Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale

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Cas particulier d'une onde progressive sinusoïdale (ou harmonique) dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive

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Définition d'une O.P.H.

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     Dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire  non dispersive , une « onde progressive sinusoïdale » [2] le long de l'axe   est une onde sinusoïdale du type

«   » [3] telle que

     la « vibration observée à toute abscisse   reproduit la vibration observée en   avec le retard temporel  » [4] suivant que la propagation se fait dans le sens    ou   de l'axe   :

  • dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire  non dispersive  dans le sens des  , l'O.P.H. [5] de pulsation   s'écrit
    «   » ;
  • dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire  non dispersive  dans le sens des  , l'O.P.H. [5] de pulsation   s'écrit
    «   ».

Notion de pulsation spatiale, vecteur d'onde

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     L'O.P.H. [5] étant une fonction sinusoïdale de la variable  [6], peut se réécrire, après développement de l'argument du cosinus, selon «   » [6] ; on en déduit que l'O.P.H. [5] est une fonction sinusoïdale à la fois :

  • du temps   pour   fixé  avec une pulsation temporelle ,
  • de la variable spatiale   pour   fixé  avec une pulsation spatiale [7] ;

     on réécrit alors l'O.P.H. [5] « » [6].

On parle alors de « double périodicité spatio-temporelle » de l'onde.

Périodicité temporelle de l'onde progressive sinusoïdale (O.P.H.), période et fréquence

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     « À   fixé », l'O.P.H. [5] s'écrivant « » avec « » [6] est périodique de période temporelle  et
             « À   fixé », l'O.P.H. s'écrivant « » avec « » est périodique de fréquence temporelle  ;
     « À   fixé », l'O.P.H. [5] peut alors se réécrire

« ».

Périodicité spatiale de l'onde progressive sinusoïdale (O.P.H.), longueur d'onde et nombre d'onde

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     « À   fixé », l'O.P.H. [5] s'écrivant « » [6], [9] avec « » est périodique de période spatiale   c.-à-d. « longueur d'onde » en   et
                   « À   fixé », l'O.P.H. s'écrivant « » avec « » est périodique de fréquence spatiale   c.-à-d. « nombre d'onde » en   ;
     « À   fixé », l'O.P.H. [5] peut alors se réécrire

« » [6].

     Le vecteur d'onde peut être écrit selon

« » [4].

Lien entre longueur d'onde, fréquence (temporelle) et célérité pour une O.P.H.

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     La pulsation spatiale   étant liée à la pulsation temporelle   et la célérité de propagation   par « », nous en déduisons la « période spatiale  ou longueur d'onde » «   » soit, compte tenu de la définition de la période temporelle « », la relation « ».

     On en déduit aussi la longueur d'onde   en fonction de la fréquence  temporelle  et la célérité de propagation   selon

« ».

     En conclusion : On peut trouver toutes les grandeurs relatives à la périodicité spatio-temporelle de l'O.P.H. [5] quand on connaît l'une d'entre elles et la célérité de propagation, en effet :

  • si on connaît la période temporelle  , alors on en déduit :
    si on connaît la période temporelle  , alors on en déduit : la pulsation  temporelle   ,
    si on connaît la période temporelle  , alors on en déduit : la fréquence  temporelle   ,
    si on connaît la période temporelle  , alors on en déduit : la longueur d'onde  ou période spatiale   ,
    si on connaît la période temporelle  , alors on en déduit : le nombre d'onde  ou fréquence spatiale    et
    si on connaît la période temporelle  , alors on en déduit : la norme du vecteur d'onde  ou pulsation spatiale    ;
  • si on connaît la fréquence temporelle  , alors on en déduit :
    si on connaît la fréquence temporelle  , alors on en déduit : la pulsation  temporelle   ,
    si on connaît la fréquence temporelle  , alors on en déduit : la période  temporelle   ,
    si on connaît la fréquence temporelle  , alors on en déduit : la longueur d'onde  ou période spatiale   ,
    si on connaît la fréquence temporelle  , alors on en déduit : le nombre d'onde  ou fréquence spatiale    et
    si on connaît la fréquence temporelle  , alors on en déduit : la norme du vecteur d'onde  ou pulsation spatiale    ;
  • si on connaît la longueur d'onde ou période spatiale  , alors on en déduit :
    si on connaît la longueur d'onde ou période spatiale  , alors on en déduit : le nombre d'onde  ou fréquence spatiale   ,
    si on connaît la longueur d'onde ou période spatiale  , alors on en déduit : la norme du vecteur d'onde  ou pulsation spatiale   ,
    si on connaît la longueur d'onde ou période spatiale  , alors on en déduit : la période  temporelle   ,
    si on connaît la longueur d'onde ou période spatiale  , alors on en déduit : la fréquence  temporelle    et
    si on connaît la longueur d'onde ou période spatiale  , alors on en déduit : la pulsation  temporelle   .

     L'O.P.H. [5] peut alors se réécrire selon l'une de ses trois formes équivalentes :

« » [6].

Notion de déphasage de l'onde entre des points séparés d'une distance finie au même instant

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Définition

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Déphasage de l'onde sinusoïdale entre deux points au même instant dans le cas d'une propagation dans le sens  
 
Déphasage de l'onde sinusoïdale entre deux points au même instant dans le cas d'une propagation dans le sens  

     La phase initiale du signal transporté par l'O.P.H. [5] à l'abscisse   étant « » [6]  
     le signal au point d'abscisse   est déphasé, par rapport au signal considéré au même instant au point d'abscisse  , de

« » [6]  avec  [10] ;


     ce résultat se retrouve facilement par des considérations physiques :

  • si   et si la propagation se fait dans le sens des  , « le signal en   est, sur le signal en   considéré au même instant, en retard temporel de  »  en notant  , ce qui se traduit par le déphasage «   » qui se réécrit «   »  voir ci-contre ,


  • si   et si la propagation se fait dans le sens des  , « le signal en   est, sur le signal en   considéré au même instant, en retard temporel de  »  en notant  , ce qui se traduit par le déphasage «    qui se réécrit    »  voir ci-contre .

Condition pour les signaux considérés au même instant en deux points d'abscisses différentes soient en phase

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     La condition pour laquelle les vibrations aux deux points d'abscisse   et   considérées au même instant soient en phase s'écrit « » soit, en utilisant le déphasage explicité ci-dessus,

« » [11].

Condition pour les signaux considérés au même instant en deux points d'abscisses différentes soient en opposition de phase

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     La condition pour laquelle les vibrations aux deux points d'abscisse   et   considérées au même instant soient en opposition de phase s'écrit «  avec  » soit, en utilisant le déphasage explicité ci-dessus,

« » [12].

Notion de déphasage de l'onde entre des instants écartés d'une durée finie (au même endroit)

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Préliminaire à la définition

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     Le signal transporté par l'O.P.H. [5] au point d'abscisse   et à l'instant   s'écrivant « » [6], avec « », soit

« »,

     nous définissons le déphasage après avoir mis le signal sous la forme « » [13], avec « ».

Définition

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Déphasage de l'onde sinusoïdale entre deux instants au même point

     Au lieu d'envisager le signal transporté par l'onde au même instant mais en deux points différents, on considère le signal transporté par l'onde au même endroit mais à deux instants différents   et  , sachant que la phase initiale du signal transporté par l'O.P.H. [5] à l'instant   est défini selon «   » [6], [14], on en déduit que le signal à l'instant   est déphasé par rapport au signal à l'instant   considéré au même point de

«     » [6]  en notant   ;

     ce résultat peut se retrouver par des considérations physiques :

  • si   et si la propagation se fait dans le sens des  , « le signal à   en l'abscisse   est identique au signal à   en l'abscisse     en notant   est la distance parcourue pendant la durée écoulée entre   et  »,   le déphasage «   » [15] que l'on peut réécrire « »,
  • si   et si la propagation se fait dans le sens des  , « le signal à   en l'abscisse   est identique au signal à   en l'abscisse       en notant   est la distance parcourue pendant la durée écoulée entre   et  »,   le déphasage « » [16] que l'on peut réécrire « ».

Étude expérimentale, mesure de la célérité, de la longueur d'onde et du déphasage d'une O.P.H.

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Principe de la mesure de la célérité de propagation dans un milieu unidimensionnel, exemple de la détermination expérimentale de la célérité du son dans l'air

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Dispositif expérimental pour la mesure de la célérité du son dans l'air
 
Enregistrement permettant de déduire la célérité du son dans l'air

     On dispose deux microphones à la distance   l'un de l'autre, l'onde sonore utilisée étant créée dans l'alignement de ces deux microphones [17] ;
     l'onde sonore correspond par exemple à un coup donné sur un socle en bois, le signal capté par le 1er microphone étant envoyé sur la voie   d'un oscilloscope numérique et celui capté par le 2ème microphone sur la voie   du même oscilloscope numérique  voir ci-contre à gauche  ;

     le signal capté par le 1er microphone étant choisi comme source de déclenchement à l'enregistrement « monocoup » de l'oscilloscope [18], on observe l'enregistrement ci-contre à droite :

     la distance   étant mesurée avec précision  emploi d'un banc gradué  et le retard temporel   étant également connu avec précision  on estime aisément cette dernière par déplacement de curseurs verticaux sur l'oscilloscope [19] , on peut évaluer la célérité du son dans l'air par « » [20].

Principe de la mesure de la longueur d'onde d'une O.P.H. dans un milieu unidimensionnel, exemple d'une O.P.H. ultrasonore dans l'air

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Dispositif expérimental pour la mesure de la longueur d'onde d'une O.P.H. [5] ultrasonore dans l'air

     Un émetteur d'ultrasons étant alimenté par un G.B.F. [21] à une fréquence  [22], deux récepteurs sont placés sur un même banc, quasiment dans l'alignement avec l'émetteur, le 1er étant fixe et le 2ème mobile, les signaux reçus par chacun d'eux étant repérés respectivement sur les voies   et   d'un oscilloscope numérique ;
     sans réglage préalable sur le récepteur   proche du récepteur  , on observe a priori un déphasage entre ces deux signaux [23] ;
     on déplace le récepteur   de façon à ce que les signaux soient en phase [24], on repère alors la position du récepteur   notée  , et
     on poursuit le déplacement en recherchant les positions correspondant aux signaux en phase jusqu'à une nème position notée   ;
     « la distance   s'identifie alors à  », ce qui permet d'en déduire la longueur d'onde de l'O.P.H. [5] ultrasonore avec une précision d'autant meilleure que   peut être grand ;
     connaissant la fréquence de l'onde on en déduit la célérité de propagation dans l'air par « ».

Principe de la mesure d'un déphasage d'une O.P.H. enregistrée en deux positions distinctes du milieu unidimensionnel, exemple d'une O.P.H. ultrasonore dans l'air

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     On reprend le montage précédent et, sans effectuer de réglage a priori, les signaux enregistrés sur les voies   et   de l'oscilloscope sont déphasés  bien que le signal reçu par le récepteur   soit « mathématiquement » en retard de phase sur le signal reçu par le récepteur  , il peut être « physiquement » en retard ou en avance et c'est uniquement ce déphasage que l'on mesure directement en fonctionnement   de l'oscilloscope  ;

     on détermine le décalage « physique » temporel   par curseurs de temps [19] et on en déduit l'avance de phase « physique » du signal   sur le signal   par

«   [4], [25] en  » ou
« [4], [25] en  ».       


Notes et références

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  1. C'est un abus c'est en fait le signal transporté qui a cette forme.
  2. Ou onde progressive harmonique noté   en abrégé.
  3. Le caractère « linéaire » de la propagation  conservation de la forme du signal lors de la propagation  est effectivement vérifié sur cette onde et
       son caractère « non dispersif »  célérité de la propagation indépendante de la fréquence  n'apparaît pas dans la mesure où la fréquence d'une onde sinusoïdale ne varie pas  raison pour laquelle « non dispersive » a été mis entre parenthèses .
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 et 4,4 « » si la propagation est dans le sens des   et « » si elle est dans le sens des  .
  5. 5,00 5,01 5,02 5,03 5,04 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 5,10 5,11 5,12 5,13 5,14 5,15 et 5,16 Onde Progressive Harmonique.
  6. 6,00 6,01 6,02 6,03 6,04 6,05 6,06 6,07 6,08 6,09 6,10 et 6,11 « » si la propagation est dans le sens des   et « » si elle est dans le sens des  .
  7. La pulsation « spatiale » est, comme la pulsation temporelle, toujours  , elle s'exprime en  .
  8.   est donc toujours dans le sens de la propagation.
  9. Si la propagation se fait dans le sens des  ,    cette dernière expression pour que le cœfficient de   soit  , la phase « initiale »  c.-à-d. en   est alors   alors que
       si la propagation se fait dans le sens des  ,  , la phase « initiale »  c.-à-d. en   est  .
  10. Si la propagation se fait selon les   et si    c.-à-d.  ,   et par suite le signal en   est mathématiquement en « retard de phase » sur le signal en   mais non nécessairement physiquement  en effet le déphasage physique étant défini à   près, nous prenons sa détermination principale c.-à-d. celle dont la valeur absolue du reste est la plus petite lors de la division par  , exemple     admet pour détermination principale     signal en   physiquement en avance de phase sur le signal en   ;
       si la propagation se fait selon les   et si    c.-à-d.  ,   et par suite le signal en   est mathématiquement en « avance de phase » sur le signal en   mais non nécessairement physiquement  même commentaire que ci-dessus .
  11. Avec   « » si la propagation se fait dans le sens des   et « » si elle se fait dans le sens des  .
  12. Avec  , « » si la propagation se fait dans le sens des   soit   et « » si elle se fait dans le sens des   soit  .
  13. Dans le but d'avoir une forme analogue à « », le cœfficient de la variable temporelle ou spatiale étant la pulsation temporelle   ou spatiale  .
  14. Dans le cas d'une propagation dans le sens des    respectivement  , l'O.P.H. est écrite sous la même forme  .
  15. On rappelle que le signal est mis sous la forme   avec     «   » d'où « »   «   »  
  16. On rappelle que le signal est mis sous la forme   avec     «   » d'où « »   «   »  
  17. Avec toutefois un léger décalage transversal de façon à ce que le 1er microphone ne fasse pas obstacle à l'onde sonore que doit recevoir le 2ème.
  18. Voir le T.p.  intitulé « oscilloscope » associé à la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
       On choisit un niveau de déclenchement ni trop faible pour éviter qu'un signal parasite ne déclenche l'enregistrement, ni trop intense pour que l'enregistrement ne nécessite de taper très fort sur le socle.
  19. 19,0 et 19,1 Voir le T.p.  intitulé « oscilloscope » associé à la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  20. On s'attend à trouver   à  , elle ne serait que de   à  .
  21. Générateur Basse Fréquence.
  22. Pour que cette onde soit ultrasonore il faut une fréquence  .
  23. Le déphasage serait nul s'il était possible que le récepteur   coïncide avec le récepteur  , ce qui n'étant pas possible implique un déphasage ; de plus le signal reçu par le récepteur   est légèrement atténué relativement au signal reçu par le récepteur  .
  24. On peut le vérifier plus aisément en réglant l'oscilloscope en fonctionnement  , l'ellipse observée si les signaux ne sont pas en phase, se réduit à un segment de droite de pente positive quand ceux-ci deviennent en phase  voir le T.P.  intitulé « oscilloscope » associé à la leçon « Signaux physiques (PCSI) » .
  25. 25,0 et 25,1 On rappelle que le signal qui est « physiquement » en avance sur l'autre est celui qui « coupe » l'axe des temps en   en 1er sachant que, pour qu'il soit considéré comme « coupant » en   en 1er, le décalage temporel doit être inférieur à   ;
       si le signal   « coupe » l'axe des temps en   en 1er relativement au signal   on a   d'où le signe « » sinon c'est un signe « ».