En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On parle d'« onde sinusoïdale » ou harmonique lorsque le signal mesuré en tout point est une « fonction sinusoïdale du temps » de pulsation indépendante du point ; une telle onde a la forme mathématique suivante
dans laquelle « sont respectivement l’amplitude et la phase initiale de l'onde au point » ; on notera « l'amplitude et la phase initiale à l'origine ».
Dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive, une « onde progressive sinusoïdale » [2] le long de l'axe est une onde sinusoïdale du type
la « vibration observée à toute abscisse reproduit la vibration observée en avec le retard temporel » [4] suivant que la propagation se fait dans le sens ou de l'axe :
dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive dans le sens des , l'O.P.H. [5] de pulsation s'écrit
«» ;
dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive dans le sens des , l'O.P.H. [5] de pulsation s'écrit
L'O.P.H. [5] étant une fonction sinusoïdale de la variable [6], peut se réécrire, après développement de l'argument du cosinus, selon «» [6] ; on en déduit que l'O.P.H. [5] est une fonction sinusoïdale à la fois :
du tempspour fixé avec une pulsation temporelle,
de la variable spatialepour fixé avec une pulsation spatiale[7] ;
« À fixé », l'O.P.H. [5] s'écrivant «» avec «» [6] est périodique de période temporelle et « À fixé », l'O.P.H. s'écrivant «» avec «» est périodique de fréquence temporelle ; « À fixé », l'O.P.H. [5] peut alors se réécrire
«».
Périodicité spatiale de l'onde progressive sinusoïdale (O.P.H.), longueur d'onde et nombre d'onde
« À fixé », l'O.P.H. [5] s'écrivant «» [6],[9] avec «» est périodique de période spatialec.-à-d. « longueur d'onde » en et « À fixé », l'O.P.H. s'écrivant «» avec «» est périodique de fréquence spatialec.-à-d. « nombre d'onde » en ; « À fixé », l'O.P.H. [5] peut alors se réécrire
La pulsation spatiale étant liée à la pulsation temporelle et la célérité de propagation par «», nous en déduisons la « période spatiale ou longueur d'onde» «» soit, compte tenu de la définition de la période temporelle «», la relation «».
Définition équivalente de la longueur d'onde
La longueur d'onde est donc aussi la « distance de propagation de l'O.P.H. [5] pendant une période temporelle de cette dernière ».
On en déduit aussi la longueur d'onde en fonction de la fréquence temporelle et la célérité de propagation selon
«».
En conclusion : On peut trouver toutes les grandeurs relatives à la périodicité spatio-temporelle de l'O.P.H. [5] quand on connaît l'une d'entre elles et la célérité de propagation, en effet :
si on connaît la périodetemporelle, alors on en déduit : si on connaît la périodetemporelle, alors on en déduit : la pulsation temporelle, si on connaît la périodetemporelle, alors on en déduit : la fréquence temporelle, si on connaît la périodetemporelle, alors on en déduit : la longueur d'onde ou période spatiale, si on connaît la périodetemporelle, alors on en déduit : le nombre d'onde ou fréquence spatiale et si on connaît la périodetemporelle, alors on en déduit : la norme du vecteur d'onde ou pulsation spatiale ;
si on connaît la fréquencetemporelle, alors on en déduit : si on connaît la fréquencetemporelle, alors on en déduit : la pulsation temporelle, si on connaît la fréquencetemporelle, alors on en déduit : la période temporelle, si on connaît la fréquencetemporelle, alors on en déduit : la longueur d'onde ou période spatiale, si on connaît la fréquencetemporelle, alors on en déduit : le nombre d'onde ou fréquence spatiale et si on connaît la fréquencetemporelle, alors on en déduit : la norme du vecteur d'onde ou pulsation spatiale ;
si on connaît la longueur d'ondeou période spatiale, alors on en déduit : si on connaît la longueur d'ondeou période spatiale, alors on en déduit : le nombre d'onde ou fréquence spatiale, si on connaît la longueur d'ondeou période spatiale, alors on en déduit : la norme du vecteur d'onde ou pulsation spatiale, si on connaît la longueur d'ondeou période spatiale, alors on en déduit : la période temporelle, si on connaît la longueur d'ondeou période spatiale, alors on en déduit : la fréquence temporelle et si on connaît la longueur d'ondeou période spatiale, alors on en déduit : la pulsation temporelle.
Remarque
Il suffit de retenir les liens entre grandeurs temporelles «», «», Il suffit de retenir la façon de déduire la période spatiale ou longueur d'onde de la période temporelle «», Il suffit de retenir le fait que le nombre d'onde est la fréquence spatiale «» et Il suffit de retenir le fait que la norme du vecteur d'onde est la pulsation spatiale «», on retrouve alors toutes les autres relations.
L'O.P.H. [5] peut alors se réécrire selon l'une de ses trois formes équivalentes :
Déphasage de l'onde sinusoïdale entre deux points au même instant dans le cas d'une propagation dans le sens Déphasage de l'onde sinusoïdale entre deux points au même instant dans le cas d'une propagation dans le sens
La phase initiale du signal transporté par l'O.P.H. [5] à l'abscisse étant «» [6] le signal au point d'abscisse est déphasé, par rapport au signal considéré au même instant au point d'abscisse , de
ce résultat se retrouve facilement par des considérations physiques :
si et si la propagation se fait dans le sens des , « le signal en est, sur le signal en considéré au même instant, en retard temporel de » en notant , ce qui se traduit par le déphasage «» qui se réécrit «» voir ci-contre,
si et si la propagation se fait dans le sens des , « le signal en est, sur le signal en considéré au même instant, en retard temporel de » en notant , ce qui se traduit par le déphasage « qui se réécrit » voir ci-contre.
Condition pour les signaux considérés au même instant en deux points d'abscisses différentes soient en phase
La condition pour laquelle les vibrations aux deux points d'abscisse et considérées au même instant soient en phase s'écrit «» soit, en utilisant le déphasage explicité ci-dessus,
Les vibrations aux deux points d'abscisse et considérées au même instant sont en phase si
«»
et inversement deux points en lesquels l'onde est en phase sont séparés le long de la direction de propagation d'un nombre entier de fois la longueur d'onde.
Condition pour les signaux considérés au même instant en deux points d'abscisses différentes soient en opposition de phase
La condition pour laquelle les vibrations aux deux points d'abscisse et considérées au même instant soient en opposition de phase s'écrit « avec » soit, en utilisant le déphasage explicité ci-dessus,
Les vibrations aux deux points d'abscisse et considérées au même instant sont en opposition de phase si
«»
et inversement deux points en lesquels l'onde est en opposition de phase sont séparés le long de la direction de propagation d'un nombre entier de fois la longueur d'onde plus une demi-longueur d'onde.
Notion de déphasage de l'onde entre des instants écartés d'une durée finie (au même endroit)
Déphasage de l'onde sinusoïdale entre deux instants au même point
Au lieu d'envisager le signal transporté par l'onde au même instant mais en deux points différents, on considère le signal transporté par l'onde au même endroit mais à deux instants différents et , sachant que la phase initiale du signal transporté par l'O.P.H. [5] à l'instant est défini selon «» [6],[14], on en déduit que le signal à l'instant est déphasé par rapport au signal à l'instant considéré au même point de
ce résultat peut se retrouver par des considérations physiques :
si et si la propagation se fait dans le sens des , « le signal à en l'abscisse est identique au signal à en l'abscisse où en notant est la distance parcourue pendant la durée écoulée entre et », le déphasage «» [15] que l'on peut réécrire «»,
si et si la propagation se fait dans le sens des , « le signal à en l'abscisse est identique au signal à en l'abscisse où en notant est la distance parcourue pendant la durée écoulée entre et », le déphasage «» [16] que l'on peut réécrire «».
Étude expérimentale, mesure de la célérité, de la longueur d'onde et du déphasage d'une O.P.H.
Principe de la mesure de la célérité de propagation dans un milieu unidimensionnel, exemple de la détermination expérimentale de la célérité du son dans l'air
Dispositif expérimental pour la mesure de la célérité du son dans l'airEnregistrement permettant de déduire la célérité du son dans l'air
On dispose deux microphones à la distance l'un de l'autre, l'onde sonore utilisée étant créée dans l'alignement de ces deux microphones [17] ; l'onde sonore correspond par exemple à un coup donné sur un socle en bois, le signal capté par le 1er microphone étant envoyé sur la voie d'un oscilloscope numérique et celui capté par le 2ème microphone sur la voie du même oscilloscope numérique voir ci-contre à gauche ;
le signal capté par le 1er microphone étant choisi comme source de déclenchement à l'enregistrement « monocoup » de l'oscilloscope [18], on observe l'enregistrement ci-contre à droite :
la distance étant mesurée avec précision emploi d'un banc gradué et le retard temporel étant également connu avec précision on estime aisément cette dernière par déplacement de curseurs verticaux sur l'oscilloscope [19], on peut évaluer la célérité du son dans l'air par «» [20].
Principe de la mesure de la longueur d'onde d'une O.P.H. dans un milieu unidimensionnel, exemple d'une O.P.H. ultrasonore dans l'air
Dispositif expérimental pour la mesure de la longueur d'onde d'une O.P.H. [5] ultrasonore dans l'air
Un émetteur d'ultrasons étant alimenté par un G.B.F. [21] à une fréquence [22], deux récepteurs sont placés sur un même banc, quasiment dans l'alignement avec l'émetteur, le 1er étant fixe et le 2ème mobile, les signaux reçus par chacun d'eux étant repérés respectivement sur les voies et d'un oscilloscope numérique ; sans réglage préalable sur le récepteur proche du récepteur , on observe a priori un déphasage entre ces deux signaux [23] ; on déplace le récepteur de façon à ce que les signaux soient en phase [24], on repère alors la position du récepteur notée , et on poursuit le déplacement en recherchant les positions correspondant aux signaux en phase jusqu'à une nème position notée ; « la distance s'identifie alors à », ce qui permet d'en déduire la longueur d'onde de l'O.P.H. [5] ultrasonore avec une précision d'autant meilleure que peut être grand ; connaissant la fréquence de l'onde on en déduit la célérité de propagation dans l'air par «».
Principe de la mesure d'un déphasage d'une O.P.H. enregistrée en deux positions distinctes du milieu unidimensionnel, exemple d'une O.P.H. ultrasonore dans l'air
On reprend le montage précédent et, sans effectuer de réglage a priori, les signaux enregistrés sur les voies et de l'oscilloscope sont déphasés bien que le signal reçu par le récepteur soit « mathématiquement » en retard de phase sur le signal reçu par le récepteur , il peut être « physiquement » en retard ou en avance et c'est uniquement ce déphasage que l'on mesure directement en fonctionnement de l'oscilloscope ;
on détermine le décalage « physique » temporel par curseurs de temps [19] et on en déduit l'avance de phase « physique » du signal sur le signal par
↑ Le caractère « linéaire » de la propagation conservation de la forme du signal lors de la propagation est effectivement vérifié sur cette onde et son caractère « non dispersif » célérité de la propagation indépendante de la fréquence n'apparaît pas dans la mesure où la fréquence d'une onde sinusoïdale ne varie pas raison pour laquelle « non dispersive » a été mis entre parenthèses.
↑ 4,04,14,24,3 et 4,4 «» si la propagation est dans le sens des et «» si elle est dans le sens des .
↑ La pulsation « spatiale » est, comme la pulsation temporelle, toujours , elle s'exprime en .
↑ est donc toujours dans le sens de la propagation.
↑ Si la propagation se fait dans le sens des , cette dernière expression pour que le cœfficient de soit , la phase « initiale » c.-à-d. en est alors alors que si la propagation se fait dans le sens des , , la phase « initiale » c.-à-d. en est .
↑ Si la propagation se fait selon les et si c.-à-d. , et par suite le signal en est mathématiquement en « retard de phase » sur le signal en mais non nécessairement physiquement en effet le déphasage physique étant défini à près, nous prenons sa détermination principale c.-à-d. celle dont la valeur absolue du reste est la plus petite lors de la division par , exemple admet pour détermination principale signal en physiquement en avance de phase sur le signal en ; si la propagation se fait selon les et si c.-à-d. , et par suite le signal en est mathématiquement en « avance de phase » sur le signal en mais non nécessairement physiquement même commentaire que ci-dessus.
↑ Avec «» si la propagation se fait dans le sens des et «» si elle se fait dans le sens des .
↑ Avec , «» si la propagation se fait dans le sens des soit et «» si elle se fait dans le sens des soit .
↑ Dans le but d'avoir une forme analogue à «», le cœfficient de la variable temporelle ou spatiale étant la pulsation temporelle ou spatiale .
↑ Dans le cas d'une propagation dans le sens des respectivement , l'O.P.H. est écrite sous la même forme .
↑ On rappelle que le signal est mis sous la forme avec «» d'où «» «»
↑ On rappelle que le signal est mis sous la forme avec «» d'où «» «»
↑ Avec toutefois un léger décalage transversal de façon à ce que le 1er microphone ne fasse pas obstacle à l'onde sonore que doit recevoir le 2ème.
↑ Voir le T.p. intitulé « oscilloscope » associé à la leçon « Signaux physiques (PCSI) ». On choisit un niveau de déclenchement ni trop faible pour éviter qu'un signal parasite ne déclenche l'enregistrement, ni trop intense pour que l'enregistrement ne nécessite de taper très fort sur le socle.
↑ Pour que cette onde soit ultrasonore il faut une fréquence .
↑ Le déphasage serait nul s'il était possible que le récepteur coïncide avec le récepteur , ce qui n'étant pas possible implique un déphasage ; de plus le signal reçu par le récepteur est légèrement atténué relativement au signal reçu par le récepteur .
↑ On peut le vérifier plus aisément en réglant l'oscilloscope en fonctionnement , l'ellipse observée si les signaux ne sont pas en phase, se réduit à un segment de droite de pente positive quand ceux-ci deviennent en phase voir le T.P. intitulé « oscilloscope » associé à la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ 25,0 et 25,1 On rappelle que le signal qui est « physiquement » en avance sur l'autre est celui qui « coupe » l'axe des temps en en 1er sachant que, pour qu'il soit considéré comme « coupant » en en 1er, le décalage temporel doit être inférieur à ; si le signal « coupe » l'axe des temps en en 1er relativement au signal on a d'où le signe «» sinon c'est un signe «».
![{\displaystyle \;s(M,\,t)=A(M)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi (M)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc831a135eaeb8a953aeba2d5986218ee3f4b73)
![{\displaystyle A(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi (x)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752dcac6b6605601c04d2a42285acc3f827eb08b)
![{\displaystyle s(0,\,t-|\tau |)=A_{0}\,\cos \!\left[\omega \left(t-{\dfrac {x}{c}}\right)+\varphi _{0}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c392e9a7c4b02d0431dba0ba4298df7dafb7eaa2)
![{\displaystyle s(0,\,t+|\tau |)=A_{0}\,\cos \!\left[\omega \left(t+{\dfrac {x}{c}}\right)+\varphi _{0}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39fef90aad52b0a0e62f8fae6ec4d58a87eb96cb)
![{\displaystyle A_{0}\,\cos \!\left[\omega \,t\mp {\dfrac {\omega }{c}}\,x+\varphi _{0}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb55153ca7e048499a4eae659968ef0f48d268d9)
![{\displaystyle \;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[\omega \,t\mp k\,x+\varphi _{0}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb7e31cb73472de7e13760d3c00a0eb25364567)
![{\displaystyle \;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi (x)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665a17537bd105dac55fc3f0d4570b0185e19d81)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi (x)\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12a0a028ab663ff965cdb63c534fa5b94e6e594)
![{\displaystyle \;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {t}{T}}+\varphi (x)\right]=A_{0}\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\,t+\varphi (x)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af491f4a6afd06e640505888c1fd858db5049c2f)
![{\displaystyle \;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[\mp k\,x+\psi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87fc958c7a550884336340599ca4c027f03dd82)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[\mp k\,x+\psi (t)\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76fef5298dd395a8b58f9cd062a9b0f51bb2f615)
![{\displaystyle \;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[\mp 2\,\pi \,{\dfrac {x}{\lambda }}+\psi (t)\right]=A_{0}\,\cos \!\left[\mp 2\,\pi \,\sigma \,x+\psi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea60863032a1650a10cd0c963c1a922aa897abb)
![{\displaystyle \;s(x,\,t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{0}\,\cos \!\left[2\,\pi \left({\dfrac {t}{T}}\mp {\dfrac {x}{\lambda }}\right)+\varphi _{0}\right]\\A_{0}\,\cos \!\left[2\,\pi \left(f\,t\mp \sigma \,x\right)+\varphi _{0}\right]\\A_{0}\,\cos \!\left[\omega \,t\mp k\,x+\varphi _{0}\right]\end{array}}\right.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d1245ceeabf6f04850247c6f79ef4c147aa8ab)
![{\displaystyle \;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[\mp k\,x+\psi _{1}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e2be203406bd6e99ea4d68cdd4299634256aa3b)
![{\displaystyle \;s(x,\,t)=\left\lbrace {\begin{array}{l l}A_{0}\,\cos \!\left[k\,x-\psi _{1}(t)\right]\!\!&{\text{si propagation dans le sens des }}x\searrow \\A_{0}\,\cos \!\left[-k\,x+\psi _{1}(t)\right]\!\!&{\text{si propagation dans le sens des }}x\nearrow \end{array}}\right.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cdd3b013d04451e79401f87d9c34f8ab6f3a4ed)
![{\displaystyle \;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[k\,x+\psi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1901c97768ac78714c54590906bc9ed676b5d69e)
![{\displaystyle \;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[-k\,x+\psi (t)\right]=A_{0}\,\cos \!\left[k\,x-\psi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad5848cb6f30f6394562fb19b080fdd3ac46669)
![{\displaystyle \;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[k\,x+\psi (t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa4c148026d6023b07f3be78835c6ff40a6c218)
![{\displaystyle \;x_{0}{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec10cfb35083ffa4d8643a210a7d569bf8f526a3)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle A_{0}\,\cos \!\left[k\,x+\psi (t_{1})\right]=s(x-\delta ,\,t_{0})=A_{0}\,\cos \!\left[k\,(x-\delta )+\psi (t_{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5eed66b2926e2220f49dd6ba0b3c94c5d286a7)
![{\displaystyle \;\left[k\,x+\psi (t_{1})\right]-\left[k\,(x-\delta )+\psi (t_{0})\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce62100198f1e23e2e4253305973373416184dd)
