En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dispositif expérimental pour créer et observer des ondes de surface d'un liquide cuve à ondes
Le plateau supérieur au fond transparent, contient le liquide en général de l'eau à la surface duquel sont produites des ondes dites de surface ; l'éclairage, au-dessus de l'appareil, projette l'image de la surface du liquide sur l'écran dépoli vertical de la face avant de la cuve, grâce à un miroir placé à sous la cuve transparente ; cet éclairage[1] est rendu stroboscopique[2] grâce à un disque rotatif, disposant de deux fentes, placé entre la lampe et la surface du liquide, il permet ainsi, lorsque le disque n'est pas débrayé, d'observer au ralenti le phénomène de propagation des ondes de surface ;
les vibrations peuvent être produites par une pointe vibrante venant frapper la surface du liquide, la position de la surface frappée étant alors la source d'une « onde progressive sinusoïdale de surface »[3] de fréquence égale à la fréquence du vibreur, cette dernière étant réglée par le boîtier de commande ;
pour obtenir deux sources vibrant à la même fréquence on peut utiliser deux pointes vibrantes mues par un même vibreur venant frapper la surface du liquide en deux positions différentes ; comme elles sont mues par le même vibreur, elles sont nécessairement synchronesmême fréquence et en phase si les pointes affleurent la surface libre en même temps ;
dans ce cas l'éclairage stroboscopique permet d'étudier le phénomène de superposition des deux ondes de surface, phénomène trop rapide pour une observation directe.
Remarque
Les vibrations peuvent aussi être produites par un « jet d'air alimenté par une pompe et effleurant la surface du liquide » si l'on souhaite une seule source ; si l'on souhaite deux sources synchrones nécessaires à l'étude des phénomènes d'interférences, on peut utiliser l'« association de deux canules alimentées en air par un même tuyau, chaque canule effleurant la surface du liquide à un endroit différent » ; un générateur « pneumatique »[4] permet alors de régler la fréquence des vibrations transmises par le courant d'air pulsé.
Observation stroboscopique, interférences constructives et destructives
Schématisation d'interférences de deux ondes mécaniques créées à la surface d'un liquide par deux sources synchrones en phase
Deux perturbations sinusoïdales sont produites en deux points et de la cuve à ondes ; en chaque point atteint par ces deux ondes ces dernières se superposent et s'additionnent algébriquement on dit qu'elles « interfèrent ».
Ci-contre un schéma où figurent les rides circulaires issues de chaque source vibrante rides pouvant être rendues d'apparence fixe par strosboscopie ainsi que Ci-contre un schéma où figurent leur superposition constructive on parle d'interférence constructive matérialisée par les lignes rouges [5] et Ci-contre un schéma où figurent leur superposition destructive on parle d'interférence destructive matérialisée par les lignes vertes [6].
On peut observer des lignes d'amplitude maximale en rouge, lorsque les ondes arrivent en phase : la « différence de marche entre ces deux ondes en un point »[7] définie par [8] est un multiple de la longueur d'onde condition pour que les ondes soient en phase, et l'amplitude résultante est double de celle d'une onde seule [9].
On observe également des lignes « neutres » en vert, lorsque les deux ondes arrivent en opposition de phase : la « différence de marche entre ces deux ondes en un point »[7] définie par [8] est alors égale à une demi-longueur d'onde à un multiple de longueurs d'onde près condition pour que les ondes soient en opposition de phase, sur ces lignes d'interférence destructive, l'eau est au repos [9].
On établit que ces lignes, ou « franges » d'interférence sont des hyperboles de foyers et [10].
Mise en équation du problème d'interférences à la surface du liquide
Les ondes émises par les sources synchrones et étant respectivement « et »[11] se propagent chacune, pour atteindre un point quelconque de la surface du liquide, suivant une direction différente et tout en agissant suivant une même direction à la surface du liquide[12] ;
au point et à l'instant , avec « pulsation spatiale commune »[13], « étant la longueur d'onde commune », l'onde issue de et celle issue de s'écrivent respectivement «» dans laquelle « et sont respectivement l'amplitude de chaque onde au point »[14], « et étant la distance séparant ce dernier de chaque source » ;
les ondes agissant suivant une même direction transversale peuvent s'ajouter scalairement et on en déduit l'onde résultante au point et à l'instant , «» ou, avec «» pour simplifier l'écriture, «» ;
Soient « et » les ondes émises par les sources synchrones et supposées vibrant en phase ;
au point et à l'instant , les ondes issues de et de s'écrivant respectivement «» dans laquelle « et sont l'amplitude de chaque onde en », « et la distance séparant ce dernier de chaque source », « et la pulsation spatiale et la longueur d'onde communes », au point et à l'instant , les ondes issues de et de se superposent en donnant l'onde résultante «» dans laquelle «» ou, la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation étant une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation , au point et à l'instant , les ondes issues de et de se superposent en donnant l'onde résultante «» ; la détermination de l'amplitude résultante à l'aide du diagramme de Fresnel[15]voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par diagramme de Fresnel » plus haut dans ce chapitre ou de l'amplitude complexe voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par amplitude complexe » plus haut dans ce chapitre nous a fourni «».
Cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux de même amplitude
L'application de la formule «» dans le cas particulier où on néglige l'affaiblissement des amplitudes des ondes individuelles avec la distance parcourue, ce qui correspond à «», donne «» ;
Détermination directe de l'amplitude résultante dans le cas de même amplitude
Tracé du diagramme de Fresnel[15] de la somme de deux ondes dans le cas où les amplitudes sont les mêmes
Quand les deux ondes interférant sont de même amplitude, il est souhaitable de déterminer l'amplitude résultante directement par diagramme de Fresnel[15] ou par amplitude complexe comme indiqué ci-dessous :
par diagramme de Fresnel[15]représenté ci-contre : il y a deux cas à considérer suivant que est ou à [21] mais dans les deux cas on obtient un losange dont on cherche à déterminer la longueur de la diagonale ; pour cela on utilise le fait que les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu, qu'elles sont et que chacune d'entre elles est bissectrice des angles dont elles joignent les sommets, ce qui permet de trouver : si [22], où «» ; si [22], , où et d'où finalement «»[23] ;
par amplitude complexe : prenant le module de l'amplitude complexe nous obtenons [24] ou, le 1er facteur de l'expression prise en module étant de module et le 2nd se transformant grâce à l'une des formules d'Euler[25],[26] «».
Les ondes en interfèrent de façon « constructive » si l'amplitude résultante y est maximale et ceci est réalisé pour Les ondes en interfèrent de façon « constructive » si «, »[27], correspondant à des ondes « en phase » [28] ; Les ondes en interfèrent de façon « constructive » l'amplitude résultante vaut alors «».
Les ondes en interfèrent de façon « destructive » si l'amplitude résultante y est minimale et ceci est réalisé pour Les ondes en interfèrent de façon « destructive » si «, »[27], c.-à-d. pour des ondes « en opposition de phase » [28] ; Les ondes en interfèrent de façon « destructive » l'amplitude résultante vaut alors «» correspondant à l'absence de mouvement.
Variation de l'amplitude d'une O.P.H. dans un milieu bidimensionnel (ou tridimensionnel) non absorbant
Dans une propagation unidimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude d'une O.P.H.[29] reste constante », ceci correspondant au fait que la « puissance transportée demeurant constante du fait de l'absence d'absorption reste localisée dans un même espace à savoir le voisinage immédiat du point » [30] ;
dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, la puissance transportée reste constante mais la puissance émise par la source à l'instant se retrouvant localisée sur le « cercle d'onde cercle de rayon à l'instant [31] » c.-à-d. « sur un espace dont l'expansion avec », on en déduit que dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, « la puissance transportée par unité de longueur du cercle d'onde comme [32] » et par suite que dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude de l'O.P.H.[29]comme[33] » ;
dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, la puissance transportée reste constante mais la puissance émise par la source à l'instant se retrouvant localisée sur la « sphère d'onde sphère de rayon à l'instant [34] » c.-à-d. « sur un espace dont l'extension avec », on en déduit que dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, la « puissance transportée par unité de surface de la sphère d'onde comme [35] » et par suite que dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude de l'O.P.H.[29]comme[36] ».
Cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux d'amplitudes différentes
Les ondes émises par les sources synchrones et , supposées vibrant en phase, s'écrivent « et » avec «» ; Les ondes émises par les sources synchrones et , supposées vibrant elles induisent au point et à l'instant , des ondes s'exprimant selon «» dans laquelle « et sont l'amplitude de chaque onde en »[37], « et la distance séparant ce dernier de chaque source », « et la pulsation spatiale et la longueur d'onde communes » ; Les ondes émises par les sources synchrones et , supposées vibrant ces ondes en se superposant donnent l'onde résultante « c.-à-d. » dans laquelle «» ; la détermination de l'amplitude résultante à l'aide du diagramme de Fresnel[15]voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par diagramme de Fresnel » plus haut dans ce chapitre ou de l'amplitude complexe voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par amplitude complexe » plus haut dans ce chapitre «»[38].
Les ondes en interfèrent de façon « constructive » si l'amplitude résultante y est maximale et ceci est réalisé pour Les ondes en interfèrent de façon « constructive » si «, »[27] correspondant à des ondes « en phase » [28] ; Les ondes en interfèrent de façon « constructive » l'amplitude résultante vaut alors «» soit, dans le cas où on néglige l'« étalement de l'onde avec la distance parcourue depuis la source », «».
Les ondes en interfèrent de façon « destructive » si l'amplitude résultante y est minimale et ceci est réalisé pour Les ondes en interfèrent de façon « destructive » si «, »[27], correspondant à des ondes « en opposition de phase » [28] ; Les ondes en interfèrent de façon « destructive » l'amplitude résultante vaut alors «» soit, dans le cas où on néglige l'« étalement de l'onde avec la distance parcourue depuis la source », «».
Notion de différence de marche et d'ordre d'interférences
La différence de marche au point entre les ondes issues des deux sources ponctuelles synchrones et est la différence de parcours entre ces deux ondes au point à partir de leurs sources respectives c.-à-d.
«» avec et ; la différence de marche s'exprime en .
L'ordre d'interférences au point entre les ondes issues des deux sources ponctuelles synchrones et est le « nombre réel » mesurant la différence de marche au point entre ces deux ondes en unité « longueur d'onde » c.-à-d.
«», l'ordre d'interférences est « sans unité ».
Expression du déphasage en fonction de la différence de marche ou de l'ordre d'interférences
La condition en termes de déphasage mathématique[27] étant «» se réécrit «» soit
la condition d'interférences constructives en termes de différence de marche «»[40] ou encore « la différence de marche doit être un multiple “ entier relatif ” de longueur d'onde ».
La condition en termes de déphasage mathématique[27] « ou » se réécrit « ou » soit
la condition d'interférences destructives en termes de différence de marche «»[41] ou encore « la différence de marche doit être égale à une demi-longueur d'onde augmentée d'un multiple “ entier relatif ” de longueur d'onde ».
Nature des franges lors d'une propagation bidimensionnelle
Une frange d'interférences constructives étant l'ensemble des points tel que «, étant un entier relatif fixé », Une frange d'interférences constructives est une « branche d'hyperbole de foyers et »[10]à l'exception de la « frange d'interférences constructives à différence de marche nulle ou à ordre d'interférences nul» laquelle est la « médiatrice de » ;
une frange d'interférences destructives étant l'ensemble des points vérifiant «, étant un entier relatif fixé », une frange d'interférences destructives est aussi « branche d'hyperbole de foyers et »[10].
Nature des surfaces équiphases (ou de même état vibratoire) lors d'une propagation tridimensionnelle
Préliminaire : Dans le cas d'une propagation tridimensionnelle, un ensemble de points à différence de marche fixée ou à ordre d'interférences fixé étant une surface et non plus une courbe, on ne parle plus de « frange d'interférences » mais de « surface équiphase[42] d'interférences ».
Exposé : Une surface équiphase[42] d'interférences constructives étant l'ensemble des points tel que «, étant un entier relatif fixé », Exposé : Une surface équiphase d'interférences constructives est une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers et »[43]à l'exception de la « surface équiphase[42] d'interférences constructives à différence de marche nulle ou à ordre d'interférences nul» laquelle est le « plan médiateur de » ;
Exposé : une surface équiphase[42] d'interférences destructives étant l'ensemble des points vérifiant «, étant un entier relatif fixé », Exposé : une surface équiphase d'interférences destructives est aussi une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers et »[43].
Remarque : Toute coupe d'une surface équiphase[42] d'interférences constructives ou destructives par un plan quelconque contenant les sources et , c.-à-d. , définissant une frange d'interférences constructives ou destructives du plan est une « branche d'hyperbole du plan de foyers et »[10]à l'exception de la « frange d'interférences constructives à différence de marche nulle ou à ordre d'interférences nul» laquelle est la « médiatrice de »[44].
Remarque : Toute coupe d'une surface équiphase[42] d'interférences constructives ou destructives par un plan quelconque à la droite contenant les sources et , c.-à-d. , définissant une frange d'interférences constructives ou destructives du plan est une « cercle du plan centré sur la droite contenant et »[45].
Condition d'interférences en termes d'ordre d'interférences
La condition en termes de déphasage mathématique[27] « ou » se réécrit « ou » soit
la condition d'interférences destructives en termes d'ordre d'interférences «»[41] ou encore « l'ordre d'interférences doit être égal à un demi augmenté d'un “ entier relatif ” ».
Disposition relative des sources synchrones et du plan d'observation dans les interférences sur cuve à ondes
On suppose que les sources synchrones et en phase et sont à une distance «» l'une de l'autre et que le plan transversal d'observation, au plan vertical contenant les deux sources, en est séparé d'une distance «» ; on appelle le milieu de , étant l'intersection de la « médiatrice horizontale de »[50] avec la « droite d'observation » [51] ; on repère le phénomène d'interférences le long de cette droite d'observation orientée selon [52], le point où on observe les interférences étant d'abscisse ;
partant de où on observe une vibration d'amplitude maximale, on remarque en se déplaçant le long de dans le sens de ce dernier que l'amplitude de vibration jusqu'à un point sans vibration, puis jusqu'à où la vibration est de nouveau d'amplitude maximale etc. « étant successivement les traces des franges d'interférences constructives d'ordre sur la droite d'observation »[53] et « les traces des franges d'interférences destructives d'ordre sur la droite d'observation »[54] ;
les positions successives où on observe une interférence constructive sont-elles réparties régulièrement ? La réponse est « NON » mais les positions successives où on observe une interférence constructive sont-elles réparties régulièrement ? « elles le sont néanmoins pratiquement si la distanceet que l'on observe en restant au voisinage dec.-à-d. avec», nous nous plaçons pour la suite dans les conditions d'observation suivantes «».
Évaluation de la différence de marche pour une observation éloignée des sources
Tout d'abord on évalue le carré de chaque distance aux sources soit «» puis, formant la différence, on obtient «»[55] ; ensuite la différence de marche s'évalue par , soit «» dans la mesure où et sont des infiniment petits de même ordre un, le produit des deux est un infiniment petit d'ordre deux[56] et par suite, pour déterminer le terme prépondérant de , il suffira de chercher le terme prépondérant de ; on poursuit en évaluant le terme prépondérant de sachant que «», d'où «» ; pour terminer on reporte le terme prépondérant de dans l'expression de soit finalement
«» comme « est un infiniment petit d'ordre un » «».
Remarque : il était possible de déterminer directement la différence de marche en formant le D.L.[57] de «» à l'ordre un des « infiniment petits ou »[58] soit « à l'ordre un en ou »[59] d'où soit finalement «».
Position des points d'interférences constructives (ou d'interférences destructives)
Préliminaire : Par abus on pourra entendre « positions des franges » mais dans l'expérience de la cuve à ondes il ne s'agit que de l'intersection des franges et de la droite d'observation.
Exposé : Le « point d'interférences constructives d'ordre [60] a pour abscisse » telle que la différence de marche correspondante vaut «» soit «» on remarque que ces points sont « régulièrement répartis », séparés les uns des autres de la longueur ;
Exposé : le « point d'interférences destructives d'ordre [60] a pour abscisse » telle que la différence de marche correspondante vaut «» soit «» on remarque que ces points sont séparés des points d'interférences constructives les plus proches de[61] d'une part et d'autre part « régulièrement répartis », séparés les uns des autres de la longueur.
Échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation, notion d'interfrange
Ayant remarqué que les points d'interférences constructives sont « régulièrement répartis » dans le plan d'observation et qu'il en est de même des points d'interférences destructives, la distance séparant deux points d'interférences constructives consécutifsou deux points d'interférences destructives consécutifs définit l'« échelle de longueur caractérisant le phénomène d'interférences dans ce plan d'observation et s'écrit ».
Interfrange
On appelle « interfrange », usuellement notée «», la distance séparant des positions successives de même état d'interférence, elle s'identifie donc à l'échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation soit
«».
Échelle angulaire du phénomène d'interférences, lien avec l'échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation
Disposition relative des sources synchrones et du plan d'observation dans les interférences sur cuve à ondes
On peut définir l'inclinaison de la direction relativement à celle de et c'est en fonction de ce « paramètre angulaire » [62] que nous devons évaluer la différence de marche ;
on en déduit la différence de marche «» ou encore «» dans la mesure où et sont des infiniment petits de même ordre un, le produit des deux est un infiniment petit d'ordre deux[56] le terme prépondérant de suffit à la détermination du terme prépondérant de ;
on poursuit en évaluant le terme prépondérant de sachant que «»[64] soit, en mettant en facteur le terme prépondérant dans les expressions de et de , «» d'où «» ; pour terminer on reporte le terme prépondérant de dans l'expression de soit finalement
«» comme « est un infiniment petit d'ordre un » «».
Remarque : Il était possible de déterminer directement la différence de marche en formant le D.L.[57] de «» à l'ordre un de l'« infiniment petit »[65] soit «