Similitude/Exercices/Avec des complexes
Exercice 5-1 modifier
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct d'origine .
- Déterminez l'ensemble des points du plan dont l'affixe vérifie :
- .
- Étudiez la transformation de qui, au point d'affixe , fait correspondre le point d'affixe :
- .
- En utilisant la transformation précédente, retrouvez le résultat de la question 1.
- donc l'ensemble est le cercle de rayon dont le centre a pour coordonnées .
- Cette transformation est une similitude directe de rapport et d'angle . L'affixe de son centre est .
- L'ensemble de la question 1 est l'image réciproque par du cercle de centre et de rayon . On retrouve le cercle de centre et de rayon .
Exercice 5-2 modifier
Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct , soient et les points d'affixes respectives et .
On note la similitude directe dont l'écriture complexe est :
- .
- Déterminez le centre , l’angle et le rapport de .
- Quelles sont les images par des points et ?
- Montrez que .
- Montrez que que est le pied de la hauteur issue de dans le triangle et qu'il appartient aux cercles et de diamètres respectifs et .
- Faites une figure comportant les points , et , ainsi que les cercles et (unité graphique : 1 cm).
- Le rapport est , l'angle est et a pour affixe .
- et .
- .
- + réciproque du théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle.
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» du modèle. Comment faire ?
Exercice 5-3 modifier
Soit un complexe de module et d'argument . Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.
Parmi les similitudes directes de rapport et d'angle :
- celle de centre transforme en ;
- celle de centre transforme en ;
- celle de centre transforme en ;
- celle de centre transforme en .
- On note , et les affixes respectives de , et . Déterminez en fonction de , et .
- Montrez que « est un parallélogramme » équivaut à « ou est un parallélogramme »
- On suppose que est un parallélogramme et que . Déduisez-en que est un carré.
- En notant de même , , , et les affixes respectives de , , , et , on a :
- .
- En particulier, .
-
- .
- D'après la question 2, est un parallélogramme. C'est même un carré car de plus, . En effet :
- ;
- ;
- .
Exercice 5-4 modifier
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct , soit un triangle direct dont le point est le centre de son cercle circonscrit. On désigne par le milieu de , celui de et celui de ; les affixes respectives des points , , , , et sont notées , , , , et .
1° Dans cette question . L'unité de longueur est le centimètre.
- Construisez les triangles et .
2° Soit la transformation du plan qui à chaque point d'affixe associe le point d'affixe :
- .
- Quelle est la nature de ? Donnez ses éléments caractéristiques.
3° a) Montrez que .
- b) Exprimez et en fonction de , et .
4° On pose , et .
- On désigne par , et les affixes respectives des points , et .
- a) Démontrez que , et .
- b) Déduisez-en que et sont orthogonaux et que appartient à la droite .
- c) Montrez de même que appartient à la droite et que appartient à la droite .
5° Montrez qu'il existe une similitude directe transformant le triangle en le triangle .
- Précisez les éléments de cette similitude.
6° Complétez par les points , et la figure du 1°.
2° est la similitude directe de rapport , d'angle et de centre le point d'affixe .
3° a) .
- b) et s'en déduisent par permutation circulaire, ou se démontrent de même.
4° a) . Les deux autres égalités s'en déduisent par permutation circulaire, ou se démontrent de même.
- b) donc . Par conséquent, appartient à la perpendiculaire à issue de , qui n'est autre que puisque est la médiatrice de .
- c) S'en déduit par permutation circulaire, ou se démontre de même.
5° D'après 4° a), la similitude directe de centre , d'angle et de rapport envoie sur .
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Exercice 5-5 modifier
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct , on considère un parallélogramme tel que : .
On note le point d'affixe et l'image de par la similitude directe de centre , de rapport et d'angle .
1° Vérifier que et montrez que le triangle est rectangle en . Faites une figure soignée.
2° On note la similitude directe de centre qui transforme en .
- Donnez les éléments caractéristiques de .
3° On note la translation de vecteur . Montrez que .
4° Montrez que transforme en .
- Déduisez-en la nature et les angles du triangle .
Notons les affixes des points par les minuscules correspondantes.
1° donc .
- donc donc .
2° donc a pour rapport et pour angle .
3° est une similitude directe de mêmes rapport et angle que , et .
4° donc est semblable à et à : rectangle en avec , et .
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Exercice 5-6 modifier
Dans le plan orienté, est un carré direct, de côté .
Soit la longueur du segment du rectangle ( , ).
1° On suppose, uniquement dans cette question et la suivante, qu'il existe une similitude directe transformant respectivement , , et en , , et .
- Montrez que est égal à (le nombre d'or).
2° a) Quel est l'angle de la similitude ?
- b) Montrez que est une homothétie.
- c) Déduisez des questions précédentes que les segments et se coupent au centre de .
3° On suppose maintenant que . On choisit comme repère .
- À tout point d'affixe on associe le point d'affixe :
- .
- Déterminez la nature de et précisez ses éléments. Quelles sont les images par des points , , et ?
1° Le rapport de similitude est à la fois égal à et à , donc donc (l'autre racine étant négative).
2° a) L'angle de est .
- b) est une similitude directe d'angle donc une homothétie (de rapport négatif).
- c) est une homothétie de centre et de rapport négatif qui envoie sur et sur .
3° est une similitude directe de rapport et d'angle et son centre a pour affixe .
- Elle transforme respectivement , , et en , , et . C'est donc la similitude dont on avait supposé l'existence dans les questions précédentes.
Exercice 5-7 modifier
Dans le plan orienté, on considère un triangle rectangle isocèle tel que , où est un réel fixé strictement positif, et .
On note le symétrique de par rapport à et le milieu de . Placez sur une figure les points .
On désigne par la similitude directe qui transforme en et en et l'on se propose de déterminer, par deux méthodes indépendantes, les éléments caractéristiques de , notamment son centre .
1° Méthode géométrique :
- a) Déterminez le rapport et l’angle de la similitude .
- b) Montrez que et .
- c) En déduire la nature du quadrilatère et la position du point .
2° Utilisation de nombres complexes :
- On pose et l'on considère le repère orthonormal du plan complexe.
- a) Déterminez les affixes des points , et .
- b) Déterminez l'écriture complexe de la similitude . En déduire son rapport, son angle, et l'affixe de .
1° a) et .
- b) donc et .
- c) Puisque et , les deux triangles et sont symétriques par rapport au milieu de leur côté commun . Le quadrilatère est donc un parallélogramme (et même un rectangle, puisqu'il est rectangle en ) et est le symétrique de par rapport à .
2° a) Les affixes de , et sont respectivement , et
- b) avec et , donc et . Le rapport et l'angle sont et , et a pour affixe
Exercice 5-8 modifier
est un repère orthonormal direct. On note la droite et la droite .
et sont des vecteurs non nuls tels que :
- .
Pour chaque point , on note et les droites qui passent par et de vecteurs directeurs respectifs et .
coupe en , coupe en .
On note le point dont les projections orthogonales sur et sont respectivement et .
Enfin, on note l'application .
Le but de l'exercice est de démontrer que est une similitude.
- Démontrez que les coordonnées de sont :
- où sont les coordonnées de .
- Exprimez l'affixe de en fonction de l’affixe de , et déduisez-en que est une similitude, en précisant ses éléments caractéristiques.
- Un point de coordonnées appartient à si et seulement si , donc .
De même, appartient à si et seulement si , donc .
Enfin, et . - donc est la similitude directe de centre , de rapport et d'angle .