Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes

Réponse en intensité d'un circuit « L parallèle sur R » en série avec C, soumis à une tension de valeur efficace fixée

Schéma d'un circuit composé d'un «$\;R\,L\;\parallel \;$» en série avec $\;C$, ensemble soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence fixées

     On impose au circuit ci-contre une tension sinusoïdale $\;u(t)=U\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t)$, la réponse forcée en intensité de courant circulant dans le circuit étant mise sous la forme $\;i(t)=I\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t-\varphi )\;$.

Condition pour que l'intensité efficace I du courant circulant dans le circuit soit indépendante de R

     Après avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, déterminer l'intensité efficace complexe du courant y circulant et
     Après avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, en déduire son intensité efficace $\;I\;$ en fonction de $\;L$, $\;C$, $\;R$, $\;U\;$ et $\;\omega$ ;

     Après avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, déterminer à quelle condition de pulsation, $\;I\;$ est indépendante de $\;R$.

Solution

Schéma en complexe d'un circuit composé d'un «$\;R\,L\;\parallel \;$» en série avec $\;C$, ensemble soumis à une tension instantanée complexe de valeur efficace complexe fixée

     On impose au circuit ci-dessus une tension sinusoïdale $\;u(t)=U\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t)\;$ à laquelle on associe la tension instantanée complexe «$\;{\underline {u}}(t)=U\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$» et on cherche la réponse forcée en intensité de courant circulant dans le circuit sous la forme $\;i(t)=I\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t-\varphi )\;$ à laquelle on associe l'intensité instantanée complexe «$\;{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$» avec l'intensité efficace complexe définie par «$\;{\underline {I}}=I\,\exp(-j\,\varphi )\;$» ${\big (}$voir le schéma en complexe ci-contre${\big )}$ ;

     l'impédance complexe du circuit se définit alors selon «$\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {i}}(t)}}={\dfrac {U}{\underline {I}}}={\dfrac {U}{I}}\,\exp(j\,\varphi )=Z(\omega )\,\exp \!\left[j\,\varphi (\omega )\right]\;$», avec «$\;{\dfrac {U}{I}}=Z(\omega )=\vert {\underline {Z}}(j\,\omega )\vert \;$ l'impédance du circuit » et «$\;\varphi (\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z}}(j\,\omega )\right]\;$ l'avance de phase de la tension sur l'intensité » ;

     l'impédance complexe du circuit étant l'association série d'un « condensateur de capacité $\;C$, d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}\;$» et de l'« association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ avec une bobine parfaite d'inductance propre $\;L$, d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\;L\;\omega$, association parallèle d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{L\,\parallel \,R}}}(j\,\omega )={\dfrac {R\;j\;L\;\omega }{R+j\;L\;\omega }}\;$», on en déduit $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{L\,\parallel \,R}}}(j\,\omega )\;$ $={\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}+{\dfrac {R\;j\;L\;\omega }{R+j\;L\;\omega }}\;$ soit en réduisant au même dénominateur «$\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\dfrac {R\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)+j\;L\;\omega }{j\;C\;\omega \left(R+j\;L\;\omega \right)}}\;$» ;      on en déduit l'intensité efficace complexe du courant circulant dans le circuit «$\;{\underline {I}}={\dfrac {U}{{\underline {Z}}(j\,\omega )}}={\dfrac {j\;C\;\omega \left(R+j\;L\;\omega \right)}{R\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)+j\;L\;\omega }}\;U\;$» dont on tire, en en prenant le module,
     on en déduit l'intensité efficace $\;I={\Bigg \vert }{\dfrac {j\;C\;\omega \left(R+j\;L\;\omega \right)}{R\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)+j\;L\;\omega }}{\Bigg \vert }\;U\;$ ou $\;I={\dfrac {C\;\omega \;{\sqrt {R^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}}}{\sqrt {R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}}}\;U\;$ soit encore «$\;I={\sqrt {\dfrac {R^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}{R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}}}\;C\;\omega \;U\;$» ;      l'intensité efficace sera indépendante de $\;R\;$ « si $\;f(R^{2})=\left({\dfrac {I}{C\;\omega \;U}}\right)^{\!2}={\dfrac {R^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}{R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}}\;$ ne dépend pas de $\;R^{2}\;$» ; on cherchera donc la condition pour que «$\;{\dfrac {df}{d(R^{2})}}=0\;$» soit, avec $\;{\dfrac {df}{d(R^{2})}}=$ ${\dfrac {\left[R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}\right]-\left[R^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}\right]\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}}{\left[R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}\right]^{2}}}=$ ${\dfrac {L^{2}\;\omega ^{2}\left[1-\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}\right]}{\left[R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{\!2}+L^{2}\;\omega ^{2}\right]^{\!2}}}={\dfrac {L^{2}\;\omega ^{2}\left[L\;C\;\omega ^{2}\left(2-L^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}\right)\right]}{\left[R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{\!2}+L^{2}\;\omega ^{2}\right]^{2}}}\;$ dont « l'annulation est réalisée si $\;L\;C\;\omega ^{2}=2\;$» c'est-à-dire « pour la pulsation $\;\omega _{1}={\sqrt {\dfrac {2}{L\;C}}}\;$». L'intensité efficace $\;I\;$ est indépendante de $\;R\;$ « pour la pulsation $\;\omega _{1}={\sqrt {\dfrac {2}{L\;C}}}\;$».

 

Dans cette condition évaluation de l'intensité efficace I₁ du courant ainsi que l'avance de phase φ₁ de la tension sur l'intensité

     La condition précédente étant réalisée déterminer la valeur $\;I_{1}\;$ de l'intensité efficace du courant traversant le circuit et

     La condition précédente étant réalisée déterminer la valeur $\;\varphi _{1}\;$ de l'avance de phase de la tension imposée au circuit sur l'intensité du courant le traversant.

Solution

     La condition que l'intensité efficace du courant traversant le circuit ne dépende pas de $\;R\;$ étant que «$\;\omega =\omega _{1}\;$ avec $\;L\;C\;\omega _{1}^{2}=2\;$», on en déduit l'intensité efficace complexe «$\;{\underline {I}}_{1}={\dfrac {j\;C\;\omega _{1}\left(R+j\;L\;\omega _{1}\right)}{-R+j\;L\;\omega _{1}}}\;U\;$» et par suite, en en prenant le module «$\;I_{1}=\vert {\underline {I}}_{1}\vert =C\;\omega _{1}\;U={\sqrt {\dfrac {2\;C}{L}}}\;U\;$» ;      sous la même condition d'indépendance de l'intensité efficace du courant traversant le circuit relativement à $\;R$, l'avance de phase de la tension sur l'intensité du courant se détermine par «$\;\varphi _{1}=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I}}_{1}\right]=$ $-\mathrm {arg} \!\left(j\;C\;\omega _{1}\right)-\mathrm {arg} \!\left(R+j\;L\;\omega _{1}\right)+\mathrm {arg} \!\left(-R+j\;L\;\omega _{1}\right)=-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)+\mathrm {arg} \;\left[(-1)(R-j\;L\;\omega _{1})\right]\;$» soit «$\;\varphi _{1}=-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)+\pi -\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)\;$» en prenant $\;\mathrm {arg} (-1)$ $=\pi \;$ et finalement «$\;\varphi _{1}={\dfrac {\pi }{2}}-2\,\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)={\dfrac {\pi }{2}}-2\,\arctan \!\left({\dfrac {1}{R}}\;{\sqrt {\dfrac {2\;L}{C}}}\right)\;$».

 

Condition supplémentaire pour que la tension et l'intensité soient en phase

     En déduire la condition supplémentaire pour que $\;\varphi _{1}\;$ soit nul.

Solution

     De «$\;\varphi _{1}={\dfrac {\pi }{2}}-2\,\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)={\dfrac {\pi }{2}}-2\,\arctan \!\left({\dfrac {1}{R}}\;{\sqrt {\dfrac {2\;L}{C}}}\right)\;$» on déduit «$\;\varphi _{1}=0\;$ si $\;\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)=\arctan \!\left({\dfrac {1}{R}}\;{\sqrt {\dfrac {2\;L}{C}}}\right)={\dfrac {\pi }{4}}\;$» ce qui est réalisé si «$\;R=L\;\omega _{1}={\sqrt {\dfrac {2\;L}{C}}}\;$».

 

Réponse en intensité d'un circuit « R C série » en parallèle sur une bobine réelle en phase avec la tension imposée de valeur efficace fixée

Schéma d'un circuit composé d'un «$\;R\,C\;$ série » en parallèle sur une bobine réelle modélisée par «$\;r\,L\;$ série », ensemble soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence réglable

     On considère le circuit représenté ci-contre où la f.e.m. du générateur de tension parfait est $\;e(t)\;$ sinusoïdale de valeur efficace fixée $\;E\;$ et de pulsation variable $\;\omega$ ;
     on s'intéresse à la réponse sinusoïdale forcée en $\;i(t)\;$ intensité du courant délivré au circuit ci-contre par le générateur.

     Sous réserve de condition sur $\;r$, $\;R$, $\;L\;$ et $\;C$, il existe une pulsation $\;\omega _{1}\;$ pour laquelle l'intensité $\;i(t)\;$ est en phase avec la tension $\;e(t)$.

     Déterminer la pulsation $\;\omega _{1}\;$ et

     préciser les conditions associées.

Solution

Schéma en complexe d'un circuit composé d'un «$\;R\,C\;$ série » en parallèle sur une bobine réelle modélisée par «$\;r\,L\;$ série », ensemble soumis à une tension instantanée complexe de valeur efficace fixée et de fréquence réglable

     « L'intensité $\;i(t)\;$ du courant traversant le circuit et la tension $\;e(t)\;$ aux bornes du circuit seront en phase » si l'impédance complexe du circuit entre $\;A\;$ et $\;B$ «$\;{\underline {Z_{AB}}}(j\,\omega )\;$ est un réel positif » ;

     or l'impédance complexe du circuit entre $\;A\;$ et $\;B$ s'évaluant selon «$\;{\underline {Z_{AB}}}(j\,\omega )={\dfrac {(r+j\;L\;\omega )\left(R+{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}\right)}{(r+j\;L\;\omega )+\left(R+{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}\right)}}\;$» $\;{\Bigg [}$l'impédance complexe de la bobine réelle et celle du «$\;R\,C\;$ série » étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {Z}}_{AB,\,{\text{bobine}}}=r+j\;L\;\omega \\{\underline {Z}}_{AB,\,R\,C\,{\text{série}}}=R+{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}\end{array}}\right\rbrace \;$${\Bigg ]}\;$ ce que l'on peut réécrire en multipliant haut et bas par $\;j\;C\;\omega \;$ et en regroupant les termes du dénominateur de façon à y obtenir un polynôme en $\;j\;\omega \;$ selon «$\;{\underline {Z_{AB}}}(j\,\omega )={\dfrac {(r+j\;L\;\omega )\,(1+j\;R\;C\;\omega )}{1-L\;C\;\omega ^{2}+j\;(R+r)\;C\;\omega }}\;$» ou, en développant le numérateur et en regroupant les termes de ce dernier de façon à y obtenir un polynôme en $\;j\;\omega$, «$\;{\underline {Z_{AB}}}(j\,\omega )={\dfrac {r-R\;L\;C\;\omega ^{2}+j\;(L\;\omega +r\;R\;C\;\omega )}{1-L\;C\;\omega ^{2}+j\;(R+r)\;C\;\omega }}\;$» on en déduit :

     l'avance de phase de la tension sur l'intensité par «$\;\varphi (\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{AB}}}(j\,\omega )\right]=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {N}}(j\,\omega )\right]-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {D}}(j\,\omega )\right]$» dans laquelle le polynôme en $\;j\;\omega \;$

• du numérateur $\;{\underline {N}}(j\,\omega )=r-R\;L\;C\;\omega ^{2}+j\;(L\;\omega +r\;R\;C\;\omega )\;$ se réécrit selon «$\;{\underline {N}}(j\,\omega )=j\;(L\;\omega +r\;R\;C\;\omega )\left[1+j\;{\dfrac {R\;L\;C\;\omega ^{2}-r}{L\;\omega +r\;R\;C\;\omega }}\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;\mathrm {arg} \!\left[{\underline {N}}(j\,\omega )\right]$ $={\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[{\dfrac {R\;L\;C\;\omega ^{2}-r}{L\;\omega +r\;R\;C\;\omega }}\right]\;$» et
• du dénominateur $\;{\underline {D}}(j\,\omega )=1-L\;C\;\omega ^{2}+j\;(R+r)\;C\;\omega \;$ se réécrit selon «$\;{\underline {D}}(j\,\omega )=j\;(R+r)\;C\;\omega \left[1+j\;{\dfrac {L\;C\;\omega ^{2}-1}{(R+r)\;C\;\omega }}\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;\mathrm {arg} \!\left[{\underline {D}}(j\,\omega )\right]$ $={\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[{\dfrac {L\;C\;\omega ^{2}-1}{(R+r)\;C\;\omega }}\right]\;$» d'où

     l'avance de phase de la tension sur l'intensité « l'avance de phase de $\;e(t)\;$ sur $\;i(t)\;$» s'écrit selon «$\;\varphi (\omega )=\arctan \!\left[{\dfrac {R\;L\;C\;\omega ^{2}-r}{L\;\omega +r\;R\;C\;\omega }}\right]-\arctan \!\left[{\dfrac {L\;C\;\omega ^{2}-1}{(R+r)\;C\;\omega }}\right]\;$» ;

     il reste à écrire que «$\;\varphi (\omega _{1})=0\;$» soit encore «$\;\arctan \!\left[{\dfrac {R\;L\;C\;\omega _{1}^{2}-r}{L\;\omega _{1}+r\;R\;C\;\omega _{1}}}\right]=\arctan \!\left[{\dfrac {L\;C\;\omega _{1}^{2}-1}{(R+r)\,C\;\omega _{1}}}\right]\;$» ou «$\;{\dfrac {R\;L\;C\;\omega _{1}^{2}-r}{L+r\;R\;C}}={\dfrac {L\;C\;\omega _{1}^{2}-1}{(R+r)\;C}}\;$» nécessitant que la pulsation particulière $\;\omega _{1}\;$ soit solution de l'équation «$\;\left[R\;L\;C^{2}\;(R+r)-(L+r\;R\;C)\;L\;C\right]\omega _{1}^{2}=r\;(R+r)\;C-L-r\;R\;C\;$» ou, après simplification «$\;\omega _{1}^{2}={\dfrac {r^{2}\;C-L}{L\;C\;(R^{2}\;C-L)}}\;$» ;

     « cette pulsation $\;\omega _{1}\;$ existe » si

• «$\;r\;$ et $\;R\;$ sont toutes deux $\;>{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$ ou
• «$\;\color {transparent}{r}\;$ et $\;\color {transparent}{R}\;$ sont toutes deux $\;<{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$»,

et « dans ces conditions la pulsation vaut $\;\omega _{1}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;{\sqrt {\dfrac {r^{2}\;C-L}{R^{2}\;C-L}}}$» ;      «$\;{\underline {Z}}_{AB}(j\,\omega _{1})={\dfrac {r-R\;L\;C\;\omega _{1}^{2}+j\;(L\;\omega _{1}+r\;R\;C\;\omega _{1})}{1-L\;C\;\omega _{1}^{2}+j\;(R+r)\;C\;\omega _{1}}}\;$ étant réel », c'est aussi le rapport des parties réelles $\;{\big (}$ou le rapport des parties imaginaires${\big )}\;$ d'où «$\;{\underline {Z}}_{AB}(j\,\omega _{1})={\dfrac {L+r\;R\;C}{(R+r)\;C}}\;$».

 

Montage déphaseur

Schéma d'un pont de type Wheatstone en r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}\;$ et en sortie ouverte composé des deux couples de D.P.L. croisés «$\;R\,L\;$» et «$\;C\,L\;$»

     On considère le circuit ci-contre où on étudie la « réponse sinusoïdale forcée en $\;u(t)=U\,{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t+\varphi )\;$ tension de sortie du pont d'impédances en r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ alimenté en entrée par $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \;t)\;$».

Tension efficace de sortie indépendante de R, L et C

     Déterminer « la tension efficace complexe de sortie $\;{\underline {U}}=U\;\exp \!\left(j\,\varphi \right)\;$» en fonction de la tension efficace complexe d'entrée $\;E\;$, des grandeurs caractérisant le pont de type Wheatstone et de la pulsation $\;\omega \;$ du r.s.f. ;

     en déduire « la tension efficace de sortie $\;U\;$» et
     vérifier qu'elle est indépendante de $\;R$, $\;L\;$ et $\;C$.

Solution

Schéma d'un pont de type Wheatstone en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}\;$ et en sortie ouverte composé des deux couples de D.P.L. croisés «$\;R\,L\;$» et «$\;C\,L\;$»

     Il s'agit d'un « pont de type Wheatstone en sortie ouverte représenté ci-contre en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f=$ ${\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ alimenté en entrée par $\;{\underline {e}}(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$», « la tension instantanée complexe de sortie ouverte $\;{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ s'identifiant à la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin $\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\underline {v_{A}}}(t)-{\underline {v_{B}}}(t)\;$» où $\;{\underline {v_{A}}}(t)\;$ et $\;{\underline {v_{A}}}(t)\;$ sont respectivement les potentiels instantanés complexes des bornes $\;A\;$ et $\;B$, peut être déterminée par théorème de Millmann en $\;A\;$ puis $\;B\;$, la masse ayant été choisie en $\;D\;$ le potentiel instantané complexe en $\;F\;$ vaut donc $\;{\underline {v_{F}}}(t)={\underline {e}}(t)\;$ soit :

     application du théorème de Millman en$\;A$ : «$\;{\underline {v_{A}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{R}}+0\,j\,C\,\omega }{{\dfrac {1}{R}}+j\,C\,\omega }}={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$»,

     application du théorème de Millman en$\;B$ : «$\;{\underline {v_{B}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{j\,L\,\omega }}+{\dfrac {0}{j\,L\,\omega }}}{\dfrac {2}{j\,L\,\omega }}}={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{2}}\;$»,

     d'où l'expression de la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin «$\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\underline {v_{A}}}(t)-{\underline {v_{B}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{1+j\,R\,C\,\omega }}-{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{2}}={\dfrac {{\underline {e}}(t)\left[2-(1+j\,R\,C\,\omega )\right]}{2\,(1+j\,R\,C\,\omega )}}\;$» soit finalement «$\;{\underline {u}}(t)={\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{2}}\,{\dfrac {1-j\,R\,C\,\omega }{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$» ou, en passant aux valeurs efficaces complexes «$\;{\underline {U}}={\dfrac {E}{2}}\,{\dfrac {1-j\,R\,C\,\omega }{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$» ;      en en prenant le module on en déduit la tension efficace cherchée soit «$\;U=\vert {\underline {U}}\vert ={\dfrac {E}{2}}\;{\bigg \vert }{\dfrac {1-j\,R\,C\,\omega }{1+j\,R\,C\,\omega }}{\bigg \vert }={\dfrac {E}{2}}\;$»,

     c'est-à-dire que « la tension efficace de sortie $\;U\;$ est effectivement indépendante de $\;R$, $\;L\;$ et $\;C\;$».

 

Avance de phase de la tension de sortie sur la tension d'entrée et justification du nom du montage

     Exprimer l'avance de phase $\;\varphi \;$ de la tension de sortie $\;u(t)\;$ sur celle d'entrée $\;e(t)\;$ et

     préciser comment $\;\varphi \;$ varie lorsque l'on fait varier $\;R\;$ de $\;0\;$ à $\;\infty$.

     Justifier le nom du montage.

Solution

     La phase à l'origine de $\;u(t)\;$ se détermine par «$\;\varphi =\mathrm {arg} \!({\underline {U}})=\mathrm {arg} \!\left({\dfrac {E}{2}}\,{\dfrac {1-j\,R\,C\,\omega }{1+j\,R\,C\,\omega }}\right)=\mathrm {arg} (1-j\,R\,C\,\omega )-\mathrm {arg} (1+j\,R\,C\,\omega )\;$» soit «$\;\varphi =-2\,\arctan(R\,C\,\omega )\;$» ;

     «$\;\varphi \searrow \;$ de $\;0\;$ à $\;-\pi \;$ quand $\;R\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;\infty \;$» et ainsi seule la phase varie $\;{\big (}$la valeur efficace restant constante${\big )}$.

     Le nom de « montage déphaseur » résulte du fait que la tension de sortie est de valeur efficace constante $\;{\big (}$la moitié de la valeur efficace de la tension d'entrée${\big )}\;$ et
     Le nom de « montage déphaseur » résulte du fait qu'il est possible de régler son avance de phase par rapport à la tension d'entrée grâce à la résistance variable$\;R$ $\;{\bigg [}$comme l'avance de phase de $\;u(t)\;$ sur $\;e(t)\;$ est négative, cela veut dire que $\;u(t)\;$ est en fait en retard de phase par rapport à $\;e(t)$, ce retard variant de $\;0\;$ à $\;\pi$, tensions d'entrée et de sortie quasiment en phase pour $\;R\;$ très faible et quasiment en opposition de phase pour $\;R\;$ très grande, la tension de sortie étant en quadrature retard sur celle d'entrée pour $\;R={\dfrac {1}{C\,\omega }}{\bigg ]}$.

 

R.D.L.A. (réseau dipolaire linéaire actif) en r.s.f. équivalent, pour une fréquence particulière, à un générateur de courant quand il est fermé sur un conducteur ohmique

Schéma d'un P.D.T. en r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}\;$ alimenté en entrée par $\;e(t)$, un condensateur en tant que D.P.L. d'attaque, une bobine pure en tant que D.P.L. aux bornes duquel est la sortie, l'ensemble étant équivalent à une source de courant parfaite quand on branche un conducteur ohmique en sortie du P.D.T.

     On considère le circuit ci-contre dans lequel le générateur de fonctions délivre une f.e.m. instantanée sinusoïdale $\;e(t)=E\,{\sqrt {2}}\,\sin(\omega \,t)\;$, de valeur efficace $\;E\;$ fixée et de pulsation $\;\omega \;$ que l'on fait varier ; de plus, son dipôle passif interne est supposé d'impédance négligeable.

     Le reste du circuit est composé d'un P.D.T. en r.s.f. dont le « D.P.L. aux bornes duquel est définie la sortie est une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$» et le « D.P.L. d'attaque un condensateur de capacité $\;C\;$» ; on place en sortie un conducteur ohmique de résistance $\;R$.

Valeur de la pulsation pour que l'intensité efficace du courant traversant R soit indépendante de R

     Déterminer l'« intensité instantanée complexe $\;{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ du courant circulant dans le conducteur ohmique » avec «$\;{\underline {I}}=I\;\exp \!\left(j\,\varphi \right)\;$ l'intensité efficace complexe » puis

     en déduire l'« intensité efficace complexe $\;{\underline {I}}\;$» ainsi que l'« intensité efficace $\;I\;$» ;

     déterminer la « valeur de la pulsation $\;\omega _{1}\;$ pour laquelle l'intensité efficace $\;I\;$ traversant le conducteur ohmique est indépendante de $\;R\;$».

Solution

     Bien sûr il convient de refaire le schéma en représentation complexe.

     On travaille en sinusoïdal forcé et « on associe à $\;e(t)=E\,{\sqrt {2}}\,\sin(\omega \,t)$, la f.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {e}}(t)=E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$».

     Mettons $\;B\;$ à la masse et appliquons le théorème de Millmann complexe en $\;A\;$, en considérant que « le dipôle délivre un courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i}}(t)\;$», on obtient :
                 Mettons $\;\color {transparent}{B}\;$ à la masse et appliquons le théorème de Millmann complexe en $\;\color {transparent}{A}\;$ «$\;{\underline {v_{A}}}(t)={\dfrac {j\,C\,\omega \,{\underline {e}}(t)+{\dfrac {0}{j\,L\,\omega }}-{\underline {i}}(t)}{j\,C\,\omega +{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}}}={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)-j\,L\,\omega \,{\underline {i}}(t)}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}\;$» ;

     avec $\;{\underline {v_{B}}}(t)=0\;$ on en déduit « la tension instantanée complexe entre $\;A\;$ et $\;B\;$», «$\;{\underline {u_{AB}}}(t)={\underline {v_{A}}}(t)-{\underline {v_{B}}}(t)={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)-j\,L\,\omega \,{\underline {i}}(t)}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}\;$» s'identifiant à
     avec $\;\color {transparent}{{\underline {v_{B}}}(t)=0}\;$ on en déduit « la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$» d'où «$\;{\underline {u_{AB}}}(t)=R\,{\underline {i}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)-j\,L\,\omega \,{\underline {i}}(t)}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}=R\,{\underline {i}}(t)\;$» dont on déduit aisément $\;{\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}$ $=\left[{\dfrac {j\,L\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}}}+R\right]{\underline {i}}(t)\;$ soit «$\;{\underline {i}}(t)={\dfrac {\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}{{\dfrac {j\,L\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}}}+R}}\;$» ou encore en valeurs instantanées complexes «$\;{\underline {i}}(t)={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)}{j\,L\,\omega +R\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)}}\;$»
ou en valeurs efficaces complexes «$\;{\underline {I}}={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,E}{j\,L\,\omega +R\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)}}\;$» ;      de l'expression de l'intensité efficace complexe «$\;{\underline {I}}={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,E}{j\,L\,\omega +R\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)}}\;$» on tire, en en prenant le module, l'intensité efficace «$\;I=\vert {\underline {I}}\vert ={\dfrac {L\,C\,\omega ^{2}}{\sqrt {R^{2}\,\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}}}\;E\;$»

     laquelle « sera indépendante de $\;R\;$» si «$\;1-L\,C\,\omega ^{2}=0\;$» c'est-à-dire « pour la pulsation $\;\omega _{1}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$» ;

     laquelle « sera indépendante de $\;\color {transparent}{R}\;$» pour $\;\omega _{1}\;$ l'intensité efficace complexe vaut «$\;{\underline {I}}(\omega _{1})={\dfrac {-{\underline {E}}}{j\,L\,\omega _{1}}}={\dfrac {j\,{\underline {E}}}{L\,\omega _{1}}}=j\,C\,\omega _{1}\,{\underline {E}}\;$» ce qui montre que
     laquelle « sera indépendante de $\;\color {transparent}{R}\;$» pour $\;\color {transparent}{\omega _{1}}\;$ « la phase de $\;i(t)\;$ est également indépendante de $\;R\;$» $\;{\bigg [}$plus précisément, la phase initiale de $\;e(t)\;$ étant nulle, celle de $\;i(t)\;$ vaut $\;\varphi _{i}={\dfrac {\pi }{2}}{\bigg ]}$ ;

     finalement, à cette pulsation $\;\omega _{1}$, l'intensité instantanée du courant vaut «$\;i(t)=C\,\omega _{1}\,E\,{\sqrt {2}}\,\sin \!\left(\omega _{1}\,t+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$» qui s'écrit encore «$\;i(t)=C\,\omega _{1}\,E\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega _{1}\,t\right)\;$».

 

Sous condition de cette pulsation, circuit équivalent à un générateur de courant

     Vérifier qu'à cette pulsation $\;\omega _{1}\;$ le P.D.T. situé entre $\;A\;$ et $\;B\;$ dans la partie en pointillés est équivalent $\;{\big (}$lorsqu'il est branché aux bornes d'un conducteur ohmique${\big )}\;$ à une source de courant parfaite dont on donnera le c.e.m. en fonction des données.

Solution

     Dans la mesure où l'intensité traversant le conducteur ohmique est indépendante de la valeur de sa résistance, le dipôle $\;AB\;$ est bien équivalent à une source de courant parfaite « de c.e.m. $\;\eta (t)=C\,\omega _{1}\,E\,{\sqrt {2}}\,\cos \left(\omega _{1}\,t\right)\;$» qui peut encore s'écrire
«$\;\eta (t)={\dfrac {E}{L\,\omega _{1}}}\,{\sqrt {2}}\,\cos \left(\omega _{1}\,t\right)={\sqrt {\dfrac {C}{L}}}\,E\,{\sqrt {2}}\,\cos \left(\omega _{1}\,t\right)\;$».

 

Modèle de Thévenin d'un R.D.L.A. (réseau dipolaire linéaire actif)

Schéma d'un P.D.T. en r.s.f. à $\;2\;$ étages : le 1^er étage alimenté par $\;e(t)\;$ sinusoïdale de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}\;$ ayant $\;R\;$ comme résistance d'attaque et sa sortie aux bornes de $\;L\;$ sur laquelle est branché le 2^ème étage de résistance d'attaque de même $\;R$, la sortie globale étant aux bornes de $\;C$

     On considère le circuit ci-contre alimenté entre $\;A\;$ et $\;B\;$ par une source de tension sinusoïdale de f.e.m. instantanée «$\;e(t)=$ $E\,{\sqrt {2}}\ \cos(\omega \,t)\;$» ;
     On considère à la sortie de cette source de tension sinusoïdale on branche un « P.D.T. en r.s.f. à deux étages » constitué

• d'un 1^er étage alimenté par $\;e(t)=E\,{\sqrt {2}}\ \cos(\omega \,t)\;$, de D.P.L. d'attaque composé d'un conducteur ohmique de résistance $\;R$, la sortie de ce 1^er étage étant aux bornes d'une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ et
• d'un 2^ème étage alimenté par la sortie du 1^er étage, de D.P.L. d'attaque composé d'un conducteur ohmique de même résistance $\;R$, la sortie de ce 2^ème étage étant aux bornes d'un condensateur de capacité $\;C$ ;

     On considère pour ce circuit la fréquence du générateur $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ est telle que «$\;L\,C\,\omega ^{2}=1\;$» et «$\;R\,C\,\omega =1\;$».

     Déterminer les caractéristiques du générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. ci-contre en complexe associé au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ entre $\;F\;$ et $\;G\;$ ${\Big \{}$c'est-à-dire f.e.m. instantanée complexe de Thévenin $\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)\;$ et impédance complexe de Thévenin $\;{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega ){\Big \}}\;$ en supposant que le R.D.L.A. délivre un courant sortant par $\;F\;$ et entrant par $\;G\;$ d'intensité instantanée complexe «$\;{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» et d'intensité efficace complexe «$\;{\underline {I}}=I\;\exp \!\left(j\,\varphi _{i}\right)\;$ ${\big \{}I\;$ étant l'intensité efficace et $\;\varphi _{i}\;$ la phase à l'origine${\big \}}\;$».

Solution

Schéma d'un P.D.T. en complexe associé au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}\;$ à $\;2\;$ étages : le 1^er étage alimenté par $\;{\underline {e}}(t)\;$ ayant $\;R\;$ comme impédance complexe d'attaque et sa sortie aux bornes de $\;{\underline {Z_{L}}}(j\omega )\;$ sur laquelle est branché le 2^ème étage de même impédance complexe d'attaque, la sortie globale étant aux bornes de $\;{\underline {Z_{C}}}(j\omega )$

     Nous déterminerons le générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. ci-contre par utilisation du théorème de Millman en $\;F\;$ puis en $\;D\;$ en ayant choisi la masse en $\;G\;$.

     Utilisation du théorème de Millman en$\;F$ : $\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {v_{D}}}(t)}{R}}+{\dfrac {0}{{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}}-{\underline {i}}(t)}{{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}}}}={\dfrac {{\dfrac {{\underline {v_{D}}}(t)}{R}}-{\underline {i}}(t)}{{\dfrac {1}{R}}+j\,C\,\omega }}\;$ soit
     Utilisation du théorème de Millman en$\;\color {transparent}{F}$ : «$\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\underline {v_{D}}}(t)-R\,{\underline {i}}(t)}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$ ou, avec $\;R\,C\,\omega =1$, $\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\underline {v_{D}}}(t)-R\,{\underline {i}}(t)}{1+j}}\;$».

     Utilisation du théorème de Millman en$\;D$ : tout d'abord remarquons que $\;{\underline {v_{B}}}(t)={\underline {v_{G}}}(t)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {v_{A}}}(t)={\underline {e}}(t)\;$ d'où
     Utilisation du théorème de Millman en$\;\color {transparent}{D}$ : $\;{\underline {v_{D}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{R}}+{\dfrac {0}{{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {v_{F}}}(t)}{R}}}{{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{R}}}}={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{R}}+{\dfrac {{\underline {v_{F}}}(t)}{R}}}{{\dfrac {2}{R}}+{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}}}\;$ soit
     Utilisation du théorème de Millman en$\;\color {transparent}{D}$ : «$\;{\underline {v_{D}}}(t)={\dfrac {j\,L\,\omega \left[{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)\right]}{R+2\,j\,L\,\omega }}\;$» ou, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}L\,C\,\omega ^{2}=1={\dfrac {L\,\omega }{R}}\;R\,C\,\omega \!\!&\Rightarrow &\!\!{\dfrac {L\,\omega }{R}}={\dfrac {1}{R\,C\,\omega }}\;\;({\mathfrak {1}})\\R\,C\,\omega =1\;\;{\text{et}}\;\;({\mathfrak {1}})\!\!&\Rightarrow &\!\!{\dfrac {L\,\omega }{R}}=1\;\Leftrightarrow \;L\,\omega =R\end{array}}\right\rbrace$
     Utilisation du théorème de Millman en$\;\color {transparent}{D}$ : «$\;{\underline {v_{D}}}(t)={\dfrac {j\,R\left[{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)\right]}{R+2\,j\,R}}={\dfrac {j\left[{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)\right]}{1+2\,j}}={\dfrac {{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)}{2-j}}\;$».

     Élimination du potentiel instantané complexe en$\;D$ : on reporte «$\;{\underline {v_{D}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)}{2-j}}\;$» dans «$\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\underline {v_{D}}}(t)-R\,{\underline {i}}(t)}{1+j}}\;$» et on trouve $\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)}{2-j}}-R\,{\underline {i}}(t)}{1+j}}={\dfrac {{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)-R\,(2-j)\,{\underline {i}}(t)}{(1+j)\,(2-j)}}$ $={\dfrac {{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)-R\,(2-j)\,{\underline {i}}(t)}{3+j}}\;$ ou encore «$\;{\underline {v_{F}}}(t)\left[(3+j)-1\right]={\underline {e}}(t)-R\,(2-j)\,{\underline {i}}(t)\;$» soit finalement «$\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{2+j}}-{\dfrac {2-j}{2+j}}\;R\;{\underline {i}}(t)\;$».

     Finalement le générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. complexe associé au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ a pour

• « f.e.m. instantanée complexe $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}\;$ $\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{2+j}}={\dfrac {E}{2+j}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» à laquelle correspond la « f.e.m. efficace complexe $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}\;$ $\;{\underline {E_{\text{Th}}}}={\dfrac {E}{2+j}}\;$» dont on tire la « f.e.m. efficace $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}\;$ en en prenant le module soit $\;E_{\text{Th}}={\dfrac {E}{\sqrt {5}}}\;$» et la « phase à l'origine de la f.e.m. instantanée $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}\;$ en en prenant l'argument soit $\;\varphi _{e_{\text{Th}}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {E_{\text{Th}}}}\right]=-\arctan \!\left({\dfrac {1}{2}}\right)$ $\simeq -26,6\;{\text{°}}\;$» et
• « impédance complexe $\;{\big (}$de Thévenin${\big )}\;$ $\;{\underline {z_{\text{Th}}}}={\dfrac {2-j}{2+j}}\;R={\dfrac {(2-j)^{2}}{5}}\;R={\dfrac {3-4\,j}{5}}\;R\;$», de « résistance $\;r_{\text{Th}}=\Re \!\left[{\underline {z_{\text{Th}}}}\right]={\dfrac {3\,R}{5}}\;$», de « réactance $\;{\big (}$capacitive${\big )}$ $\;x_{\text{Th}}=$ $\Im \!\left[{\underline {z_{\text{Th}}}}\right]=-{\dfrac {4\,R}{5}}\;$» et d'« impédance $\;z_{\text{Th}}=\vert {\underline {z_{\text{Th}}}}\vert =R\;$».

 

Ponts d'impédances

     On étudie successivement les trois ponts universels d'impédances en r.s.f. de fréquence fixe $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}$ ;
     on admettra que le R.D.L.A. en complexe associée au r.s.f. aux bornes duquel est branché un détecteur est équivalent à un générateur de Thévenin complexe de « f.e.m. instantanée complexe s'annulant si $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;$ à condition que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\\{\text{et}}\\{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ de part et d'autre d'une des bornes reliée au détecteur ainsi que $\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;$ de part et d'autre de l'autre borne reliée au détecteur, les indices $\;_{1},\;_{2},\;_{3},\;_{4}\;$ correspondant à la disposition des impédances en circulation dans le sens horaire $\;{\big (}$ou trigonométrique direct${\big )}\;$».

Pont de Sauty parallèle en r.s.f.

Schéma d'un pont universel de Sauty parallèle en r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}\;$ pour mesurer la capacité $\;C\;$ et la résistance de fuite $\;R\;$ d'un condensateur à l'aide d'un D.P. étalon variable $\;R_{1}\;$ en parallèle sur $\;C_{1}$

     Le 1^er pont est le pont de Sauty parallèle : $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ ce pont $\;{\big (}$de type « P/Q »${\big )}\;$ sert à mesurer la capacité $\;C\;$ d'un condensateur avec résistance de fuite $\;R$, à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance $\;R_{1}\;$ variable et d'un condensateur $\;{\big (}$parfait${\big )}\;$ étalon de capacité variable $\;C_{1}\;$ monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.

          Le 1^er pont est le pont de Sauty parallèle : Vérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ et

          Le 1^er pont est le pont de Sauty parallèle : déterminer les valeurs de $\;C\;$ et de $\;R\;$ du condensateur étudié en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe.

Solution

     Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ dans lequel les impédances complexes sont les suivantes :

• $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}\;{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}{R_{1}+{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}}\;$ soit finalement «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;$»,
• «$\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=R_{2}\;$»,
• «$\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )=R_{3}\;$» et
• $\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )={\dfrac {R\;{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}}{R+{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}}}\;$ soit finalement «$\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )={\dfrac {R}{1+j\;R\;C\;\omega }}\;$».

     On vérifie que «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}+R_{2}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$» et
     On vérifie que «$\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R_{3}+{\dfrac {R}{1+j\;R\;C\;\omega }}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$» d'où
     On vérifie l'existence d'un générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur.

     La condition d'équilibre du pont étant «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;$» s'écrit «$\;{\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;R_{3}=R_{2}\;{\dfrac {R}{1+j\;R\;C\;\omega }}\;$» dont on tire l'impédance complexe cherchée «$\;{\dfrac {R}{1+j\;R\;C\;\omega }}=$ ${\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;{\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;$» soit, en mettant chaque membre sous forme algébrique $\;{\dfrac {R\;(1-j\;R\;C\;\omega )}{1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}}}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;{\dfrac {R_{1}\;(1-j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega )}{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\;$ et en identifiant parties réelles et parties imaginaires de chaque membre «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {R}{1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}}}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;{\dfrac {R_{1}}{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\\-R\;{\dfrac {R\;C\;\omega }{1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}}}=-{\dfrac {R_{3}\;R_{1}}{R_{2}}}\;{\dfrac {R_{1}\;C_{1}\;\omega }{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     on résout le système des deux équations non linéaires en $\;R\;$ et $\;C\;$

• en divisant membre à membre la 2^ème équation par la 1^ère soit «$\;-R\;C\;\omega =-R_{1}\;C_{1}\;\omega \;$» d'où $\;R\;C\;\omega =R_{1}\;C_{1}\;\omega \;$ ou «$\;R\;C=R_{1}\;C_{1}\;$» entraînant, par report dans la 2^ème équation et simplification évidente $\;-R\;{\cancel {\dfrac {R_{1}\;C_{1}\;\omega }{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}}=-{\dfrac {R_{3}\;R_{1}}{R_{2}}}\;{\cancel {\dfrac {R_{1}\;C_{1}\;\omega }{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}}\;$ soit «$\;R={\dfrac {R_{3}\;R_{1}}{R_{2}}}\;$» d'une part
• et d'autre part, en réinjectant l'expression de $\;R\;$ dans $\;R\;C=R_{1}\;C_{1}\;$ on en déduit «$\;C=C_{1}\;{\dfrac {R_{1}}{\dfrac {R_{3}\;R_{1}}{R_{2}}}}\;$» soit «$\;C=C_{1}\;{\dfrac {R_{2}}{R_{3}}}\;$».

     La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, on se place donc d'abord en régime permanent $\;{\big (}$les condensateurs ne jouant alors aucun rôle${\big )}\;$ et on règle$\;R_{1}\;$pour obtenir un courant nul, on en déduit alors la valeur de $\;R$ ;

     La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, ce réglage étant fait, on passe en sinusoïdal forcé et on règle la valeur de$\;C_{1}$sans modifier$\;R_{1}\;$pour retrouver un courant d'intensité instantanée nulle, on en déduit alors la valeur de $\;C$.

 

Pont de Maxwell en r.s.f.

Schéma d'un pont universel de Maxwell en r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}\;$ pour mesurer l'inductance propre $\;L\;$ et la résistance $\;R\;$ d'une bobine à l'aide d'un D.P. étalon variable $\;R_{1}\;$ en parallèle sur $\;C_{1}$

     Le 2^ème pont est le pont de Maxwell : $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ ce pont $\;{\big (}$de type « PQ »${\big )}\;$ sert à mesurer l'inductance propre $\;L\;$ et la résistance $\;R\;$ d'une bobine, à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance $\;R_{1}\;$ variable et d'un condensateur $\;{\big (}$parfait${\big )}\;$ étalon de capacité variable $\;C_{1}\;$ monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.

          Le 2^ème pont est le pont de Maxwell : Vérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ et

          Le 2^ème pont est le pont de Maxwell : déterminer les valeurs de $\;L\;$ et de $\;R\;$ de la bobine étudiée en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe.

Solution

     Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ dans lequel les impédances complexes sont les suivantes :

• $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}\;{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}{R_{1}+{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}}\;$ soit finalement «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;$»,
• «$\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=R_{2}\;$»,
• «$\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )=R+j\;L\;\omega \;$» et
• $\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R_{3}\;$».

     On vérifie que «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}+R_{2}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$» et
     On vérifie que «$\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R+j\;L\;\omega +R_{3}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$» d'où
     On vérifie l'existence d'un générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur.

     La condition d'équilibre du pont étant «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;$» s'écrit «$\;{\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\left[R+j\;L\;\omega \right]=R_{2}\;R_{3}\;$» dont on tire l'impédance complexe cherchée «$\;R+j\;L\;\omega =$ $R_{2}\;R_{3}\;{\dfrac {1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }{R_{1}}}\;$» soit, en identifiant parties réelles et parties imaginaires de chaque membre «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}R={\dfrac {R_{2}\;R_{3}}{R_{1}}}\\L\;{\cancel {\omega }}=R_{2}\;R_{3}\;C_{1}\;{\cancel {\omega }}\end{array}}\right\rbrace$».

     La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, on se place donc d'abord en régime permanent $\;{\big (}$le condensateur et la partie inductive de la bobine ne jouant alors aucun rôle${\big )}\;$ et on règle$\;R_{1}\;$pour obtenir un courant nul, on en déduit alors la valeur de $\;R$ ;

     La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, ce réglage étant fait, on passe en sinusoïdal forcé et on règle la valeur de$\;C_{1}$sans modifier$\;R_{1}\;$pour retrouver un courant d'intensité instantanée nulle, on en déduit alors la valeur de $\;L$.

 

Pont de Robinson en r.s.f.

Schéma d'un pont universel de Robinson en r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}\;$ pour mesurer la fréquence $\;f\;$ à l'aide deux D.P.L. étalon, l'un composé d'un conducteur ohmique variable de résistance $\;R_{1}\;$ en série avec un condensateur de capacité fixe $\;C_{1}$, l'autre composé des mêmes éléments étalon montés en parallèle, les deux résistances restant couplées dans leur variation

     Le 3^ème pont est le pont de Robinson : $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ ce pont $\;{\big (}$de type « P/Q », sert à mesurer la fréquence à l'aide d'une part d'un conducteur ohmique étalon de résistance $\;R_{1}\;$ variable et d'un condensateur $\;{\big (}$parfait${\big )}\;$ étalon de capacité fixe $\;C_{1}\;$ monté en parallèle sur une même branche et d'autre part d'un même conducteur ohmique étalon de résistance $\;R_{1}\;$ variable $\;{\big (}$les deux résistances $\;R_{1}\;$ restant couplées dans leur variation${\big )}\;$ et d'un condensateur $\;{\big (}$parfait${\big )}\;$ étalon de capacité fixe $\;C_{1}\;$ monté en série sur une même autre branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.

          Le 3^ème pont est le pont de Robinson : Vérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ et

          Le 3^ème pont est le pont de Robinson : déterminer la valeur de la fréquence $\;f\;$ en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe.

Solution

     Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ dans lequel les impédances complexes sont les suivantes :

• $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}\;{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}{R_{1}+{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}}\;$ soit finalement «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;$»,
• «$\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=R_{2}\;$»,
• «$\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )=R_{3}\;$» et
• $\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R_{1}+{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}\;$ soit finalement «$\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )={\dfrac {1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }{j\;C_{1}\;\omega }}\;$».

     On vérifie que «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}+R_{2}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$» et
     On vérifie que «$\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R_{3}+{\dfrac {1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }{j\;C_{1}\;\omega }}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$» d'où
     On vérifie l'existence d'un générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur.

     La condition d'équilibre du pont étant «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;$» s'écrit «$\;{\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;R_{3}=R_{2}\;{\dfrac {1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }{j\;C_{1}\;\omega }}\;$» dont on tire l'équation suivante «$\;{\dfrac {(1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega )^{2}}{j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;$» soit, en développant le numérateur du 1^er membre $\;{\dfrac {(1-R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2})+2\;j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }{j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;$ ou «$\;2-j\;{\dfrac {(1-R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2})}{R_{1}\;C_{1}\;\omega }}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;$» et finalement, en identifiant les parties réelles et imaginaires de chaque membre «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}2\!\!&=&\!\!{\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\\-{\dfrac {(1-R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2})}{R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace$» ;

     il faut adapter les conducteurs ohmiques étalon de résistance $\;R_{3}\;$ et $\;R_{2}\;$ telles que «$\;R_{3}=2\;R_{2}\;$» et

     la pulsation $\;\omega \;$ est alors telle que $\;R_{1}\;C_{1}\;\omega =1\;$ soit «$\;\omega ={\dfrac {1}{R_{1}\;C_{1}}}\;$», la fréquence s'obtenant par «$\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}={\dfrac {1}{2\;\pi \;R_{1}\;C_{1}}}\;$».

     La relation liant les deux résistances étalon «$\;R_{3}=2\;R_{2}\;$» étant réalisée, on se place en régime sinusoïdal forcé à la fréquence souhaitée et on règle$\;R_{1}\;$pour obtenir un courant d'intensité instantanée nulle, on en déduit alors la valeur de la fréquence $\;f\;$.