion limitée dans l'espace, on est dans le cadre de l'approximation de l'optique géométrique négligeant tout phénomène de diffraction.
  51. ↑ En supposant que le M.T.H.I.  Milieu Transparent Homogène Isotrope  limité par la surface réfléchissante est d'indice  .
  52. ↑ Il est nécessaire que les angles   et   soient de signe contraire pour que « le retard de phase de l'onde en   sur celle de l'onde en   du rayon   corresponde à un retard de phase de l'onde en   sur celle de l'onde en   du rayon  »  il suffirait de faire un schéma avec   et   tous deux positifs pour se rendre compte que le retard de phase de l'onde en   sur celle de l'onde en   correspondrait à une avance de phase de l'onde en   sur celle de l'onde en   ce qui est effectivement à rejeter .
  53. ↑ 53,0 53,1 et 53,2 Condition Nécessaire.
  54. ↑ Mais en pratique l'égalité n'est jamais à considérer ; si on faisait un grand nombre d'expériences en donnant à l'angle d'incidence la valeur de l'angle limite  plus exactement on souhaiterait une valeur vraie égale à l'angle limite mais la valeur donnée serait une valeur proche par défaut ou par excès, la donne étant aléatoire , on trouverait que   des cas correspondent à une réflexion totale, les   autres   à une réflexion partielle accompagnant une réfraction rasante.
  55. ↑ Dans les premiers appareils photographiques « non réflex », le photographe regardait à travers un viseur mais le trajet de la lumière reçue par son œil n'était pas le même que celui de la lumière devant réaliser l'impression sur la pellicule d'où un cadrage non assuré  surtout pour les portraits  ; avec l'arrivée des appareils photographiques « réflex », la lumière reçue par l'œil passe d'abord par les lentilles avant d'être réfléchie totalement en direction du viseur à l'aide d'un prisme à réflexion totale ou d'un miroir plan incliné de  , ceci permettant de faire un cadrage correct de la photographie à prendre   mais bien sûr le prisme à réflexion totale ou le miroir plan incliné à   est retiré du trajet de la lumière lors de la prise d'impression.
  56. ↑ La section droite du prisme étant un triangle rectangle isocèle les angles non droits sont égaux à  .
  57. ↑ Cette condition, non très exigeante, n'est certainement pas réalisée pour n'importe quel rayon incident pénétrant par la face d'entrée mais elle l'est assurément pour la grande majorité des rayons incidents   avec une légère perte de puissance correspondant aux quelques rayons qui ne subiraient pas la réflexion totale.
  58. ↑ Sur la figure seule l'âme a été représentée.


  Opt. géomét. : sources lumin., milieu transp., approxim. de l'opt. géomét.
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