En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Le domaine du visible en fréquence étant [1] et la lumière étant une onde électromagnétique de célérité dans le vide , on en déduit de domaine des longueurs d'onde dans le vide grâce à [2] soit :
Une source lumineuse ponctuelle émet en « espace libre » [4] une onde progressive se propageant dans toutes les directions milieu tridimensionnel ; mais pratiquement jamais une expérience n'est entièrement réalisée en espace libre car tous les dispositifs pratiques introduisent des limitations de l'expansion spatiale des ondes, ce sont par exemple :
les sources entourées d'une enveloppe, percée d'un orifice par lequel sort l'onde,
les instruments permettant d'analyser l'onde capteur ou œil et ne collectant qu'une partie de la lumière,
les éléments optiques rencontrés par la lumière entre les sources et les capteurs et qui n'ont qu'une expansion finie ;
le fait de limiter l'expansion d'une onde lumineuse peut en modifier les propriétés, cette modification éventuelle correspond au phénomène de diffraction.
La cause dominante de limitation de l'expansion spatiale des ondes lumineuses est la présence d'un diaphragme de faible diamètre[5] ou d'une fente de faible largeur ; une observation à grande distance du diaphragme ou de la fente est estimée faite à l'infini et, si on observe un phénomène de diffraction, on parlera de « diffraction à l'infini » ;
Dispositif expérimental de diffraction d'un laser par une fente fine, franges observées
un faisceau laser émettant une onde lumineuse progressive « quasi unidimensionnelle » [6] et monochromatique [7], on place sur le trajet de l'onde une fente de largeur réglable et on observe l'impact laissé par l'onde sur un écran placé à grande distance ;
alors qu'on s'attendait à voir une tache lumineuse de même largeur que la fente trajet de la lumière en pointillés, on observe un étalement de la lumière sur l'écran suivant la direction parallèle à la largeur de la fente, étalement d'autant plus grand que la largeur de la fente est petite avec une répartition non uniforme : « présence d'une tache centrale très lumineuse » entourées de « taches beaucoup moins lumineuses et deux fois moins larges » [8] ;
le phénomène qui apparaît dans cette expérience est la diffraction, celle-ci n'apparaît nettement qu'en-deçà d'une largeur de fente de ;
quelques valeurs numériques : avec un faisceau laser de longueur d'onde à vide [9] et des largeurs de fente de , l'écran étant situé à une distance de la fente, on observe une largeur de tache centrale approximativement égale à [10],[11].
Figure de diffraction par un diaphragme de petit diamètre
On remplace la fente par une ouverture circulaire de diamètre et celle-ci ayant une symétrie de révolution d'axe « la direction du faisceau laser », on observe sur l'écran une figure de diffraction ayant cette même symétrie de révolution, c.-à-d. on observe sur l'écran un disque central très lumineux appelé « tache d'Airy[12] » entouré d'anneaux nettement moins lumineux et plus étroits que le disque central voir ci-contre ;
quelques valeurs numériques : avec le faisceau laser précédent de longueur d'onde à vide [9] et quelques valeurs numériques : avec des diamètres de diaphragme de , quelques valeurs numériques : l'écran étant situé à une distance de la fente, quelques valeurs numériques : on observe respectivement, avec les diamètres précédents, quelques valeurs numériques : on observe un diamètre de tache d'Airy [12] approximativement égal à [10],[13].
La lumière arrivant sur un endroit précis du voilage, seule une petite partie de ce dernier est utilisée pour le phénomène de diffraction, l'endroit utilisé du voilage se comportant alors comme une fente rectangulaire ; on observe une diffraction par la largeur et la longueur fournissant une tache centrale brillante de largeur et de longueur d'autant plus grande respectivement que et sont petits et des taches secondaires plus sombres sur les deux axes de la tache centrale ;
Ci-contre la figure de diffraction d'un voilage à maille carrée.
Dimension du trou pour observer le phénomène de diffraction à l'infini
On observe le phénomène de diffraction à l'infini par une ouverture plane On observe le phénomène de diffraction à l'infini dès lors que « la dimension de celle-ci suivant une direction de son plan On observe le phénomène de diffraction à l'infini dès lors que « la dimension de celle-ci est approximativement » [14].
Observation du phénomène de diffraction en mécanique
Le phénomène de diffraction peut être observé sur tous les types d'ondes et en particulier les ondes mécaniques :
Diffraction sur une cuve à ondes, la largeur de la fente étant fois la longueur d'onde
les ondes acoustiques dans l'air dont la célérité de propagation est ont des longueurs d'onde de l'échelle « macroscopique » [15]en effet une voix d'homme respectivement de femme ayant une fréquence moyenne respectivement correspond à une longueur d'onde respectivement , les ondes acoustiques dans l'air la diffraction intervient dès que « la limitation de l'expansion spatiale est à pour une voix d'homme » les ondes acoustiques dans l'air la diffraction intervient dès que respectivement à pour une voix de femme, les ondes acoustiques dans l'air la diffraction intervient c.-à-d. quand l'onde sonore associée rencontre une porte ouverte de largeur [16] ;
les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes sont également sensibles au phénomène de diffraction, voir la figure ci-contre : les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes la « fente » y est de largeur approximative fois la « longueur d'onde » [17] et les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes le phénomène de diffraction y est assez nettement observable.
Lien (admis) entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction
Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction c.-à-d. la « demi-largeur angulaire » [18] de la tache centrale en fonction de la longueur d'onde et Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction c.-à-d. la « demi-largeur angulaire » de la tache centrale en fonction de la largeur de la fente soit Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction «» [19] ;
dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, la taille de l'ouverture qui intervient est le diamètre du diaphragme encore noté et dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, le rayon angulaire de tache centrale appelée « tache d'Airy » [12] est tel que «» [19] ;
on remarque que acquiert une valeur observable dès lors que [20].
Allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente, en fonction de l'angle d'observation
La fonction intervenant dans le tracé de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente de largeur dans la direction repérée par l'angle [21] est la valeur absolue du « sinus cardinal » « sinus cardinal » définie selon «» [22] de la variable soit «» dans laquelle est l'amplitude de l'onde incidente sur la fente O.P.P. [23] suivant la direction à la fente, voir diagramme ci-dessous :
Graphe de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente en fonction de l'angle d'observation [21], en fait, le graphe représenté est celui de en fonction de l'angle d'observation [21]
Graphe de la fonction sinus cardinal
additif mathématique[24] : La fonction « sinus cardinal » est « définie et continue sur » ; additif mathématique : on prolonge sa définition en par continuité selon «» [25] et ainsi additif mathématique : on prolonge « son domaine de définition et continuité devient » ; additif mathématique : « son domaine de dérivabilité est prolongé par continuité en », en effet pour sa dérivée valant présente une forme indéterminée en pour laquelle sa levée conduit à une limite nulle d'où le prolongement par continuité de sa définition [26] ; additif mathématique : on prolonge enfin pour terminer notons les propriétés suivantes :
additif mathématique : on prolonge la fonction est paire,
additif mathématique : on prolonge elle s'annule pour les valeurs annulant c.-à-d. additif mathématique : on prolonge elle s'annule pour ,
additif mathématique : on prolonge elle a un maximum principal en de valeur et
additif mathématique : on prolonge elle a des extrema secondaires en définis par «» additif mathématique : on prolonge elle a des extrema secondaires en définis par « additif mathématique : on prolonge elle a des extrema secondaires en définis par «» additif mathématique : Voir tracé du graphe de sinus cardinal ci-contre.
Allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme, en fonction de l'angle d'observation
La fonction intervenant dans le tracé de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre dans la direction repérée par l'angle [27] est définie à partir de la « fonction de Bessel [28] de 1ère espèce » [29],[30] de la variable soit «» [29] dans laquelle est l'amplitude de l'onde incidente sur le diaphragme O.P.P. [23] suivant la direction à l'axe du diaphragme, voir diagramme ci-dessous :
Graphe de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme en fonction de l'angle d'observation [27] plus exactement, graphe de en fonction de l'angle d'observation [27]
Fonctions de Bessel [28] de 1ère espèce en rouge et en vert
additif mathématique[24] : Les fonctions de Bessel [28] de 1ère espèce peuvent être définies :
sous forme intégrale «» [31] soit, pour les deux 1ères fonctions «» ou
sous forme de solution particulière de l'équation différentielle du 2ème ordre en non linéaire et homogène «» [32], les C.I. [33] restant à préciser suivant la valeur de ainsi « est définie comme la solution particulière avec et comme C.I. [33] de l'équation » alors que « est la solution particulière avec et comme C.I. [33] de l'équation ».
' Preuve : 2ème définition déduite de la 1ère définition'
De on tire puis et on forme le 1er membre de l'équation différentielle «» afin de vérifier qu'il vaut , le report des expressions intégrales conduisant à «» soit, en simplifiant l'« intégrande » [34] de la 1ère intégrale par utilisation de d'où et, en transformant la 2nde par intégration par parties i.p.p.[35] avec soit «» soit, en regroupant avec la 1ère intégrale qui est telle que , on trouve «» dont on termine l'intégration par changement de variable soit «» C.Q.F.V. [36].
additif mathématiquefin[24] : Pour terminer le tour d'horizon, quelques relations de récurrence «» [37] permettant de déduire additif mathématique fin : Pour terminer le tour d'horizon, «» [38] et en particulier «» en faisant dans la 2ème relation additif mathématique fin : Pour terminer le tour d'horizon, «» et en particulier « additif mathématique fin : Pour terminer le tour d'horizon, «» et en particulier «» dont on tire additif mathématique fin : Pour terminer le tour d'horizon, l'expression de la dérivée 1ère de , soit «» additif mathématique fin : Pour terminer le tour d'horizon, Voir le graphe des deux fonctions de Bessel [28] et ci-dessus à droite.
' Preuve de la 1ère relation de récurrence'
De la définition de la fonction de Bessel [28] de 1ère espèce sous forme intégrale «» on tire par formule trigonométrique d'addition [39] soit, l'intégrale d'une somme d'« intégrandes » [34] étant la somme des intégrales de chacun des « intégrandes » [34]dans la mesure de l'existence de chacune, «» dans laquelle la 2ème intégrale est fois la dérivée de par rapport à car ; pour évaluer la 1ère intégrale on la transforme en remarquant que soit d'où de façon à faire apparaître dans la 1ère intégrale la forme admettant comme primitive d'où , la dernière intégrale s'identifiant à d'où «» ; on a donc établi la 1ère relation de récurrence [40] à savoir «».
L'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre dans la direction repérée par l'angle d'observation [27] s'écrivant «[29] avec variable sans dimension » [41] est une forme indéterminée en car ; on lève l'indétermination par [42] «» et par suite [43] soit «» d'où la « valeur pour en [44], en prolongeant sa définition par continuité » «» d'où l'« amplitude de l'onde incidente sur le diaphragme » est aussi l'« amplitude de l'onde diffractée à l'infini par le diaphragme de diamètre dans la direction repérée par l'angle d'observation [27]» c.-à-d. l'amplitude au centre de la tache d'Airy [12]correspondant à la valeur maximale d'amplitude.
Comparaison sur un même diagramme de l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par une fente et un diaphragme de même dimension, en fonction de l'angle d'observation
Graphes comparés de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par une fente graphe en traits continus rouges ou un diaphragme de même dimension graphe en tiretés bleus en fonction de l'angle d'observation [45] plus exactement, graphes comparés de avec amplitude de l'onde incidente [46]
Lors de la superposition du graphe donnant l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par une fente de largeur en fonction de l'angle d'observation [21]graphe en traits continus rouges sur le diagramme ci-dessus et Lors de la superposition du graphe donnant l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par un diaphragme de diamètre en fonction de l'angle d'observation [27]graphe en tiretés bleus sur le diagramme ci-dessus, Lors de la superposition on remarque que :
l'« amplitude des ondes diffractées à l'infini dans la direction centrale [47] » est égale à l'amplitude de l'onde incidente [46], que la diffraction se fasse par une fente ou un diaphragme [48],
la demi-largeur angulaire [18] de la tache centrale dans le cas de la diffraction par une fente «» [19] est « légèrement plus petite » que le rayon angulaire de la « tache d'Airy [12] » dans le cas de la diffraction par un diaphragme de diamètre égale à la largeur de la fente «» [19]voir le paragraphe « expression du lien entra la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction » plus haut dans ce chapitre, le cœfficient multiplicateur de est approximativement dans un rapport de pour , et enfin,
le contraste entre le disque central « disque d'Airy [12] » et le 1er anneau dans le cas de la diffraction par un diaphragme est « plus marqué » que celui entre la tache centrale et les 1ères taches dans le cas de la diffraction par une fente [49].
Principe de Huygens Fresnel et tentative d'explication du phénomène de diffraction
Chaque point d'une surface d'onde [50] créée à partir d'une source ponctuelle peut être considéré à son tour comme une source ponctuelle secondaire émettant des « ondelettes » dans toutes les directions, ces ondelettes secondaires interférant entre elles de telle sorte que toute nouvelle surface d'onde [50] d'origine [51] soit l'« enveloppe » [52] de toutes les surfaces d'onde [50] secondaires émises par les sources ponctuelles secondaires .
Traduction de l'hypothèse de Huygens[53] pour des ondes sphériques issues d'une source ponctuelle
Traduction de l'hypothèse de Huygens[53] pour des ondes planes
Ci-contre deux exemples, le 1er à gauche correspondant à des ondes sphériques issues d'une source ponctuelle à distance finie, Ci-contre deux exemples, le 2ème à droite correspondant à des ondes planes pouvant être considérées comme issues d'une source ponctuelle située à l'infini.
Explication de l'utilisation de l'hypothèse de Huygens[53] :
Soit une surface d'onde [50] primaire considérée à l'instant et Soit la surface d'onde [50] primaire correspondante à l'instant , on cherche à expliquer l'état vibratoire de l'onde en point générique de la surface d'onde [50] primaire à l'instant à partir de l'interférence des ondelettes sphériques secondaires issues des sources secondaires confondues avec point générique de la surface d'onde [50] primaire à l'instant ; ces ondelettes secondaires peuvent être séparées en :
une ondelette sphérique secondaire de centre qui arrive en dans le « même état vibratoire » [54] que celui de sa création en car [55],
des ondelettes sphériques secondaires centrées en situés de part et d'autres de , des ondelettes sphériques secondaires centrées en celles reçues par à l'instant étant celles émises par à l'instant «» ; des ondelettes sphériques secondaires centrées en à chaque ondelette centrée en un point particulier on peut faire correspondre une ondelette centrée en un autre point particulier situé dans le voisinage de telle que leur superposition en donne une « interférence destructive » par exemple si on choisit tel que et ainsi la différence de marche valant leurs ondelettes reçues par à l'instant sont celles émises par et aux instants séparés de donc en opposition de phase ce qui génère, en , une interférence destructive à l'instant entre ces ondelettes ;
ainsi seule l'ondelette de centre contribue à l'état vibratoire en
Principe de Huygens - Fresnel (1820) (énoncé partiel)
Fresnel[56] interprète les idées de Huygens[53] pour expliquer et « calculer » [57] les phénomènes de diffraction, il énonce le principe suivant [58] :
Début d’un théorème
Principe de Huygens - Fresnel (énoncé partiel)
Tout point atteint par la lumière issue d'une source primaire peut être considéré comme une source secondaire émettant une onde sphérique, l'état vibratoire de cette source secondaire étant à celui de l'onde incidente arrivant en ; on peut obtenir l'état vibratoire de tout point atteint postérieurement à par la lumière issue de la source primaire, en étudiant l'interférence des ondelettes issues de toutes les sources secondaires .
Alors que le principe de Huygens-Fresnel[53],[56] est « applicable » pour calculer la diffraction à distance « quelconque » [59] de la « pupille » [60] cause de la diffraction, Alors que Fraunhofer[61] énonce le principe en considérant le point d'observation de la diffraction, à l'« infini de la pupille[60] diffractante » [62] ce qui « simplifie notablement les calculs » [63].
Tentative d'explication du phénomène de diffraction à l'infini d'une onde plane par une fente infiniment longue
Tentative d'explication de diffraction à l'infini d'une onde plane par une fente infiniment longue en utilisant les ondelettes secondaires de Huygens[53]
Considérant une fente infiniment longue de largeur éclairée par une onde plane dont la « direction de propagation lui est » [64] on observe, au-delà de la fente, Considérant une fente infiniment longue de largeur éclairée par une onde quasi plane très légèrement déformée sur les bords si «» en effet, à l'exception des bords, tout se passe comme s'il n'y avait pas de limitation d'expansion de l'onde d'où la transmission, au-delà de la fente, du caractère plan on peut alors refaire l'explication donnée dans le paragraphe « hypothèse de Huygens (1678) » plus haut dans le chapitre mais, sur les bords, en par exemple sur la figure ci-dessus, il y a une dissymétrie de répartition des sources secondaires relativement à projeté orthogonal de sur le plan de la fente [65] d'où une « déformation de la surface d'onde [50] en » [66] et par suite de la « direction de propagation » [67] ; Considérant une fente infiniment longue de largeur éclairée par si «», la partie « onde quasi plane » de la surface d'onde [50] s'amenuise d'autant plus que est petit, Considérant une fente infiniment longue de largeur éclairée par si «», ce qui rend la diffraction d'autant plus observable
La diffraction est observable lorsque la lumière est limitée par une pupille[60] mais aussi lorsqu'elle rencontre un obstacle, par exemple La diffraction est observable lors de la diffraction à l'infini d'une onde plane lumineuse par un cheveu ou un objet opaque de diamètre , La diffraction est observable on observe à la place de l'ombre projetée du cheveu des franges lumineuses et obscures de diffraction qui peuvent être justifiées en faisant intervenir l'interférence des ondelettes issues des sources secondaires centrées en tout point, hors cheveu, du plan d'onde contenant ce dernier
Choix de la taille de l'ouverture relativement à la longueur d'onde pour observer le phénomène de diffraction en optique ou en mécanique, exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young
De façon à ce que le phénomène de diffraction soit observable, il convient de choisir
la taille de l'ouverture telle qu'elle ne soit pas grande devant la longueur d'onde, c.-à-d. au plus égale à soit la largeur de la fente ou le diamètre du diaphragme «».
Pour observer un phénomène d'interférences entre deux ondes, il faut que ces dernières soient synchrones [68] et « en phase lors de leur émission par les sources les ayant créées » [69] ;
si on fait se croiser deux faisceaux laser émettant la même longueur d'onde dans le vide, les ondes sont effectivement synchrones [68] mais « les sources ne sont pas en phase » [69],[70] et on n'observe pas d'interférences, les ondes émises sont dites « incohérentes » [71] ;
pour obtenir des ondes « cohérentes » [72], il suffit qu'elles proviennent d'une même source avec une séparation du faisceau issu de la source en deux faisceaux à déphasage indépendant du temps comme lors de l'observation d'interférences par séparation d'un faisceau laser par fentes d'Young[73]voir le paragraphe « exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young » plus loin dans ce chapitre.
Exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young
On obtient une onde « plane » monochromatique à l'aide d'un faisceau laser « hélium-néon » [74],[75] et on réalise sa séparation en deux faisceaux synchrones [68] et « cohérents » [72], divergeant par phénomène de diffraction, à partir de chacune des deux fentes d'Young[73] que le faisceau laser incident éclaire voir la figure ci-contre ;
pour chaque fente de largeur , la demi-largeur angulaire de la « tache centrale de diffraction » [76] vaut «» en rappelant que la diffraction par une fente infiniment longue se fait uniquement dans le plan à la longueur de la fente la « tache centrale de diffraction » [76] s'étale seulement sur la partie de l'écran située dans le plan de la figure ci-contre ;
il y a donc un champ d'interférences « intersection des deux taches centrales de diffraction » [76] mais pour que les « franges » [77] d'interférences soient observables sur un écran, ce dernier doit être situé au-delà du point voir figure ci-dessus défini par d'où la distance entre l'écran et le plan des fentes d'Young[73] «» avec , la demi-largeur angulaire de la « tache centrale de diffraction » [76] vaut «» [78] et, en prenant [79], la distance à partir de laquelle on peut observer des interférences est «» ;
on prend alors «» et la largeur du champ d'interférences sur l'écran vaut «» donnant numériquement on prend alors «» et la largeur du champ d'interférences sur l'écran vaut « en » soit finalement «» ;
Un faisceau laser n'est pas rigoureusement , cela résulte de son expansion transversale finie, par exemple Un faisceau laser n'est pas rigoureusement , pour la longueur d'onde dans le vide du laser hélium-néon et Un faisceau laser n'est pas rigoureusement , pour un diamètre de sortie , Un faisceau laser n'est pas rigoureusement , le rayon angulaire ou « demi-angle d'ouverture » [83] vaut «» [78] ;
Un faisceau laser n'est pas rigoureusement , plaçant un écran à une distance on observe une « tache de diamètre » Un faisceau laser n'est pas rigoureusement , plaçant un écran à une distance c.-à-d. un élargissement « non négligeable » [84] du diamètre du faisceau à grande distance de la source.
Schéma de focalisation d'un faisceau laser à travers un objectif de microscope
La diffraction se manifeste aussi quand on cherche à focaliser un faisceau laser à l'aide d'un objectif de microscope de « distance focale » [85], La diffraction se manifeste la dimension transversale du faisceau ne s'annule pas contrairement à ce qu'exigerait une focalisation parfaite résultant de la 1ère loi de l'optique géométrique [86], La diffraction se manifeste elle passe simplement par une valeur minimale «» que l'on détermine également par la relation «» où « est le demi-angle d'ouverture du faisceau convergent imposé par l'objectif de microscope » et « la valeur minimale du diamètre du faisceau à l'endroit de la convergence » soit encore La diffraction se manifeste elle passe simplement par une valeur minimale «» ;
La diffraction se manifeste avec la relation déterminant le demi-angle d'ouverture à partir de la distance focale de l'objectif de microscope [85] et du diamètre du faisceau incident «» ou, La diffraction se manifeste sachant que l'angle est petit ce qui permet l'approximation « à l'ordre un en » [87] et par suite de « confondre avec au même ordre un en », d'où « à l'ordre un en » ; La diffraction se manifeste finalement « la valeur minimale du diamètre du faisceau à l'endroit de la convergence s'évalue par » ;
La diffraction se manifeste si « avec et » on trouve «» [88].
↑ On ajoute l'indice pour distinguer la longueur d'onde dans le vide de la longueur d'onde dans le milieu transparent.
↑ Quelques autres longueurs d'onde dans le vide peuvent être retenues en lien avec la couleur observée : «», «», «» et «» partant du rouge moyen à , passant par le rouge primaire à et allant jusqu'au rouge extrême à .
↑ On parle de « diaphragme » pour une ouverture à bord circulaire.
↑ La source est considérée comme étant à l'infini, ce qui se manifeste par une expansion de l'onde émise par le faisceau laser quasi cylindrique de diamètre de l'ordre de quelques d'où le qualificatif « quasi unidimensionnelle ».
↑ C.-à-d. n'émettant qu'une seule fréquence correspondant à une seule longueur d'onde dans le vide .
↑ La fente ayant une dimension « sa longueur » grande devant l'autre dimension « sa largeur », la limitation de l'expansion spatiale de l'onde n'intervient que sur la largeur de la fente et on remarque que la dispersion de l'énergie lumineuse se fait dans la direction de l'écran à cette largeur, dans la direction de l'écran à la longueur la propagation reste unidirectionnelle.
↑ 9,0 et 9,1 Laser « hélium – néon » très utilisé dans les expériences d'optique.
↑ 10,0 et 10,1 Ces largeurs sont sous-estimées car la tache centrale n'étant pas uniforme l'intensité décroît du centre brillant jusqu'aux bords sombres, théoriquement la largeur doit aller jusqu'aux bords sombres mais ici la largeur estimée s'arrête approximativement à mi-chemin, il s'agit en fait d'une « largeur à mi-intensité ».
↑ Avec , la diffraction commence à être observable, la largeur de la tache centrale étant de ; on remarque que plus la fente est étroite, plus le phénomène de diffraction est prononcé.
↑ 12,012,112,212,312,4 et 12,5George Biddell Airy (1801 - 1892) mathématicien, astronome, géodésien et physicien britannique à qui on doit, entre autres, une théorie des arcs-en-ciel, de nombreuses mesures pendulaires permettant de mesurer la masse de la Terre et la constante de gravitation universelle, ainsi que l'utilisation, dans ses calculs d'optique, de fonctions spéciales mathématiques particulières portant son nom pour lui rendre hommage.
↑ Avec , la diffraction commence à être observable, la largeur de la tache centrale étant de ; on remarque que plus le diaphragme est petit, plus le phénomène de diffraction est prononcé, celui-ci étant encore plus contrasté qu'avec une fente.
↑ Sur l'exemple et le phénomène de diffraction est observable pour , on a donc bien l'ordre de grandeur.
↑ Une longueur est dite à l'échelle macroscopique si notion déjà entrevue en note « 28 » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Ainsi deux personnes, dans deux pièces voisines séparées par une porte ouverte, n'ont pas besoin d'être alignées avec la porte pour entendre ce qu'elles disent ce qui devrait pourtant être le cas si la propagation du son dans l'air à travers l'ouverture d'une porte était purement rectiligne.
↑ On observe la valeur de cette dernière au niveau de l'écartement des rides.
↑ 18,0 et 18,1 Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, le phénomène de diffraction a la symétrie de révolution et la tache centrale est un disque ; Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, l'échelle angulaire de diffraction est alors le demi-angle d'ouverture de l'expansion correspondant à la tache centrale, Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, l'échelle angulaire de diffraction est alors appelé « rayon angulaire de la tache centrale ».
↑ Par exemple pour une largeur de fente (resp. un diamètre de diaphragme) tel(le) que on trouve soit, à une distance de une largeur (ou diamètre) de tache centrale ne passant pas inaperçu(e) à condition toutefois que la répartition de lumière ne soit pas trop faible (sinon, seul le centre de la tache étant visible, la tache centrale apparaîtra moins large).
↑ 21,021,121,2 et 21,3 Angle que fait la direction de propagation relativement à la normale au plan de la fente.
↑ Forme indéterminée en prolongée par continuité donnant c.-à-d. .
↑ Forme indéterminée de la dérivée en : une 1ère tentative quand étant en radian consistant à écrire les équivalences élémentaires suivantes et voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » conduirait à «» ne levant pas l'indétermination d'où la nécessité de ne pas se contenter de l'équivalence ; une 2ème tentative plus fine utilisant la formule de trigonométrie de façon à prendre l'équivalence d'où l'approximation quand , de soit ceci définit le développement limité de au voisinage de à l'ordre deux introduit plus finement au chap. dans la remarque du paragraphe « DL à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » d'où la réécriture de la dérivée quand , et par suite valeur donnée à la dérivée en prolongeant sa définition par continuité.
↑ 27,027,127,227,327,4 et 27,5 Angle que fait la direction de propagation relativement à l'axe du diaphragme.
↑ 29,029,1 et 29,2 Dont l'introduction sort largement du niveau de cette leçon mais dont il vous sera donné néanmoins quelques éléments non indispensables à consulter pour comprendre la leçon.
↑ Forme sous laquelle F. W. Bessel les a d'abord définies.
↑F. W. Bessel a établi que les fonctions qu'il avait définies sous forme intégrale vérifiaient cette équation différentielle un calcul de dérivée 1ère et 2nde par rapport à de suivi de leur remplacement dans le 1er membre de l'équation différentielle et d'une intégration par parties i.p.p.voir le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (exposé de la méthode d'intégration par parties ou i.p.p.) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » conduit à un résultat nul d'où la 2nde façon de définir les fonctions de Bessel de 1ère espèce.
![{\displaystyle \;A(\theta )=a_{0}\;\left\vert \,\mathrm {sinc} \!\left[{\dfrac {\pi \;a\;\sin(\theta )}{\lambda }}\right]\right\vert \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f6c0f8f42733d017e6bf8de77449ad89c3bac4)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\mathrm {sinc} \right]}{dx}}(x)={\dfrac {x\,\cos(x)-\sin(x)}{x^{2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3f3ebeb1db8ca660193efcd37e817dbc99a88e)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\mathrm {sinc} \right]}{dx}}(0)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22112e1131a1cdec1fe8974310d77291bb78766c)
![{\displaystyle \;A(\theta )=a_{0}\,\left\lbrace 2\;\left\vert \,{\dfrac {J_{1}\!\left[\pi \,{\dfrac {a\;\sin(\theta )}{\lambda }}\right]}{\pi \,{\dfrac {a\;\sin(\theta )}{\lambda }}}}\right\vert \right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66aba5841ec26dcff0fb4e60b318675e38c5431f)
![{\displaystyle \;J_{n}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c769d805695333b240808f784c9f8d4451b4f6f)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}J_{0}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[x\,\sin(\tau )\right]d\tau \\J_{1}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau \end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55cb915fc3f26cbadd7e5d458b6a118fd9e4571)
![{\displaystyle \;x^{2}\,{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}(x)+x\,{\dfrac {dy}{dx}}(x)+\left[x^{2}-n^{2}\right]y(x)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fec0391bb77694bf4280cdfb30810cd5c027e87)
![{\displaystyle \;x^{2}\,{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}(x)+x\,{\dfrac {dy}{dx}}(x)+\left[x^{2}-1\right]y(x)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707fc1b75e628cc92c4f3fb8d0c1ab118c24dfec)
![{\displaystyle \;{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\sin(\tau )d\tau \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d89863c2ec2a52d8c3fee579ca50e8701a9cbc8)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d^{2}J_{n}}{dx^{2}}}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }-\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\sin ^{2}(\tau )d\tau \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c13dfef354da68ac8c0fd117d94003d7fedd767)
![{\displaystyle x^{2}\,{\dfrac {d^{2}J_{n}}{dx^{2}}}(x)+x\,{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)+\left[x^{2}-n^{2}\right]J_{n}(x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddeef20fd63a16593d0f4cf744958ce70f57e030)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left[-x^{2}\,\sin ^{2}(\tau )+x^{2}-n^{2}\right]d\tau +\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533dd3121f7e898f2e8b20acca4ab930582b3b5c)
![{\displaystyle \cdots \,{\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]x\,\sin(\tau )d\tau =A_{n,\,1}+A_{n,\,2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8155eb4d3ee6a1ca6c7e943faf1cba15e3cd85)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left[x^{2}\,\cos ^{2}(\tau )-n^{2}\right]d\tau \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17706b2859a23de36f95f32d95342db86152b4eb)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{a}^{b}u\,dv=\left[u\,v\right]_{a}^{b}-\displaystyle \int _{a}^{b}v\,du\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961df37a90dae909b9ef13d2c7845884ca22fac6)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}u=\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\\dv=x\,\sin(\tau )d\tau \end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b63122ef5b2b0424070cae672fbe04079a5b40)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}du=\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\,\left\lbrace n-x\,\cos(\tau )\right\rbrace d\tau \\v=-x\,\cos(\tau )\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e0d005e167e0c0455f101e5fac125d8a0786fbd)
![{\displaystyle ={\cancel {\left[\sin \!\left\lbrace n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right\rbrace \left\lbrace -x\,\cos(\tau )\right\rbrace \right]_{0}^{\pi }}}-\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/110c8620a61b493e9ea833111203c70d99d598e8)
![{\displaystyle \cdots \;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\left[-x\,\cos(\tau )\right]\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\,\left\lbrace n-x\,\cos(\tau )\right\rbrace d\tau =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c86fc367c5342b915004d2a5f45559bfc8ebad)
![{\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\,\left[n\,x\,\cos(\tau )-x^{2}\,\cos ^{2}(\tau )\right]d\tau \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f85853c2448ea0fc712e7c0d65db1977cc91b345)
![{\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left[x^{2}\,\cos ^{2}(\tau )-n^{2}\right]d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e12dab36c9074f2260a442a4397bde2cda2ad34)
![{\displaystyle =-n\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left[n-x\,\cos(\tau )\right]d\tau \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4cc808892179c4652a344fdd683fbca74cc5f0)
![{\displaystyle =-n\,{\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf8e924406e1d4454d4ca1b68810d4b98c7b603)
![{\displaystyle -{\dfrac {n}{\pi }}{\cancel {\left[\sin \!\left\lbrace n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right\rbrace \right]_{0}^{\pi }}}=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a368fafd10c73d24459610332f79b74462cd6ba)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}J_{1}(x)=-{\dfrac {dJ_{0}}{dx}}(x)\\{\dfrac {d}{dx}}\left[x^{n}\,J_{n}(x)\right]=x^{n}\,J_{n-1}(x)\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9c6b3fb14b9acbcd9c3586e4821ef2dd77cc26)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[x\,J_{1}\right]}{dx}}(x)=x\,J_{0}(x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb56e5fc11816a6bfb9f2f9c4ca1d5b22211823f)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace {\dfrac {d}{dx}}\left[x^{n}\,J_{n}(x)\right]=x^{n}\,J_{n-1}(x)\right\rbrace }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c4dc44e621282a370143c181c9be70ce3408a5)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{{\dfrac {d\left[x\,J_{1}\right]}{dx}}(x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0ca524cbc8a9aa39f1834009a28ad533b40e38)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{l}J_{1}(x)=-{\dfrac {dJ_{0}}{dx}}(x)\\{\dfrac {d}{dx}}\left[x^{n}\,J_{n}(x)\right]=x^{n}\,J_{n-1}(x)\end{array}}\right\rbrace }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a4861900e59453b27af72d9e85ba80c325d75b0)
![{\displaystyle \;J_{n+1}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[(n+1)\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3e69e18e80b745ea3cdf3d44d6302f50c0db81)
![{\displaystyle ={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left\lbrace \left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]+\tau \right\rbrace d\tau \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35abe01443f315034398a73c2cbef3a9acf9463)
![{\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{\pi }\left\lbrace \cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\cos(\tau )-\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\sin(\tau )\right\rbrace d\tau \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cec5f9a6009d0a3cc16185991320f87f12b1162)
![{\displaystyle =\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\cos(\tau )\,d\tau -\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd0fe2d1d82135764d619fa50d7497979b6bff4)
![{\displaystyle \cdots \,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\sin(\tau )d\tau \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3c237f70d6087110999662a0e9b0d6a547aead)
![{\displaystyle \;J_{n}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef75133da37a95fee792a52cb760bed58bbfb922)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\sin(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85ddf9cf66ea6567971cd29b8589e22e14fd0fce)
![{\displaystyle \;I_{1}=\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\cos(\tau )d\tau \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b98165fc18e2bf931de2550d9768a37bbf69078)
![{\displaystyle \;\cos(\tau )={\dfrac {\left[n-x\,\cos(\tau )\right]-n}{-x}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff9e69b5c3755db85427fbbffe3fea4a900c29c)
![{\displaystyle {\dfrac {-1}{x}}\,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left\lbrace \left[n-x\,\cos(\tau )\right]-n\right\rbrace \,d\tau \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f80c7c1d21d0f2a8555502ba7d524b4f577b75)
![{\displaystyle =-\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left[n-x\,\cos(\tau )\right]d\tau +\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5067e2ec4b1cd9cbaf2bb9005490363af93a8e0)
![{\displaystyle \cdots \,n\,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4807f72cd122ee82a6df6f23f0014accc9bb6b04)
![{\displaystyle \;\cos \!\left[g(\tau )\right]g'(\tau )d\tau \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d5c3a84232137a56a0538292bdce1304ec7076e)
![{\displaystyle \;\sin \!\left[g(\tau )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986e1b43872072148b02212a9aa09e33ad6d8ec9)
![{\displaystyle \;x\,I_{1}=-{\cancel {\left[\sin \!\left\lbrace n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right\rbrace \right]_{0}^{\pi }}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0d4c7b1db8f4ca47ff99fc4776bb440190235f)
![{\displaystyle \cdots \,n\,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b57a46295868fba8ae7167448a8c780fef0a189)
![Tentative d'explication de diffraction à l'infini d'une onde plane par une fente infiniment longue en utilisant les ondelettes secondaires de Huygens [53]](/wiki/Fichier:Diffraction_-_fente_-_ondelettes.jpg)
![{\displaystyle \;L=2\,\left[D\,\tan(\theta _{1})-{\dfrac {a}{2}}\right]=2\,D\,\tan(\theta _{1})-a\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4bb348d2e3473335ec6b6928be96670b0f3d6a)
![{\displaystyle \;\lambda _{0,\,{\text{bleu}}}\in \left[0,435\;\mu m\,;\,0,465\;\mu m\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c597f570dd538d416708014ddb6fb90ed113c7da)
![{\displaystyle \;\lambda _{0,\,{\text{vert}}}\in \left[0,500\;\mu m\,;\,0,560\;\mu m\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0963958b2ef96288e463729f8138499c8b1588)
![{\displaystyle \;\lambda _{0,\,{\text{jaune}}}\in \left[0,560\;\mu m\,;\,0,590\;\mu m\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f25b4a37c29b95dbe3d6edb5e0f29ad52125b16)
![{\displaystyle \;\lambda _{0,\,{\text{rouge}}}\in \left[0,620\;\mu m\,;\,0,780\;\mu m\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc8afcf9a1ecbc35ce065f9f7ad78ff922af9b0)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{x\rightarrow 0}\left[\mathrm {sinc} (x)\right]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25eb4040cbe966ff8cf1087f72dc14c2e093991d)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\mathrm {sinc} \right]}{dx}}(x)={\dfrac {x\,\cos(x)-\sin(x)}{x^{2}}}\sim {\dfrac {x\times 1-x}{x^{2}}}={\dfrac {0}{x^{2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb2d940b76a90b95d01c4735ab321cd1d6ffc5b)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\mathrm {sinc} \right]}{dx}}(x)={\dfrac {x\cos(x)-\sin(x)}{x^{2}}}\simeq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179d3406934362faa6caf25f4b07c4a59213f1c4)
![{\displaystyle {\dfrac {x\left[1-{\dfrac {x^{2}}{2}}\right]-x}{x^{2}}}={\dfrac {-x}{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc50bba25ab84593c2ec9b0d6268af991dc1a72)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{x\rightarrow 0}\left[{\dfrac {d\left(\mathrm {sinc} \right)}{dx}}(x)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6f69602f8f7ee9a3fbe24fa695bcc98ca02cc9)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64487fb1d604790cad7e74ea2a437118510e88cf)
