Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence

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Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence
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Chapitre no 5
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale
Chap. suiv. :Propagation d'un signal : Battements
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Dispositif expérimental mettant en évidence le phénomène d'interférences de deux ondes mécaniques sur une cuve à ondes

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Dispositif expérimental pour créer et observer des ondes de surface d'un liquide  cuve à ondes 

     Le plateau supérieur au fond transparent, contient le liquide  en général de l'eau  à la surface duquel sont produites des ondes  dites de surface  ;
     l'éclairage, au-dessus de l'appareil, projette l'image de la surface du liquide sur l'écran dépoli vertical de la face avant de la cuve, grâce à un miroir placé à   sous la cuve transparente ; cet éclairage[1] est rendu stroboscopique[2] grâce à un disque rotatif, disposant de deux fentes, placé entre la lampe et la surface du liquide, il permet ainsi, lorsque le disque n'est pas débrayé, d'observer au ralenti le phénomène de propagation des ondes de surface ;

     les vibrations peuvent être produites par une pointe vibrante venant frapper la surface du liquide, la position de la surface frappée étant alors la source d'une « onde progressive sinusoïdale de surface »[3] de fréquence égale à la fréquence du vibreur, cette dernière étant réglée par le boîtier de commande ;

     pour obtenir deux sources vibrant à la même fréquence on peut utiliser deux pointes vibrantes mues par un même vibreur venant frapper la surface du liquide en deux positions différentes ; comme elles sont mues par le même vibreur, elles sont nécessairement synchrones  même fréquence  et en phase si les pointes affleurent la surface libre en même temps ;

     dans ce cas l'éclairage stroboscopique permet d'étudier le phénomène de superposition des deux ondes de surface, phénomène trop rapide pour une observation directe.

Observation stroboscopique, interférences constructives et destructives

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Schématisation d'interférences de deux ondes mécaniques créées à la surface d'un liquide par deux sources synchrones en phase

     Deux perturbations sinusoïdales sont produites en deux points   et   de la cuve à ondes ;
     en chaque point atteint par ces deux ondes ces dernières se superposent et s'additionnent algébriquement   on dit qu'elles « interfèrent ».

     Ci-contre un schéma où figurent les rides circulaires issues de chaque source vibrante  rides pouvant être rendues d'apparence fixe par strosboscopie  ainsi que
     Ci-contre un schéma où figurent leur superposition constructive  on parle d'interférence constructive  matérialisée par les lignes rouges [5] et
     Ci-contre un schéma où figurent leur superposition destructive  on parle d'interférence destructive  matérialisée par les lignes vertes [6].

     On peut observer des lignes d'amplitude maximale  en rouge , lorsque les ondes arrivent en phase : la « différence de marche entre ces deux ondes en un point »[7] définie par  [8] est un multiple de la longueur d'onde  condition pour que les ondes soient en phase , et l'amplitude résultante est double de celle d'une onde seule [9].

     On observe également des lignes « neutres »  en vert , lorsque les deux ondes arrivent en opposition de phase : la « différence de marche entre ces deux ondes en un point »[7] définie par  [8] est alors égale à une demi-longueur d'onde à un multiple de longueurs d'onde près  condition pour que les ondes soient en opposition de phase , sur ces lignes d'interférence destructive, l'eau est au repos [9].

     On établit que ces lignes, ou « franges » d'interférence sont des hyperboles de foyers   et  [10].


Mise en équation du problème d'interférences à la surface du liquide

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     Les ondes émises par les sources synchrones   et   étant respectivement «  et  »[11] se propagent chacune, pour atteindre un point quelconque   de la surface du liquide, suivant une direction différente   et   tout en agissant suivant une même direction   à la surface du liquide[12] ;

     au point   et à l'instant  , avec «  pulsation spatiale commune »[13], «  étant la longueur d'onde commune », l'onde issue de   et celle issue de   s'écrivent respectivement « » dans laquelle «  et   sont respectivement l'amplitude de chaque onde au point  »[14], «  et   étant la distance séparant ce dernier de chaque source » ;

     les ondes agissant suivant une même direction transversale peuvent s'ajouter scalairement et on en déduit l'onde résultante au point   et à l'instant  , «   » ou, avec « » pour simplifier l'écriture, « » ;

     la somme de deux fonctions sinusoïdales de  , de pulsation  , étant une fonction sinusoïdale de  , de même pulsation  , nous notons l'onde résultante «   » ; il reste alors à déterminer l'amplitude résultante  et éventuellement la phase initiale résultante  à l'aide d'une des méthodes exposées dans le paragraphe « traduction de la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » c.-à-d. exposées dans les sous-paragraphes « amplitude et phase initiale résultantes en termes de vecteur de Fresnel »[15] ou « amplitude et phase initiale résultantes en termes d'amplitude complexe ».

Détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par diagramme de Fresnel

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     Il suffit alors de refaire le traitement exposé au chap.  dans le paragraphe « amplitude et phase initiale en termes de vecteur de Fresnel (diagramme de Fresnel[15]) » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »[16] ; on en déduit :

  • l'amplitude résultante « »[17],
  • la phase initiale résultante[18] par « »[17].

     On en déduit l'onde résultante en   et à l'instant   « ».

Détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par amplitude complexe

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     Il suffit alors de refaire le traitement du chap.  dans le paragraphe « amplitude et phase initiale en termes d'amplitude complexe » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »[19] ; on en déduit :

  • l'amplitude résultante « »[17],
  • la phase initiale résultante[18] par « » ou encore
         la phase initiale résultante par « »[17].

     On en déduit l'onde résultante en   et à l'instant   « ».

Condition d'interférences constructives ou destructives en termes de déphasage

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     Soient «  et  » les ondes émises par les sources synchrones   et   supposées vibrant en phase ;

     au point   et à l'instant  , les ondes issues de   et de   s'écrivant respectivement « » dans laquelle «  et   sont l'amplitude de chaque onde en  », «  et   la distance séparant ce dernier de chaque source », «  et   la pulsation spatiale et la longueur d'onde communes »,
     au point   et à l'instant  , les ondes issues de   et de   se superposent en donnant l'onde résultante «     » dans laquelle « » ou, la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation   étant une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation  ,
     au point   et à l'instant  , les ondes issues de   et de   se superposent en donnant l'onde résultante «   » ; la détermination de l'amplitude résultante à l'aide du diagramme de Fresnel[15]  voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par diagramme de Fresnel » plus haut dans ce chapitre  ou de l'amplitude complexe  voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par amplitude complexe » plus haut dans ce chapitre  nous a fourni « ».

Cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux de même amplitude

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     L'application de la formule « » dans le cas particulier où on néglige l'affaiblissement des amplitudes des ondes individuelles avec la distance parcourue, ce qui correspond à « », donne « » ;

     finalement l'amplitude résultante s'écrit « »[20].

Interférences constructives

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     Les ondes en   interfèrent de façon « constructive » si l'amplitude résultante y est maximale et ceci est réalisé pour
     Les ondes en   interfèrent de façon « constructive » si « ,  »[27], correspondant à des ondes « en phase » [28] ;
     Les ondes en   interfèrent de façon « constructive » l'amplitude résultante vaut alors « ».

Interférences destructives

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     Les ondes en   interfèrent de façon « destructive » si l'amplitude résultante y est minimale et ceci est réalisé pour
     Les ondes en   interfèrent de façon « destructive » si « ,  »[27], c.-à-d. pour des ondes « en opposition de phase » [28] ;
     Les ondes en   interfèrent de façon « destructive » l'amplitude résultante vaut alors « » correspondant à l'absence de mouvement.

Variation de l'amplitude d'une O.P.H. dans un milieu bidimensionnel (ou tridimensionnel) non absorbant

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     Dans une propagation unidimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude d'une O.P.H.[29] reste constante », ceci correspondant au fait que la « puissance transportée demeurant constante du fait de l'absence d'absorption reste localisée dans un même espace à savoir le voisinage immédiat du point  » [30] ;

     dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, la puissance transportée reste constante mais la puissance émise par la source à l'instant   se retrouvant localisée sur le « cercle d'onde  cercle de rayon   à l'instant  [31] » c.-à-d. « sur un espace dont l'expansion   avec  », on en déduit que
     dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, « la puissance transportée par unité de longueur du cercle d'onde   comme  [32] » et par suite que
     dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude de l'O.P.H.[29] comme [33] » ;

     dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, la puissance transportée reste constante mais la puissance émise par la source à l'instant   se retrouvant localisée sur la « sphère d'onde  sphère de rayon   à l'instant  [34] » c.-à-d. « sur un espace dont l'extension   avec  », on en déduit que
     dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, la « puissance transportée par unité de surface de la sphère d'onde   comme  [35] » et par suite que
     dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude de l'O.P.H.[29] comme [36] ».

Cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux d'amplitudes différentes

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     Les ondes émises par les sources synchrones   et  , supposées vibrant en phase, s'écrivent «    et  » avec « » ;
             Les ondes émises par les sources synchrones   et  , supposées vibrant elles induisent au point   et à l'instant  , des ondes s'exprimant selon « » dans laquelle «  et   sont l'amplitude de chaque onde en  »[37], «  et   la distance séparant ce dernier de chaque source », «  et   la pulsation spatiale et la longueur d'onde communes » ;
             Les ondes émises par les sources synchrones   et  , supposées vibrant ces ondes en se superposant donnent l'onde résultante «  c.-à-d.    » dans laquelle « » ; la détermination de l'amplitude résultante à l'aide du diagramme de Fresnel[15]  voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par diagramme de Fresnel » plus haut dans ce chapitre  ou de l'amplitude complexe  voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par amplitude complexe » plus haut dans ce chapitre    « »[38].

Interférences constructives

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     Les ondes en   interfèrent de façon « constructive » si l'amplitude résultante y est maximale et ceci est réalisé pour
     Les ondes en   interfèrent de façon « constructive » si « ,  »[27] correspondant à des ondes « en phase » [28] ;
     Les ondes en   interfèrent de façon « constructive » l'amplitude résultante vaut alors « » soit, dans le cas où on néglige l'« étalement de l'onde avec la distance parcourue depuis la source », « ».

Interférences destructives

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     Les ondes en   interfèrent de façon « destructive » si l'amplitude résultante y est minimale et ceci est réalisé pour
     Les ondes en   interfèrent de façon « destructive » si «   ,  »[27], correspondant à des ondes « en opposition de phase » [28] ;
     Les ondes en   interfèrent de façon « destructive » l'amplitude résultante vaut alors « » soit, dans le cas où on néglige l'« étalement de l'onde avec la distance parcourue depuis la source », « ».

Notion de différence de marche et d'ordre d'interférences

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     Le déphasage entre les deux ondes au point   se réécrit à l'aide de la pulsation spatiale commune   et des distances séparant   des sources   et   selon

« » où
«  est la longueur d'onde commune ».

Notion de différence de marche

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Notion d'ordre d'interférences

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Expression du déphasage en fonction de la différence de marche ou de l'ordre d'interférences

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« »[39].

Condition d'interférences constructives ou destructives en termes de différence de marche ou d'ordre d'interférences

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Elle se déduit des conditions d'interférences en termes de déphasage.

Condition d'interférences en termes de différence de marche

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On utilise « ».

Interférences constructives

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     La condition en termes de déphasage  mathématique [27] étant « » se réécrit « » soit

la condition d'interférences constructives en termes de différence de marche
« »[40] ou encore
« la différence de marche doit être un multiple “ entier relatif ” de longueur d'onde ».

Interférences destructives

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     La condition en termes de déphasage  mathématique [27] «  ou  » se réécrit «  ou  » soit

la condition d'interférences destructives en termes de différence de marche
« »[41] ou encore
« la différence de marche doit être égale à une demi-longueur d'onde augmentée d'un multiple “ entier relatif ” de longueur d'onde ».

Nature des franges lors d'une propagation bidimensionnelle

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     Une frange d'interférences constructives étant l'ensemble des points   tel que « ,   étant un entier relatif fixé »,
     Une frange d'interférences constructives est une « branche d'hyperbole de foyers   et  »[10]  à l'exception de la « frange d'interférences constructives à différence de marche nulle  ou à ordre d'interférences nul » laquelle est la « médiatrice de  »  ;

     une frange d'interférences destructives étant l'ensemble des points   vérifiant « ,   étant un entier relatif fixé »,
     une frange d'interférences destructives est aussi « branche d'hyperbole de foyers   et  »[10].

Nature des surfaces équiphases (ou de même état vibratoire) lors d'une propagation tridimensionnelle

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     Préliminaire : Dans le cas d'une propagation tridimensionnelle, un ensemble de points   à différence de marche fixée  ou à ordre d'interférences fixé  étant une surface et non plus une courbe, on ne parle plus de « frange d'interférences » mais de « surface équiphase[42] d'interférences ».

     Exposé : Une surface équiphase[42] d'interférences constructives étant l'ensemble des points   tel que « ,   étant un entier relatif fixé »,
           Exposé : Une surface équiphase d'interférences constructives est une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers   et  »[43]  à l'exception de la « surface équiphase[42] d'interférences constructives à différence de marche nulle  ou à ordre d'interférences nul » laquelle est le « plan médiateur de  »  ;

     Exposé : une surface équiphase[42] d'interférences destructives étant l'ensemble des points   vérifiant « ,   étant un entier relatif fixé »,
           Exposé : une surface équiphase d'interférences destructives est aussi une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers   et  »[43].

     Remarque : Toute coupe d'une surface équiphase[42] d'interférences constructives  ou destructives  par un plan quelconque contenant les sources   et  , c.-à-d.  , définissant une frange d'interférences constructives  ou destructives  du plan   est une « branche d'hyperbole du plan   de foyers   et  »[10]  à l'exception de la « frange d'interférences constructives à différence de marche nulle  ou à ordre d'interférences nul » laquelle est la « médiatrice de  » [44].

     Remarque : Toute coupe d'une surface équiphase[42] d'interférences constructives  ou destructives  par un plan quelconque   à la droite contenant les sources   et  , c.-à-d.  , définissant une frange d'interférences constructives  ou destructives  du plan   est une « cercle du plan   centré sur la droite contenant   et  »[45].

Condition d'interférences en termes d'ordre d'interférences

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On utilise « ».

Interférences constructives

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     La condition en termes de déphasage  mathématique [27] étant « » se réécrit « » soit

la condition d'interférences constructives en termes d'ordre d'interférences
« »[40] ou encore
« l'ordre d'interférences doit être un entier relatif ».

Interférences destructives

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     La condition en termes de déphasage  mathématique [27] «  ou  » se réécrit «  ou  » soit

la condition d'interférences destructives en termes d'ordre d'interférences
« »[41] ou encore
« l'ordre d'interférences doit être égal à un demi augmenté d'un “ entier relatif ” ».

Résultats fondamentaux

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Échelle de longueur du phénomène d'interférences et notion d'interfrange dans le plan d'observation, échelle angulaire

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Observation dans un plan transversal situé à une distance finie « d » des sources, cas où le plan d'observation est éloigné des sources

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Disposition relative des sources synchrones et du plan d'observation dans les interférences sur cuve à ondes

     On suppose que les sources synchrones et en phase   et   sont à une distance « » l'une de l'autre et que le plan transversal d'observation,   au plan vertical contenant les deux sources, en est séparé d'une distance « » ;
     on appelle   le milieu de  ,   étant l'intersection de la « médiatrice horizontale de  »[50] avec la « droite d'observation » [51] ;
     on repère le phénomène d'interférences le long de cette droite d'observation orientée selon  [52], le point   où on observe les interférences étant d'abscisse   ;

     partant de   où on observe une vibration d'amplitude maximale, on remarque   en se déplaçant le long de   dans le sens de ce dernier   que l'amplitude de vibration   jusqu'à un point   sans vibration, puis   jusqu'à   où la vibration est de nouveau d'amplitude maximale etc.  
      «  étant successivement les traces des franges d'interférences constructives d'ordre   sur la droite d'observation »[53] et
      «  les traces des franges d'interférences destructives d'ordre   sur la droite d'observation »[54] ;

     les positions successives où on observe une interférence constructive sont-elles réparties régulièrement ? La réponse est « NON » mais
     les positions successives où on observe une interférence constructive sont-elles réparties régulièrement ? « elles le sont néanmoins pratiquement si la distance et que l'on observe en restant au voisinage de c.-à-d. avec »,
     nous nous plaçons pour la suite dans les conditions d'observation suivantes « ».

Évaluation de la différence de marche pour une observation éloignée des sources

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     Tout d'abord on évalue le carré de chaque distance aux sources soit « » puis, formant la différence, on obtient « »[55] ;
     ensuite la différence de marche   s'évalue par  , soit « »  dans la mesure où   et   sont des infiniment petits de même ordre un, le produit des deux est un infiniment petit d'ordre deux[56] et par suite, pour déterminer le terme prépondérant de  , il suffira de chercher le terme prépondérant de   ;
     on poursuit en évaluant le terme prépondérant de   sachant que « », d'où     « » ;
     pour terminer on reporte le terme prépondérant de   dans l'expression de       soit finalement

« »  comme «  est un infiniment petit d'ordre un »   « » .

     Remarque : il était possible de déterminer directement la différence de marche   en formant le D.L.[57] de « » à l'ordre un des « infiniment petits   ou  »[58] soit «  à l'ordre un en   ou  »[59] d'où     soit finalement « ».

Position des points d'interférences constructives (ou d'interférences destructives)

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     Préliminaire : Par abus on pourra entendre « positions des franges  » mais dans l'expérience de la cuve à ondes il ne s'agit que de l'intersection des franges et de la droite d'observation.

     Exposé : Le « point   d'interférences constructives d'ordre  [60] a pour abscisse  » telle que la différence de marche correspondante vaut « » soit «   »  on remarque que ces points sont « régulièrement répartis », séparés les uns des autres de la longueur  ;

     Exposé : le « point   d'interférences destructives d'ordre  [60] a pour abscisse  » telle que la différence de marche correspondante vaut «   » soit « »  on remarque que ces points sont séparés des points d'interférences constructives les plus proches de [61] d'une part et d'autre part « régulièrement répartis », séparés les uns des autres de la longueur .

Échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation, notion d'interfrange

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     Ayant remarqué que les points d'interférences constructives sont « régulièrement répartis » dans le plan d'observation et qu'il en est de même des points d'interférences destructives, la distance séparant deux points d'interférences constructives consécutifs  ou deux points d'interférences destructives consécutifs  définit l'« échelle de longueur caractérisant le phénomène d'interférences dans ce plan d'observation et s'écrit  ».

Échelle angulaire du phénomène d'interférences, lien avec l'échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation

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Disposition relative des sources synchrones et du plan d'observation dans les interférences sur cuve à ondes

     On peut définir l'inclinaison   de la direction   relativement à celle de   et c'est en fonction de ce « paramètre angulaire » [62] que nous devons évaluer la différence de marche ;

     on évalue d'abord   en fonction de  , par « » où «  est la distance séparant   du milieu   de  »   « », que l'on reporte dans l'expression de   déterminée au début du paragraphe « évaluation de la différence de marche pour une observation éloignée des sources » plus haut dans ce chapitre[55] soit « »[63] ;

     on en déduit la différence de marche « » ou encore « »  dans la mesure où   et   sont des infiniment petits de même ordre un, le produit des deux est un infiniment petit d'ordre deux[56]   le terme prépondérant de   suffit à la détermination du terme prépondérant de   ;

     on poursuit en évaluant le terme prépondérant de   sachant que « »[64] soit, en mettant en facteur le terme prépondérant dans les expressions de   et de  , « » d'où     « » ;
     pour terminer on reporte le terme prépondérant de   dans l'expression de       soit finalement

« »  comme «  est un infiniment petit d'ordre un »   « » .

     Remarque : Il était possible de déterminer directement la différence de marche   en formant le D.L.[57] de « » à l'ordre un de l'« infiniment petit  »[65] soit «