Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence

Début de la boite de navigation du chapitre
Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence
Icône de la faculté
Chapitre no 5
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale
Chap. suiv. :Propagation d'un signal : Battements
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence
Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dispositif expérimental mettant en évidence le phénomène d'interférences de deux ondes mécaniques sur une cuve à ondes modifier

 
Dispositif expérimental pour créer et observer des ondes de surface d'un liquide  cuve à ondes 

     Le plateau supérieur au fond transparent, contient le liquide  en général de l'eau  à la surface duquel sont produites des ondes  dites de surface  ;
     l'éclairage, au-dessus de l'appareil, projette l'image de la surface du liquide sur l'écran dépoli vertical de la face avant de la cuve, grâce à un miroir placé à   sous la cuve transparente ; cet éclairage [1] est rendu stroboscopique [2] grâce à un disque rotatif, disposant de deux fentes, placé entre la lampe et la surface du liquide, il permet ainsi, lorsque le disque n'est pas débrayé, d'observer au ralenti le phénomène de propagation des ondes de surface ;

     les vibrations peuvent être produites par une pointe vibrante venant frapper la surface du liquide, la position de la surface frappée étant alors la source d'une « onde progressive sinusoïdale de surface » [3] de fréquence égale à la fréquence du vibreur, cette dernière étant réglée par le boîtier de commande ;

     pour obtenir deux sources vibrant à la même fréquence on peut utiliser deux pointes vibrantes mues par un même vibreur venant frapper la surface du liquide en deux positions différentes ; comme elles sont mues par le même vibreur, elles sont nécessairement synchrones  même fréquence  et en phase si les pointes affleurent la surface libre en même temps ;

     dans ce cas l'éclairage stroboscopique permet d'étudier le phénomène de superposition des deux ondes de surface, phénomène trop rapide pour une observation directe.

Observation stroboscopique, interférences constructives et destructives modifier

 
Schématisation d'interférences de deux ondes mécaniques créées à la surface d'un liquide par deux sources synchrones en phase

     Deux perturbations sinusoïdales sont produites en deux points   et   de la cuve à ondes ;
     en chaque point atteint par ces deux ondes ces dernières se superposent et s'additionnent algébriquement   on dit qu'elles « interfèrent ».

     Ci-contre un schéma où figurent les rides circulaires issues de chaque source vibrante  rides pouvant être rendues d'apparence fixe par strosboscopie  ainsi que
     Ci-contre un schéma où figurent leur superposition constructive  on parle d'interférence constructive  matérialisée par les lignes rouges [5] et
     Ci-contre un schéma où figurent leur superposition destructive  on parle d'interférence destructive  matérialisée par les lignes vertes [6].

     On peut observer des lignes d'amplitude maximale  en rouge , lorsque les ondes arrivent en phase : la « différence de marche entre ces deux ondes en un point » [7] définie par  [8] est un multiple de la longueur d'onde  condition pour que les ondes soient en phase , et l'amplitude résultante est double de celle d'une onde seule [9].

     On observe également des lignes « neutres »  en vert , lorsque les deux ondes arrivent en opposition de phase : la « différence de marche entre ces deux ondes en un point » [7] définie par  [8] est alors égale à une demi-longueur d'onde à un multiple de longueurs d'onde près  condition pour que les ondes soient en opposition de phase , sur ces lignes d'interférence destructive, l'eau est au repos [9].

     On établit que ces lignes, ou « franges » d'interférence sont des hyperboles de foyers   et  [10].


Mise en équation du problème d'interférences à la surface du liquide modifier

     Les ondes émises par les sources synchrones   et   étant respectivement «  et  » [11] se propagent chacune, pour atteindre un point quelconque   de la surface du liquide, suivant une direction différente   et   tout en agissant suivant une même direction   à la surface du liquide [12] ;

     au point   et à l'instant  , avec «  pulsation spatiale commune » [13], «  étant la longueur d'onde commune », l'onde issue de   et celle issue de   s'écrivent respectivement « » dans laquelle «  et   sont respectivement l'amplitude de chaque onde au point  » [14], «  et   étant la distance séparant ce dernier de chaque source » ;

     les ondes agissant suivant une même direction transversale peuvent s'ajouter scalairement et on en déduit l'onde résultante au point   et à l'instant  , «   » ou, avec « » pour simplifier l'écriture, « » ;

     la somme de deux fonctions sinusoïdales de  , de pulsation  , étant une fonction sinusoïdale de  , de même pulsation  , nous notons l'onde résultante «   » ; il reste alors à déterminer l'amplitude résultante  et éventuellement la phase initiale résultante  à l'aide d'une des méthodes exposées dans le paragraphe « traduction de la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » c.-à-d. exposées dans les sous-paragraphes « amplitude et phase initiale résultantes en termes de vecteur de Fresnel » [15] ou « amplitude et phase initiale résultantes en terme d'amplitude complexe ».

Détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par diagramme de Fresnel modifier

     Il suffit alors de refaire le traitement exposé au chap.  dans le paragraphe « amplitude et phase initiale en termes de vecteur de Fresnel (diagramme de Fresnel [15]) » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [16] ; on en déduit :

  • l'amplitude résultante « » [17],
  • la phase initiale résultante [18] par « » [17].

     On en déduit l'onde résultante en   et à l'instant   « ».

Détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par amplitude complexe modifier

     Il suffit alors de refaire le traitement du chap.  dans le paragraphe « amplitude et phase initiale en terme d'amplitude complexe » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [19] ; on en déduit :

  • l'amplitude résultante « » [17],
  • la phase initiale résultante [18] par « » ou encore
         la phase initiale résultante par « » [17].

     On en déduit l'onde résultante en   et à l'instant   « ».

Condition d'interférences constructives ou destructives en termes de déphasage modifier

     Soient «  et  » les ondes émises par les sources synchrones   et   supposées vibrant en phase ;

     au point   et à l'instant  , les ondes issues de   et de   s'écrivant respectivement « » dans laquelle «  et   sont l'amplitude de chaque onde en  », «  et   la distance séparant ce dernier de chaque source », «  et   la pulsation spatiale et la longueur d'onde communes »,
     au point   et à l'instant  , les ondes issues de   et de   se superposent en donnant l'onde résultante «     » dans laquelle « » ou, la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation   étant une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation  ,
     au point   et à l'instant  , les ondes issues de   et de   se superposent en donnant l'onde résultante «   » ; la détermination de l'amplitude résultante à l'aide du diagramme de Fresnel [15]  voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par diagramme de Fresnel » plus haut dans ce chapitre  ou de l'amplitude complexe  voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par amplitude complexe » plus haut dans ce chapitre  nous a fourni « ».

Cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux de même amplitude modifier

     L'application de la formule « » dans le cas particulier où on néglige l'affaiblissement des amplitudes des ondes individuelles avec la distance parcourue, ce qui correspond à « », donne « » ;

     finalement l'amplitude résultante s'écrit « » [20].

Interférences constructives modifier

     Les ondes en   interfèrent de façon « constructive » si l'amplitude résultante y est maximale et ceci est réalisé pour
     Les ondes en   interfèrent de façon « constructive » si « ,  » [27], correspondant à des ondes « en phase » [28] ;
     Les ondes en   interfèrent de façon « constructive » l'amplitude résultante vaut alors « ».

Interférences destructives modifier

     Les ondes en   interfèrent de façon « destructive » si l'amplitude résultante y est minimale et ceci est réalisé pour
     Les ondes en   interfèrent de façon « destructive » si « ,  » [27], c.-à-d. pour des ondes « en opposition de phase » [28] ;
     Les ondes en   interfèrent de façon « destructive » l'amplitude résultante vaut alors « » correspondant à l'absence de mouvement.

Variation de l'amplitude d'une O.P.H. dans un milieu bidimensionnel (ou tridimensionnel) non absorbant modifier

     Dans une propagation unidimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude d'une O.P.H. [29] reste constante », ceci correspondant au fait que la « puissance transportée demeurant constante du fait de l'absence d'absorption reste localisée dans un même espace à savoir le voisinage immédiat du point  » [30] ;

     dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, la puissance transportée reste constante mais la puissance émise par la source à l'instant   se retrouvant localisée sur le « cercle d'onde  cercle de rayon   à l'instant  [31] » c.-à-d. « sur un espace dont l'expansion   avec  », on en déduit que
     dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, « la puissance transportée par unité de longueur du cercle d'onde   comme  [32] » et par suite que
     dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude de l'O.P.H. [29] comme [33] » ;

     dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, la puissance transportée reste constante mais la puissance émise par la source à l'instant   se retrouvant localisée sur la « sphère d'onde  sphère de rayon   à l'instant  [34] » c.-à-d. « sur un espace dont l'extension   avec  », on en déduit que
     dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, la « puissance transportée par unité de surface de la sphère d'onde   comme  [35] » et par suite que
     dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude de l'O.P.H. [29] comme [36] ».

Cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux d'amplitudes différentes modifier

     Les ondes émises par les sources synchrones   et  , supposées vibrant en phase, s'écrivent «    et  » avec « » ;
             Les ondes émises par les sources synchrones   et  , supposées vibrant elles induisent au point   et à l'instant  , des ondes s'exprimant selon « » dans laquelle «  et   sont l'amplitude de chaque onde en  » [37], «  et   la distance séparant ce dernier de chaque source », «  et   la pulsation spatiale et la longueur d'onde communes » ;
             Les ondes émises par les sources synchrones   et  , supposées vibrant ces ondes en se superposant donnent l'onde résultante «  c.-à-d.    » dans laquelle « » ; la détermination de l'amplitude résultante à l'aide du diagramme de Fresnel [15]  voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par diagramme de Fresnel » plus haut dans ce chapitre  ou de l'amplitude complexe  voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par amplitude complexe » plus haut dans ce chapitre    « » [38].

Interférences constructives modifier

     Les ondes en   interfèrent de façon « constructive » si l'amplitude résultante y est maximale et ceci est réalisé pour
     Les ondes en   interfèrent de façon « constructive » si « ,  » [27] correspondant à des ondes « en phase » [28] ;
     Les ondes en   interfèrent de façon « constructive » l'amplitude résultante vaut alors « » soit, dans le cas où on néglige l'« étalement de l'onde avec la distance parcourue depuis la source », « ».

Interférences destructives modifier

     Les ondes en   interfèrent de façon « destructive » si l'amplitude résultante y est minimale et ceci est réalisé pour
     Les ondes en   interfèrent de façon « destructive » si «   ,  » [27], correspondant à des ondes « en opposition de phase » [28] ;
     Les ondes en   interfèrent de façon « destructive » l'amplitude résultante vaut alors « » soit, dans le cas où on néglige l'« étalement de l'onde avec la distance parcourue depuis la source », « ».

Notion de différence de marche et d'ordre d'interférences modifier

     Le déphasage entre les deux ondes au point   se réécrit à l'aide de la pulsation spatiale commune   et des distances séparant   des sources   et   selon

« » où
«  est la longueur d'onde commune ».

Notion de différence de marche modifier

Notion d'ordre d'interférences modifier

Expression du déphasage en fonction de la différence de marche ou de l'ordre d'interférences modifier

« » [39].

Condition d'interférences constructives ou destructives en termes de différence de marche ou d'ordre d'interférences modifier

Elle se déduit des conditions d'interférences en termes de déphasage.

Condition d'interférences en termes de différence de marche modifier

On utilise « ».

Interférences constructives modifier

     La condition en termes de déphasage  mathématique [27] étant « » se réécrit « » soit

la condition d'interférences constructives en termes de différence de marche
« » [40] ou encore
« la différence de marche doit être un multiple “ entier relatif ” de longueur d'onde ».

Interférences destructives modifier

     La condition en termes de déphasage  mathématique [27] «  ou  » se réécrit «  ou  » soit

la condition d'interférences destructives en termes de différence de marche
« » [41] ou encore
« la différence de marche doit être égale à une demi-longueur d'onde augmentée d'un multiple “ entier relatif ” de longueur d'onde ».

Nature des franges lors d'une propagation bidimensionnelle modifier

     Une frange d'interférences constructives étant l'ensemble des points   tel que « ,   étant un entier relatif fixé »,
     Une frange d'interférences constructives est une « branche d'hyperbole de foyers   et  » [10]  à l'exception de la « frange d'interférences constructives à différence de marche nulle  ou à ordre d'interférences nul » laquelle est la « médiatrice de  »  ;

     une frange d'interférences destructives étant l'ensemble des points   vérifiant « ,   étant un entier relatif fixé »,
     une frange d'interférences destructives est aussi « branche d'hyperbole de foyers   et  » [10].

Nature des surfaces équiphases (ou de même état vibratoire) lors d'une propagation tridimensionnelle modifier

     Préliminaire : Dans le cas d'une propagation tridimensionnelle, un ensemble de points   à différence de marche fixée  ou à ordre d'interférences fixé  étant une surface et non plus une courbe, on ne parle plus de « frange d'interférences » mais de « surface équiphase [42] d'interférences ».

     Exposé : Une surface équiphase [42] d'interférences constructives étant l'ensemble des points   tel que « ,   étant un entier relatif fixé »,
           Exposé : Une surface équiphase d'interférences constructives est une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers   et  » [43]  à l'exception de la « surface équiphase [42] d'interférences constructives à différence de marche nulle  ou à ordre d'interférences nul » laquelle est le « plan médiateur de  »  ;

     Exposé : une surface équiphase [42] d'interférences destructives étant l'ensemble des points   vérifiant « ,   étant un entier relatif fixé »,
           Exposé : une surface équiphase d'interférences destructives est aussi une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers   et  » [43].

     Remarque : Toute coupe d'une surface équiphase [42] d'interférences constructives  ou destructives  par un plan quelconque contenant les sources   et  , c.-à-d.  , définissant une frange d'interférences constructives  ou destructives  du plan   est une « branche d'hyperbole du plan   de foyers   et  » [10]  à l'exception de la « frange d'interférences constructives à différence de marche nulle  ou à ordre d'interférences nul » laquelle est la « médiatrice de  » [44].

     Remarque : Toute coupe d'une surface équiphase [42] d'interférences constructives  ou destructives  par un plan quelconque   à la droite contenant les sources   et  , c.-à-d.  , définissant une frange d'interférences constructives  ou destructives  du plan   est une « cercle du plan   centré sur la droite contenant   et  » [45].

Condition d'interférences en terme d'ordre d'interférences modifier

On utilise « ».

Interférences constructives modifier

     La condition en termes de déphasage  mathématique [27] étant « » se réécrit « » soit

la condition d'interférences constructives en terme d'ordre d'interférences
« » [40] ou encore
« l'ordre d'interférences doit être un entier relatif ».

Interférences destructives modifier

     La condition en termes de déphasage  mathématique [27] «  ou  » se réécrit «  ou  » soit

la condition d'interférences destructives en terme d'ordre d'interférences
« » [41] ou encore
« l'ordre d'interférences doit être égal à un demi augmenté d'un “ entier relatif ” ».

Résultats fondamentaux modifier

Échelle de longueur du phénomène d'interférences et notion d'interfrange dans le plan d'observation, échelle angulaire modifier

Observation dans un plan transversal situé à une distance finie « d » des sources, cas où le plan d'observation est éloigné des sources modifier

 
Disposition relative des sources synchrones et du plan d'observation dans les interférences sur cuve à ondes

     On suppose que les sources synchrones et en phase   et   sont à une distance « » l'une de l'autre et que le plan transversal d'observation,   au plan vertical contenant les deux sources, en est séparé d'une distance « » ;
     on appelle   le milieu de  ,   étant l'intersection de la « médiatrice horizontale de  » [50] avec la « droite d'observation » [51] ;
     on repère le phénomène d'interférences le long de cette droite d'observation orientée selon  [52], le point   où on observe les interférences étant d'abscisse   ;

     partant de   où on observe une vibration d'amplitude maximale, on remarque   en se déplaçant le long de   dans le sens de ce dernier   que l'amplitude de vibration   jusqu'à un point   sans vibration, puis   jusqu'à   où la vibration est de nouveau d'amplitude maximale etc.  
      «  étant successivement les traces des franges d'interférences constructives d'ordre   sur la droite d'observation » [53] et
      «  les traces des franges d'interférences destructives d'ordre   sur la droite d'observation » [54] ;

     les positions successives où on observe une interférence constructive sont-elles réparties régulièrement ? La réponse est « NON » mais
     les positions successives où on observe une interférence constructive sont-elles réparties régulièrement ? « elles le sont néanmoins pratiquement si la distance et que l'on observe en restant au voisinage de c.-à-d. avec »,
     nous nous plaçons pour la suite dans les conditions d'observation suivantes « ».

Évaluation de la différence de marche pour une observation éloignée des sources modifier

     Tout d'abord on évalue le carré de chaque distance aux sources soit « » puis, formant la différence, on obtient « » [55] ;
     ensuite la différence de marche   s'évalue par  , soit « »  dans la mesure où   et   sont des infiniment petits de même ordre un, le produit des deux est un infiniment petit d'ordre deux [56] et par suite, pour déterminer le terme prépondérant de  , il suffira de chercher le terme prépondérant de   ;
     on poursuit en évaluant le terme prépondérant de   sachant que « », d'où     « » ;
     pour terminer on reporte le terme prépondérant de   dans l'expression de       soit finalement

« »  comme «  est un infiniment petit d'ordre un »   « » .

     Remarque : il était possible de déterminer directement la différence de marche   en formant le D.L. [57] de « » à l'ordre un des « infiniment petits   ou  » [58] soit «  à l'ordre un en   ou  » [59] d'où     soit finalement « ».

Position des points d'interférences constructives (ou d'interférences destructives) modifier

     Préliminaire : Par abus on pourra entendre « positions des franges  » mais dans l'expérience de la cuve à ondes il ne s'agit que de l'intersection des franges et de la droite d'observation.

     Exposé : Le « point   d'interférences constructives d'ordre  [60] a pour abscisse  » telle que la différence de marche correspondante vaut « » soit «   »  on remarque que ces points sont « régulièrement répartis », séparés les uns des autres de la longueur  ;

     Exposé : le « point   d'interférences destructives d'ordre  [60] a pour abscisse  » telle que la différence de marche correspondante vaut «   » soit « »  on remarque que ces points sont séparés des points d'interférences constructives les plus proches de [61] d'une part et d'autre part « régulièrement répartis », séparés les uns des autres de la longueur .

Échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation, notion d'interfrange modifier

     Ayant remarqué que les points d'interférences constructives sont « régulièrement répartis » dans le plan d'observation et qu'il en est de même des points d'interférences destructives, la distance séparant deux points d'interférences constructives consécutifs  ou deux points d'interférences destructives consécutifs  définit l'« échelle de longueur caractérisant le phénomène d'interférences dans ce plan d'observation et s'écrit  ».

Échelle angulaire du phénomène d'interférences, lien avec l'échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation modifier

 
Disposition relative des sources synchrones et du plan d'observation dans les interférences sur cuve à ondes

     On peut définir l'inclinaison   de la direction   relativement à celle de   et c'est en fonction de ce « paramètre angulaire » [62] que nous devons évaluer la différence de marche ;

     on évalue d'abord   en fonction de  , par « » où «  est la distance séparant   du milieu   de  »   « », que l'on reporte dans l'expression de   déterminée au début du paragraphe « évaluation de la différence de marche pour une observation éloignée des sources » plus haut dans ce chapitre [55] soit « » [63] ;

     on en déduit la différence de marche « » ou encore « »  dans la mesure où   et   sont des infiniment petits de même ordre un, le produit des deux est un infiniment petit d'ordre deux [56]   le terme prépondérant de   suffit à la détermination du terme prépondérant de   ;

     on poursuit en évaluant le terme prépondérant de   sachant que « » [64] soit, en mettant en facteur le terme prépondérant dans les expressions de   et de  , « » d'où     « » ;
     pour terminer on reporte le terme prépondérant de   dans l'expression de       soit finalement

« »  comme «  est un infiniment petit d'ordre un »   « » .

     Remarque : Il était possible de déterminer directement la différence de marche   en formant le D.L. [57] de « » à l'ordre un de l'« infiniment petit  » [65] soit «  à l'ordre un en  » [59] et, en faisant la différence de ces deux D.L. [57] à l'ordre un en  , « » soit finalement, en observant que « »   « »,

« ».

     Détermination de la direction des points d'interférences : Le point   d'interférences constructives d'ordre [60] est donc « dans la direction  » telle que la « différence de marche      » d'où « » ou, avec  ,

« » [66] ;

     Détermination de la direction des points d'interférences : le point   d'interférences destructives d'ordre [60] est « dans la direction  » telle que la « différence de marche    » soit « » ou, avec  ,

« »[66].

     Détermination de la direction des points d'interférences : Ayant remarqué que les points d'interférences constructives ont des directions régulièrement réparties et qu'il en est de même des points d'interférences destructives, l'écart angulaire séparant deux directions d'interférences constructives consécutives  ou deux directions d'interférences destructives consécutives  définit l'« échelle angulaire caractérisant le phénomène d'interférences et s'écrit     étant en  ».

     Lien entre les échelles angulaire et de longueur dans le plan d'observation du phénomène d'interférences : De la relation liant   et   définie dans le plan d'observation situé à la distance   du plan vertical des deux sources   et  , « » ou, avec  , «    étant en  » [67], on en déduit le « lien entre l'échelle angulaire et l'échelle de longueur dans le plan d'observation du phénomène d'interférences à savoir  » que l'on peut réécrire selon

« ».

Phénomène d'interférences de deux ondes acoustiques modifier

Modifications par rapport aux interférences de deux ondes mécaniques sur une cuve à ondes modifier

     Le milieu de propagation étant maintenant tridimensionnel et supposant toujours la propagation linéaire et non dispersive, le phénomène d'interférences est visible dans tout l'espace et les lieux d'observation des interférences constructives ou destructives  ne sont plus des courbes   comme cela était dans un milieu bidimensionnel   mais des surfaces ;

     on peut aisément prolonger   en adaptant si besoin est   tout ce qui a été vu lors de l'étude des interférences de deux ondes mécaniques sur la surface du liquide de la cuve à ondes.

Principaux résultats modifier

     La superposition, en   et à l'instant  , de deux ondes acoustiques issues des deux sources   et   synchrones et en phase, « » et «   » [68] avec « », «  étant la pulsation spatiale » et «  les distances respectives séparant   des sources   et  »,
     La superposition, donne une onde résultante « » avec « » [69], [70]
     La superposition, donne une onde résultante où le déphasage   est lié à la différence de marche   selon « » ou
     La superposition, donne une onde résultante où le déphasage   est lié à l'ordre d'interférences   selon « ».

     Conditions équivalentes d'interférences constructives : « »           « » [46]           « » [47] ;

     Conditions équivalentes d'interférences constructives : la 2ème condition se réécrivant « » soit encore, pour   entier relatif fixé [71], « », on en déduit que la surface d'interférences constructives d'ordre   est une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers   et  » [43], la surface d'interférences constructives d'ordre   étant le plan médiateur de  .

     Conditions équivalentes d'interférences destructives : « »           « » [48]           « » [49] ;

     Conditions équivalentes d'interférences destructives : la 2ème condition se réécrivant « » soit, pour   entier relatif fixé [72], [73], « », on en déduit que la surface d'interférences destructives d'ordre   est aussi une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers   et  » [43].

Dispositif expérimental modifier

 
Dispositif expérimental pour faire interférer deux ondes acoustiques ultrasonores synchrones

     On peut utiliser le dispositif expérimental schématisé ci-contre :

     deux émetteurs d'ultrasons alimentés par le même générateur de signaux sinusoïdaux réglé sur la fréquence     et écartés l'un de l'autre d'une distance   envoient des ondes acoustiques ultrasonores dans l'espace situé devant eux,

     ces ondes pouvant être captées par un récepteur d'ultrasons situé à une distance   des émetteurs ;

     un dispositif non représenté permet le déplacement transversal du récepteur  c.-à-d. parallèlement à la droite joignant les deux émetteurs  et
     un dispositif non représenté permet de repérer sa position sur une règle graduée fixe longue de   ;

     le récepteur, captant le signal résultant, le transforme en tension sinusoïdale de même fréquence dont l'amplitude est mesurée par un oscilloscope numérique, cette tension étant   à l'amplitude du signal résultant [74].

Résultats expérimentaux modifier

 
Franges d'interférences de deux ondes acoustiques ultrasonores synchrones dans un plan d'observation   aux deux émetteurs

     On appelle   le milieu du segment joignant les deux émetteurs et
     On appelle   la position centrale du récepteur, c.-à-d. l'intersection de la médiatrice du segment joignant les deux émetteurs avec le rail permettant de déplacer le récepteur, comme indiqués sur le schéma du paragraphe « dispositif expérimental » plus haut dans ce chapitre ;

     quand le récepteur est en position centrale on observe des interférences constructives  maximum d'amplitude  puis
     en déplaçant le récepteur d'un côté de    puis de l'autre , on observe une alternance « interférences destructives  minimum d'amplitude    interférences constructives » repérées par la mesure de l'amplitude de la tension   enregistrée par l'oscilloscope simultanément au repérage de la position   du récepteur ;

     on résume ces résultats sur un diagramme où   est en abscisse et   en ordonnée  voir ci-contre  :

  • entre   et   on observe huit interfranges d'où   soit « » ;
  • de   et de   on en déduit le rapport « » ; si on admet la validité de la formule théorique « » [75] on peut déduire de la valeur expérimentale de l'interfrange, la longueur d'onde des ondes acoustiques ultrasonores « » ;
  • on peut alors évaluer la célérité des ondes ultrasonores par     « » d'où
    on peut alors évaluer la célérité des ondes ultrasonores «