Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive

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Propagation unidimensionnelle linéaire, célérité de propagation

Propagation unidimensionnelle

     On s'intéresse aux « ondes unidimensionnelles » c.-à-d. une onde qui ne dépend que d'une seule coordonnée spatiale le long d'un axe $\;Ox$, on dit alors que la propagation est unidimensionnelle ; il peut s'agir :

• d'une onde dans un milieu à une dimension $\;{\big (}$onde électrique dans un câble, onde mécanique sur une corde $\ldots {\big )}\;$ ou
• d'un type particulier d'onde « l'onde plane dans un milieu à deux ou trois dimensions » ; une « onde plane progressive » $\;{\big (}$O.P.P.${\big )}\;$ correspond à la propagation d'un signal dans une direction privilégiée de l'espace, direction notée $\;x'x\;$ ${\big (}$O.P.P. sur une cuve à ondes avec des vibrations créé par un vibreur plan, O.P.P. électromagnétique créée par une source plane, onde progressive quasi plane dans le cas où la source est éloignée dans le domaine acoustique ou optique $\;\ldots {\big )}$

Propagation unidimensionnelle linéaire

     La propagation unidimensionnelle est « linéaire » :

• si le signal qui se propage « garde la même forme que le signal émis$\;{\big (}$encore appelé signal source${\big )}\;$» , ou
• si, le signal émis étant sinusoïdal de fréquence $\;\nu$, le signal qui se propage est sinusoïdal de même fréquence $\;\nu \;$ ou encore
• si le signal émis étant périodique de fréquence $\;\nu$, le signal qui se propage est périodique de même fréquence $\;\nu \;$ « sans enrichissement du spectre » $\;{\big (}$cela signifiant que les harmoniques du signal qui se propage sont nécessairement présents $-$ avec une amplitude et une phase pouvant être différentes $-$ dans le signal source${\big )}$.

Célérité de propagation

     La « célérité de propagation unidimensionnelle linéaire », notée «$\;c\;$», est un cas particulier de la définition générale donnée au paragraphe « rappel de dynamique, relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) (vitesse) » du chap.$1$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » c'est donc « la distance de propagation par unité de temps »  ;

     «$\;c\;$» reste constante quel que soit le point atteint par le signal qui se propage, c'est le caractère « homogène » de la propagation ;

     «$\;c\;$» ne dépend pas de l'amplitude du signal émis , plus précisément « dans le cas d'un signal émis sinusoïdal, la célérité de propagation est indépendante de l'amplitude du signal » .

Cas particulier d'une propagation non dispersive

     La propagation unidimensionnelle linéaire est dite « non dispersive » si, dans le cas d'un signal émis périodique de fréquence $\;\nu$, la célérité de propagation est indépendante de la fréquence du signal qui se propage $\;{\big (}$en particulier, lorsque le signal émis est périodique mais non sinusoïdal, chaque harmonique se propageant à la même célérité, le signal qui se propage correspondra à la même superposition des harmoniques que le signal émis et sera donc de même forme ${\big )}$ ;

     si le milieu est « non absorbant » et « non dispersif », la célérité est indépendante de la forme de la perturbation .

Forme générale de la grandeur vibrante associée à une onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive, distance parcourue pendant une durée finie

Propagation dans le sens des abscisses croissantes

Perturbation transversale se propageant sans atténuation ni déformation dans le sens positif de $\;\left(Ox\right)\;$ à deux instants différents

     On considère une onde progressive à « propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive $\;{\big (}$et non absorbante${\big )}\;$ » suivant la direction $\;x'x\;$ dans le sens des $\;x\nearrow$ ; la vibration étant générée en $\;O\;$ d'abscisse $\;0$,
     on observe le milieu aux deux instants successifs $\;t_{0}\;$ et $\;t_{1}$, instants séparés de la durée $\;\Delta t=t_{1}-t_{0}>0$,
     on vérifie alors que l'onde s'est propagée sans atténuation  ni déformation  d'une distance$\;\delta =c\,\Delta t\;$qui est la distance parcourue pendant la durée finie$\;\Delta t=t_{1}-t_{0}>0$ ;

     notant $\;s\;$ la grandeur vibrante associée à l'onde se propageant,

     à l'instant $\;t_{0}\;$ sa valeur pour tout point d'abscisse $\;x\;$ du milieu étant $\;s_{t_{0}}(x)=s(x,\,t_{0})$,

     à l'instant $\;t_{1}\;$ elle est notée $\;s_{t_{1}}(x)=s(x,\,t_{1})\;$ et doit être telle qu'elle s'identifie à la valeur du signal observé à l'instant $\;t_{0}\;$ décalé de $\;\delta =c\,\Delta t\;$ dans le sens des $\;x\nearrow$, soit

«$\;s_{t_{0}}(x)=s_{t_{1}}(x+\delta )=s_{t_{1}}(x+c\,\Delta t)\;$» ou encore
«$\;s(x,\,t_{0})=s(x+\delta ,\,t_{1})=s(x+c\,\Delta t,\,t_{0}+\Delta t)\;$» ;

     on peut se convaincre aisément que la dernière formule reste valable pour $\;\Delta t<0$, la distance parcourue pendant cette durée étant $\;\delta =c\,\Delta t<0$.

À retenir

Pour une propagation dans le sens des $\;x\nearrow \;$ et quel que soit le signe de $\;\Delta t$ :

$\;s(x,\,t_{0})=s(x+c\,\Delta t,\,t_{0}+\Delta t)\;$

     Si on considère maintenant $\;t_{0}=0\;$ c.-à-d. l'instant initial et
     Si on considère maintenant $\;t_{1}=t_{0}+\Delta t=t\;$ c.-à-d. un instant quelconque,
     la valeur de la grandeur vibrante initiale au point d'abscisse $\;x'\;$ s'écrivant «$\;s(x',\,0)=s(x'+c\,t,\,t)\;$»,
     on obtient, en faisant le changement de variable «$\;x=x'+c\,t\Leftrightarrow$ $\;x'=x-c\,t\;$», «$\;s(x-c\,t,\,0)=s(x,\,t)\;$» c.-à-d. que
     on obtient, la valeur de la grandeur vibrante au point d'abscisse$\;x\;$et à l'instant$\;t\;$est une fonction de la variable$\;x-c\,t\;$s'écrivant «$\;s(x,\,t)=s(x-c\,t,\,0)\;$»  ;
     pour simplifier l'écriture nous noterons cette fonction «$\;s(x-c\,t,\,0)=s_{0}(x-c\,t)\;$».

À retenir

     Une onde progressive se propageant à la célérité $\;c\;$ selon la direction de l'axe $\;Ox\;$ dans le sens des $\;x\nearrow$, sans atténuation ni déformation, est de la forme mathématique

«$\;s(x,\,t)=s_{0}(x-c\,t)\;$»
où $\;s_{0}\;$ est une fonction d'une variable ayant la dimension d'une longueur  ;

     comme $\;s_{0}(x)=s(x,\,0)$, la fonction $\;s_{0}(x)\;$ représente le signal en tout point du milieu d'abscisse $\;x\;$ et à l'instant $\;0$.

Propagation dans le sens des abscisses décroissantes

     On s'intéresse toujours à une onde progressive selon la direction de l'axe $\;Ox\;$ mais maintenant dans le sens des $\;x\searrow$,
     la « distance parcourue pendant la durée finie $\;\Delta t=t_{1}-t_{0}>0\;$» est alors négative correspondant à$\;\delta =-c\,\Delta t$ ;
     reprenant le raisonnement précédent, on aboutit donc à «$\;s(x,\,t_{0})=s(x-c\,\Delta t,\,t_{0}+\Delta t)\;$» et, notant $\;t_{0}=0\;$ l'instant initial et
     reprenant le raisonnement précédent, on aboutit donc à «$\;\color {transparent}{s(x,\,t_{0})=s(x-c\,\Delta t,\,t_{0}+\Delta t)}\;$» et, notant $\;t_{1}=t_{0}+\Delta t=t\;$ un instant quelconque,
     reprenant le raisonnement précédent, on aboutit donc la valeur de la grandeur vibrante au point d'abscisse $\;x'\;$ s'écrivant «$\;s(x',\,0)=s(x'-c\,t,\,t)\;$»
     reprenant le raisonnement précédent, on obtient, en faisant le changement de variable «$\;x=x'-c\,t\Leftrightarrow x'=$ $x+c\,t\;$», la relation ‹$\;s(x+c\,t,\,0)=$ $s(x,\,t)\;$› c.-à-d. que
     reprenant le raisonnement précédent, on obtient, la valeur de la grandeur vibrante au point d'abscisse$\;x\;$et à la date$\;t\;$est une fonction de la variable$\;x+c\,t\;$selon «$\;s(x,\,t)=$ $s(x+c\,t,\,0)\;$»  ;
     reprenant le raisonnement précédent, pour simplifier l'écriture nous noterons cette fonction «$\;s(x+c\,t,\,0)=s_{0}(x+c\,t)\;$».

À retenir

     Une onde progressive se propageant à la célérité $\;c\;$ selon la direction de l'axe $\;Ox\;$ dans le sens des $\;x\searrow$, sans atténuation ni déformation, est de la forme mathématique

«$\;s(x,\,t)=s_{0}(x+c\,t)\;$» 
où $\;s_{0}\;$ est une fonction d'une variable ayant la dimension d'une longueur  ;

     comme $\;s_{0}(x)=s(x,\,0)$, la fonction $\;s_{0}(x)\;$ représente encore le signal en tout point du milieu d'abscisse $\;x\;$ et à l'instant $\;0$.

Forme générale de la grandeur vibrante associée à une onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive, retard temporel sur une distance finie

Propagation dans le sens des abscisses croissantes

Perturbation transversale se propageant sans atténuation ni déformation dans le sens positif de $\;\left(Ox\right)\;$ en deux abscisses différentes

     On considère la même onde progressive à « propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive $\;{\big (}$et non absorbante${\big )}\;$ » suivant la direction $\;x'x\;$ dans le sens des $\;x\nearrow$ ; la vibration étant générée en $\;O\;$ d'abscisse $\;0$,
     on l'observe en deux positions successives d'abscisses $\;x_{0}\;$ et $\;x_{1}$, séparées de la distance $\;\Delta x=x_{1}-x_{0}>0$,
     on vérifie que les valeurs du signal observées au point d'abscisse $\;x_{0}\;$ sont observées sans modification au point d'abscisse $\;x_{1}\;$ avec un retard$\;\tau =$ ${\dfrac {\Delta x}{c}}\;$ appelé « retard temporel sur la distance$\;\Delta x=x_{1}-x_{0}>0\;$» ;

     notant $\;s\;$ la grandeur vibrante associée à l'onde se propageant,

     au point du milieu d'abscisse $\;x_{0}\;$ sa valeur à tout instant $\;t\;$ étant $\;s_{x_{0}}(t)=s(x_{0},\,t)$,

     au point d'abscisse $\;x_{1}\;$ elle est notée $\;s_{x_{1}}(t)=s(x_{1},\,t)\;$ et doit être telle qu'elle s'identifie à la valeur du signal observé au point d'abscisse $\;x_{0}\;$ décalé de $\;\tau ={\dfrac {\Delta x}{c}}\;$ dans le sens croissant des temps , soit

«$\;s_{x_{0}}(t)=s_{x_{1}}(t+\tau )=s_{x_{1}}\!\left(t+{\dfrac {\Delta x}{c}}\right)\;$» ou
«$\;s(x_{0},\,t)=s(x_{1},\,t+\tau )=s\!\left(x_{0}+\Delta x,\,t+{\dfrac {\Delta x}{c}}\right)\;$» ;

     on peut se convaincre aisément que la dernière formule reste valable pour $\;\Delta x<0$, le retard temporel sur cette distance algébrique étant $\;\tau =$ ${\dfrac {\Delta x}{c}}<0\;$ ${\big (}$ceci correspondant en fait à une avance temporelle de $\;\vert \tau \vert {\big )}$.

À retenir

Pour une propagation dans le sens des «$\;x\nearrow \;$» et quel que soit le « signe de $\;\Delta x\;$» :

$\;s(x_{0},\,t)=s\!\left(x_{0}+\Delta x,\,t+{\dfrac {\Delta x}{c}}\right)\;$

     Si on considère maintenant $\;x_{0}=0\;$ c.-à-d. la source du signal et
     Si on considère maintenant $\;x_{1}=x_{0}+\Delta x=x\;$ c.-à-d. un point d'abscisse quelconque,
     la valeur de la grandeur vibrante de la source à l'instant $\;t'\;$ s'écrivant «$\;s(0,\,t')=s\!\left(x,\,t'+{\dfrac {x}{c}}\right)\;$»,
     on obtient, en faisant le changement de variable «$\;t=t'+{\dfrac {x}{c}}\;$ équivalent à $\;t'=t-{\dfrac {x}{c}}\;$», «$\;s\!\left(0,\,t-{\dfrac {x}{c}}\right)=s(x,\,t)\;$» c.-à-d. que
     on obtient, la valeur de la grandeur vibrante au point d'abscisse$\;x\;$et à l'instant$\;t\;$est une fonction de la variable$\;t-{\dfrac {x}{c}}\;$s'écrivant «$\;s(x,\,t)=s\!\left(0,\,t-{\dfrac {x}{c}}\right)\;$»  ;
     pour simplifier l'écriture nous noterons cette fonction «$\;s\!\left(0,\,t-{\dfrac {x}{c}}\right)=s_{O}\!\left(t-{\dfrac {x}{c}}\right)\;$».

À retenir

     Une onde progressive se propageant à la célérité $\;c\;$ selon la direction de l'axe $\;Ox\;$ dans le sens des $\;x\nearrow$, sans atténuation ni déformation, est de la forme mathématique

«$\;s(x,\,t)=s_{O}\!\left(t-{\dfrac {x}{c}}\right)\;$»
où $\;s_{O}\;$ est une fonction d'une variable ayant la dimension d'un temps  ;

     comme $\;s_{O}(t)=s(0,\,t)$, la fonction $\;s_{O}(t)\;$ représente le signal créé à la source d'abscisse $\;x_{O}=0\;$ à tout instant $\;t$.

Propagation dans le sens des abscisses décroissantes

     On s'intéresse toujours à une onde progressive selon la direction de l'axe $\;Ox\;$ mais maintenant dans le sens des $\;x\searrow$,
     le « retard temporel sur la distance finie $\;\Delta x=x_{1}-x_{0}>0\;$» est alors négatif correspondant à$\;\tau =-{\dfrac {\Delta x}{c}}$ ;
     reprenant le raisonnement précédent, on aboutit donc à «$\;s(x_{0},\,t)=s\!\left(x_{0}+\Delta x,\,t-{\dfrac {\Delta x}{c}}\right)\;$» et, notant $\;x_{0}=0\;$ la position de la source et
     reprenant le raisonnement précédent, on aboutit donc à «$\;\color {transparent}{s(x_{0},\,t)=s\!\left(x_{0}+\Delta x,\,t-{\dfrac {\Delta x}{c}}\right)}\;$» et, notant $\;x_{1}=x_{0}+\Delta x=x\;$ une position quelconque,
     reprenant le raisonnement précédent, on aboutit donc la valeur de la grandeur vibrante à l'instant $\;t'\;$ s'écrivant «$\;s(0,\,t')=s\!\left(x,\,t'-{\dfrac {x}{c}}\right)\;$»
     reprenant le raisonnement précédent, on obtient, en faisant le changement de variable «$\;t=t'-{\dfrac {x}{c}}\Leftrightarrow t'=t+{\dfrac {x}{c}}\;$», la relation $\;s\!\left(0,\,t+{\dfrac {x}{c}}\right)$ $=s(x,\,t)\;$ c.-à-d. que
     reprenant le raisonnement précédent, on obtient, la valeur de la grandeur vibrante au point d'abscisse$\;x\;$et à la date$\;t\;$est une fonction de la variable$\;t+{\dfrac {x}{c}}\;$s'écrivant «$\;s(x,\,t)=$ $s\!\left(0,\,t+{\dfrac {x}{c}}\right)\;$»  ;
     reprenant le raisonnement précédent, pour simplifier l'écriture nous noterons cette fonction $\;s\!\left(0,\,t+{\dfrac {x}{c}}\right)=s_{O}\!\left(t+{\dfrac {x}{c}}\right)$.

À retenir

     Une onde progressive se propageant à la célérité $\;c\;$ selon la direction de l'axe $\;Ox\;$ dans le sens des $\;x\searrow$, sans atténuation ni déformation, est de la forme mathématique

«$\;s(x,\,t)=s_{O}\!\left(t+{\dfrac {x}{c}}\right)\;$» 
où $\;s_{O}\;$ est une fonction d'une variable ayant la dimension d'un temps  ;

     comme $\;s_{O}(t)=s(0,\,t)$, la fonction $\;s_{O}(t)\;$ représente le signal créé à la source d'abscisse $\;x_{O}=0\;$ à l'instant $\;t$.

Prévision de l'évolution temporelle à position fixée

Propagation dans le sens des abscisses croissantes

Lien entre la forme initiale du milieu et l'évolution temporelle du signal en $\;O\;$ dans le cas d'une propagation dans le sens $\;+$

     Nous savons $\;{\big \{}$d'après les deux paragraphes « propagation dans le sens des abscisses ↗ (distance parcourue pendant une durée finie) » et « propagation dans le sens des abscisses ↗ (retard temporel sur une distance finie) » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ qu'une onde unidimensionnelle se propageant linéairement de façon non dispersive $\;{\big (}$et non absorbante${\big )}\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ de $\;x'x\;$ s'écrit

«$\;s(x,\,t)=F(x-c\,t)=f\!\left(t-{\dfrac {x}{c}}\right)\;$»  ;

     si on connaît la forme du milieu unidimensionnel à $\;t=0$, c.-à-d. si on connaît la fonction $\;F$,
     si on connaît la forme on peut en déduire l'évolution temporelle du signal source $\;{\big (}$en $\;x=0{\big )}$, c.-à-d. la fonction $\;f\;$ 
     si on connaît la forme on peut en déduire en faisant $\;x=0\;$ dans la relation «$\;s(x,\,t)=F(x-c\,t)=f\!\left(t-{\dfrac {x}{c}}\right)\;$» soit

                                                            «$\;s(0,\,t)=F(-c\,t)=f(t)\;$» voir ci-contre  :

     pratiquement l'évolution temporelle du signal source en $\;x=0$, c.-à-d. le graphe de $\;f(t)$, s'obtient
     pratiquement à partir de la forme du milieu unidimensionnel à $\;t=0$, c.-à-d. le graphe de $\;F(x)$,
     pratiquement en faisant coïncider les origines et
     pratiquement en faisant un changement d'échelle de l'axe des abscisses pour lui donner la même homogénéité que l'axe des temps
     pratiquement en faisant un changement d'échelle $\;{\big [}$c.-à-d. en divisant par $\;c$, la nouvelle fonction ainsi obtenue étant notée «$\;F_{1}(t)\;$»${\big ]}$,
     pratiquement le graphe de $\;f(t)\;$ étant alors le symétrique par rapport à l'origine commune du graphe de $\;F_{1}(t)$ ;

Lien entre la forme du milieu à l'instant $\;t\;$ et l'évolution temporelle du signal en un point d'abscisse $\;x\;$ dans le cas d'une propagation dans le sens $\;+$

     bien entendu si on connaît la forme du milieu unidimensionnel en un autre instant $\;t_{0}\neq 0$, on peut en déduire l'évolution temporelle du milieu en une autre position d'abscisse $\;x_{0}\neq 0$ $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$ :

     mais le plus simple est néanmoins d'utiliser la forme initiale du milieu ainsi que l'évolution temporelle du signal en $\;O\;$ présenté ci-dessus, par exemple :

     mais le plus simple « pour obtenir $\;s(x,\,t_{0})\;$ à partir de $\;s(x,\,0)=F(x)\;$», « on décale le graphe le long de $\;Ox\;$ de $\;c\,t_{0}\;$ vers la droite » et

     mais le plus simple « pour obtenir $\;s(x_{0},\,t)\;$ à partir de $\;s(0,\,t)=f(t)\;$», « on décale le graphe le long de l'axe des temps de $\;{\dfrac {x_{0}}{c}}\;$ vers la droite ».

Propagation dans le sens des abscisses décroissantes

Lien entre la forme initiale du milieu et l'évolution temporelle du signal en $\;O\;$ dans le cas d'une propagation dans le sens $\;-$

     Nous savons $\;{\big \{}$d'après les deux paragraphes « propagation dans le sens des abscisses ↘ (distance parcourue pendant une durée finie) » et « propagation dans le sens des abscisses ↘ (retard temporel sur une distance finie) » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ qu'une onde unidimensionnelle se propageant linéairement de façon non dispersive $\;{\big (}$et non absorbante${\big )}\;$ dans le sens $\;\searrow \;$ de $\;x'x\;$ s'écrit

«$\;s(x,\,t)=G(x+c\,t)=g\!\left(t+{\dfrac {x}{c}}\right)\;$»  ;

     si on connaît la forme du milieu unidimensionnel à $\;t=0$, c.-à-d. si on connaît la fonction $\;G$,
     si on connaît la forme on peut en déduire l'évolution temporelle du signal source $\;{\big (}$en $\;x=0{\big )}$, c.-à-d. la fonction $\;g\;$ 
     si on connaît la forme on peut en déduire en faisant $\;x=0\;$ dans la relation «$\;s(x,\,t)=G(x+c\,t)=g\!\left(t+{\dfrac {x}{c}}\right)\;$» soit

                                                            «$\;s(0,\,t)=G(c\,t)=g(t)\;$» voir ci-contre  :

     pratiquement l'évolution temporelle du signal source en $\;x=0$, c.-à-d. le graphe de $\;g(t)$, s'obtient
     pratiquement à partir de la forme du milieu unidimensionnel à $\;t=0$, c.-à-d. le graphe de $\;G(x)$,
     pratiquement en faisant coïncider les origines et
     pratiquement en faisant un changement d'échelle de l'axe des abscisses pour lui donner la même homogénéité que l'axe des temps
     pratiquement en faisant un changement d'échelle $\;{\big [}$c.-à-d. en divisant par $\;c$, la nouvelle fonction ainsi obtenue étant notée «$\;G'(t)\;$»${\big ]}$,
     pratiquement le graphe de $\;g(t)\;$ étant identique à celui de $\;G'(t)$ ;

Lien entre la forme du milieu à l'instant $\;t\;$ et l'évolution temporelle du signal en un point d'abscisse $\;x\;$ dans le cas d'une propagation dans le sens $\;-$

     bien entendu si on connaît la forme du milieu unidimensionnel en un autre instant $\;t_{0}\neq 0$, on peut en déduire l'évolution temporelle du milieu en une autre position d'abscisse $\;x_{0}\neq 0$ $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$ :

     mais le plus simple est néanmoins d'utiliser la forme initiale du milieu ainsi que l'évolution temporelle du signal en $\;O\;$ présenté ci-dessus, par exemple :

     mais le plus simple « pour obtenir $\;s(x,\,t_{0})\;$ à partir de $\;s(x,\,0)=G(x)\;$» « on décale le graphe le long de $\;Ox\;$ de $\;c\,t_{0}\;$ vers la gauche » $\;{\big (}$on entre alors dans le domaine des abscisses négatives${\big )}\;$ et

     mais le plus simple « pour obtenir $\;s(x_{0},\,t)\;$ à partir de $\;s(0,\,t)=g(t)\;$», « on décale le graphe le long de l'axe des temps de $\;-{\dfrac {x_{0}}{c}}\;$ vers la droite » $\;{\big (}$on entre effectivement dans le domaine des instants positifs, $\;x_{0}\;$ étant $\;<0{\big )}$.

Prévision de la forme à différents instants

Propagation dans le sens des abscisses croissantes

Lien entre l'évolution temporelle du signal en $\;O\;$ et la forme initiale du milieu dans le cas d'une propagation dans le sens $\;+$

     Nous savons $\;{\big \{}$d'après les deux paragraphes « propagation dans le sens des abscisses ↗ (distance parcourue pendant une durée finie) » et « propagation dans le sens des abscisses ↗ (retard temporel sur une distance finie) » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ qu'une onde unidimensionnelle se propageant linéairement de façon non dispersive $\;{\big (}$et non absorbante${\big )}\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ de $\;x'x\;$ s'écrit

«$\;s(x,\,t)=F(x-c\,t)=f\!\left(t-{\dfrac {x}{c}}\right)\;$»  ;

     si on connaît l'évolution temporelle du signal source $\;{\big (}$en $\;x=0{\big )}$, c.-à-d. la fonction $\;f$,
     si on connaît la forme on peut en déduire la forme du milieu unidimensionnel à $\;t=0$, c.-à-d. la fonction $\;F$, 
     si on connaît la forme on peut en déduire en faisant $\;t=0\;$ dans la relation «$\;s(x,\,t)=F(x-c\,t)=f\!\left(t-{\dfrac {x}{c}}\right)\;$» soit

                                                            «$\;s(x,\,0)=F(x)=f\!\left(-{\dfrac {x}{c}}\right)\;$ voir ci-contre   :

     pratiquement la forme du milieu unidimensionnel à $\;t=0$, c.-à-d. le graphe de $\;F(x)$, s'obtient
     pratiquement à partir de l'évolution temporelle du signal source en $\;x=0$, c.-à-d. le graphe de $\;f(t)$,
     pratiquement en faisant coïncider les origines et
     pratiquement en faisant un changement d'échelle de l'axe des temps pour lui donner la même homogénéité que l'axe des abscisses
  pratiquement en faisant un changement d'échelle $\;{\big [}$c.-à-d. en multipliant par $\;c$, la nouvelle fonction ainsi obtenue étant notée «$\;g_{1}(x)\;$»${\big ]}$,
     pratiquement le graphe de $\;G(x)\;$ étant alors identique à celui de $\;g_{1}(x)$ ;

Lien entre l'évolution temporelle du signal en un point d'abscisse $\;x\;$ et la forme du milieu à l'instant $\;t\;$ dans le cas d'une propagation dans le sens $\;+$

     bien entendu si on connaît l'évolution temporelle du milieu en une autre position d'abscisse $\;x_{0}\neq 0$, on peut en déduire la forme du milieu unidimensionnel en un autre instant $\;t_{0}\neq 0$ $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$ :

     mais le plus simple est néanmoins d'utiliser l'évolution temporelle du signal en $\;O\;$ ainsi que la forme initiale du milieu présenté ci-dessus, par exemple :

     mais le plus simple « pour obtenir $\;s(x_{0},\,t)\;$ à partir de $\;s(0,\,t)=f(t)\;$», « on décale le graphe le long de l'axe des temps de $\;{\dfrac {x_{0}}{c}}\;$ vers la droite » et

     mais le plus simple « pour obtenir $\;s(x,\,t_{0})\;$ à partir de $\;s(x,\,0)=F(x)\;$», « on décale le graphe le long de $\;Ox\;$ de $\;c\,t_{0}\;$ vers la droite ».

Propagation dans le sens des abscisses décroissantes

Lien entre l'évolution temporelle du signal en $\;O\;$ et la forme initiale du milieu dans le cas d'une propagation dans le sens $\;-$

     Nous savons $\;{\big \{}$d'après les deux paragraphes « propagation dans le sens des abscisses ↘ (distance parcourue pendant une durée finie) » et « propagation dans le sens des abscisses ↘ (retard temporel sur une distance finie) » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ qu'une onde unidimensionnelle se propageant linéairement de façon non dispersive $\;{\big (}$et non absorbante${\big )}\;$ dans le sens $\;\searrow \;$ de $\;x'x\;$ s'écrit

«$\;s(x,\,t)=G(x+c\,t)=g\!\left(t+{\dfrac {x}{c}}\right)\;$»  ;

     si on connaît l'évolution temporelle du signal source $\;{\big (}$en $\;x=0{\big )}$, c.-à-d. la fonction $\;g$,
     si on connaît la forme on peut en déduire la forme du milieu unidimensionnel à $\;t=0$, c.-à-d. la fonction $\;G\;$ 
     si on connaît la forme on peut en déduire en faisant $\;t=0\;$ dans la relation «$\;s(x,\,t)=G(x+c\,t)=g\!\left(t+{\dfrac {x}{c}}\right)\;$» soit

                                                            «$\;s(x,\,0)=G(x)=g\!\left({\dfrac {x}{c}}\right)\;$» voir ci-contre  :

     pratiquement la forme du milieu unidimensionnel à $\;t=0$, c.-à-d. le graphe de $\;G(x)$, s'obtient
     pratiquement à partir de l'évolution temporelle du signal source en $\;x=0$, c.-à-d. le graphe de $\;g(t)$,
     pratiquement en faisant coïncider les origines et
     pratiquement en faisant un changement d'échelle de l'axe des temps pour lui donner la même homogénéité que l'axe des abscisses
  pratiquement en faisant un changement d'échelle $\;{\big [}$c.-à-d. en multipliant par $\;c$, la nouvelle fonction ainsi obtenue étant notée «$\;f_{1}(x)\;$»${\big ]}$,
     pratiquement le graphe de $\;F(x)\;$ étant alors le symétrique par rapport à l'origine commune du graphe de $\;f_{1}(x)$ ;

Lien entre l'évolution temporelle du signal en un point d'abscisse $\;x\;$ et la forme du milieu à l'instant $\;t\;$ dans le cas d'une propagation dans le sens $\;-$

     bien entendu si on connaît l'évolution temporelle du milieu en une autre position d'abscisse $\;x_{0}\neq 0$, on peut en déduire la forme du milieu unidimensionnel en un autre instant $\;t_{0}\neq 0$ $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$ :

     mais le plus simple est néanmoins d'utiliser l'évolution temporelle du signal en $\;O\;$ ainsi que la forme initiale du milieu présenté ci-dessus, par exemple :

     mais le plus simple « pour obtenir $\;s(x_{0},\,t)\;$ à partir de $\;s(0,\,t)=g(t)\;$» « on décale le graphe le long de l'axe des temps de $\;-{\dfrac {x_{0}}{c}}\;$ vers la droite » $\;{\big (}$on entre dans le domaine des instants positifs à condition que $\;x_{0}\;$ soit dans le domaine des abscisses $\;<0{\big )}$ et

     mais le plus simple « pour obtenir $\;s(x,\,t_{0})\;$ à partir de $\;s(x,\,0)=G(x)\;$» « on décale le graphe le long de $\;Ox\;$ de $\;c\,t_{0}\;$ vers la gauche » $\;{\big (}$on entre alors dans le domaine des abscisses négatives${\big )}$.