Similitude/Exercices/Avec des complexes

Avec des complexes
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Exercices no5
Leçon : Similitude

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Utilisation dans les démonstrations
Exo suiv. :Lieux géométriques
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Similitude/Exercices/Avec des complexes
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Exercice 5-1 modifier

Le plan   est muni d'un repère orthonormal direct d'origine  .

  1. Déterminez l'ensemble des points du plan   dont l'affixe   vérifie :
     .
  2. Étudiez la transformation de   qui, au point d'affixe  , fait correspondre le point d'affixe :
     .
  3. En utilisant la transformation précédente, retrouvez le résultat de la question 1.

Exercice 5-2 modifier

Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct  , soient   et   les points d'affixes respectives   et  .

On note   la similitude directe dont l'écriture complexe est :

 .
  1. Déterminez le centre  , l’angle et le rapport de  .
  2. Quelles sont les images par   des points   et   ?
  3. Montrez que  .
  4. Montrez que que   est le pied de la hauteur issue de   dans le triangle   et qu'il appartient aux cercles   et   de diamètres respectifs   et  .
  5. Faites une figure comportant les points  ,   et  , ainsi que les cercles   et   (unité graphique : 1 cm).

Exercice 5-3 modifier

Soit   un complexe de module   et d'argument  . Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

Parmi les similitudes directes de rapport   et d'angle   :

  • celle de centre   transforme   en   ;
  • celle de centre   transforme   en   ;
  • celle de centre   transforme   en   ;
  • celle de centre   transforme   en  .
  1. On note  ,   et   les affixes respectives de  ,   et  . Déterminez   en fonction de  ,   et  .
  2. Montrez que «   est un parallélogramme » équivaut à «   ou   est un parallélogramme »
  3. On suppose que   est un parallélogramme et que  . Déduisez-en que   est un carré.

Exercice 5-4 modifier

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct  , soit   un triangle direct dont le point   est le centre de son cercle circonscrit. On désigne par   le milieu de  ,   celui de   et   celui de   ; les affixes respectives des points  ,  ,  ,  ,   et   sont notées  ,  ,  ,  ,   et  .

 Dans cette question  . L'unité de longueur est le centimètre.

Construisez les triangles   et  .

 Soit   la transformation du plan qui à chaque point d'affixe   associe le point d'affixe :

 .
Quelle est la nature de   ? Donnez ses éléments caractéristiques.

 a)  Montrez que  .

b)  Exprimez   et   en fonction de  ,   et  .

 On pose  ,   et  .

On désigne par  ,   et   les affixes respectives des points  ,   et  .
a)  Démontrez que  ,   et  .
b)  Déduisez-en que   et   sont orthogonaux et que   appartient à la droite  .
c)  Montrez de même que   appartient à la droite   et que   appartient à la droite  .

 Montrez qu'il existe une similitude directe transformant le triangle   en le triangle  .

Précisez les éléments de cette similitude.

 Complétez par les points  ,   et   la figure du .

Exercice 5-5 modifier

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct  , on considère un parallélogramme tel que :  .

On note   le point d'affixe   et   l'image de   par la similitude directe   de centre  , de rapport   et d'angle  .

 Vérifier que   et montrez que le triangle   est rectangle en  . Faites une figure soignée.

 On note   la similitude directe de centre   qui transforme   en  .

Donnez les éléments caractéristiques de  .

 On note   la translation de vecteur  . Montrez que  .

 Montrez que   transforme   en  .

Déduisez-en la nature et les angles du triangle  .

Exercice 5-6 modifier

Dans le plan orienté,   est un carré direct, de côté  .

Soit   la longueur du segment   du rectangle   ( ,  ).

 

 On suppose, uniquement dans cette question et la suivante, qu'il existe une similitude directe   transformant respectivement  ,  ,   et   en  ,  ,   et  .

Montrez que   est égal à   (le nombre d'or).

 a)  Quel est l'angle de la similitude   ?

b)  Montrez que   est une homothétie.
c)  Déduisez des questions précédentes que les segments   et   se coupent au centre   de  .

 On suppose maintenant que  . On choisit comme repère  .

À tout point   d'affixe   on associe le point   d'affixe :
 .
Déterminez la nature de   et précisez ses éléments. Quelles sont les images par   des points  ,  ,   et   ?

Exercice 5-7 modifier

Dans le plan orienté, on considère un triangle rectangle isocèle   tel que  , où   est un réel fixé strictement positif, et  .

On note   le symétrique de   par rapport à   et   le milieu de  . Placez sur une figure les points  .

On désigne par   la similitude directe qui transforme   en   et   en   et l'on se propose de déterminer, par deux méthodes indépendantes, les éléments caractéristiques de  , notamment son centre  .

 Méthode géométrique :

a)  Déterminez le rapport   et l’angle   de la similitude  .
b)  Montrez que   et  .
c)  En déduire la nature du quadrilatère   et la position du point  .

 Utilisation de nombres complexes :

On pose   et l'on considère le repère orthonormal   du plan complexe.
a)  Déterminez les affixes des points  ,   et  .
b)  Déterminez l'écriture complexe de la similitude  . En déduire son rapport, son angle, et l'affixe de  .

Exercice 5-8 modifier

  est un repère orthonormal direct. On note   la droite   et   la droite  .

  et   sont des vecteurs non nuls tels que :

 .

Pour chaque point  , on note   et   les droites qui passent par   et de vecteurs directeurs respectifs   et  .

  coupe   en  ,   coupe   en  .

On note   le point dont les projections orthogonales sur   et   sont respectivement   et  .

Enfin, on note   l'application  .

Le but de l'exercice est de démontrer que   est une similitude.

  1. Démontrez que les coordonnées de   sont :
     
      sont les coordonnées de  .
  2. Exprimez l'affixe   de   en fonction de l’affixe   de  , et déduisez-en que   est une similitude, en précisant ses éléments caractéristiques.