a désigne un paramètre réel ≠ 1 et ≠ -1 :
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Mise en routeSommation/Exercices/Mise en route », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
A
=
∑
k
=
0
100
a
k
{\displaystyle A=\sum _{k=0}^{100}a^{k}}
Solution
Avant de regarder les solutions suivantes, il faut connaître la formule suivante, si S est une série numérique, alors sa somme peut se simplifier :
S
:
∑
k
=
p
q
a
k
=
a
p
−
a
q
+
1
1
−
a
{\displaystyle S:\sum _{k=p}^{q}a^{k}={\frac {a^{p}-a^{q+1}}{1-a}}}
A
=
∑
k
=
0
100
a
k
=
1
−
a
101
1
−
a
{\displaystyle A=\sum _{k=0}^{100}a^{k}={\frac {1-a^{101}}{1-a}}}
B
=
∑
k
=
0
100
a
2
k
{\displaystyle B=\sum _{k=0}^{100}a^{2k}}
Solution
B
=
∑
k
=
0
100
(
a
2
)
k
=
1
−
(
a
2
)
101
1
−
a
2
=
1
−
a
202
1
−
a
2
{\displaystyle B=\sum _{k=0}^{100}(a^{2})^{k}={\frac {1-(a^{2})^{101}}{1-a^{2}}}={\frac {1-a^{202}}{1-a^{2}}}}
C
=
∑
k
=
1
100
a
k
{\displaystyle C=\sum _{k=1}^{100}a^{k}}
Solution
C
=
a
1
−
a
100
1
−
a
{\displaystyle C=a{\frac {1-a^{100}}{1-a}}}
D
=
∑
k
=
5
100
a
k
{\displaystyle D=\sum _{k=5}^{100}a^{k}}
Solution
D
=
a
5
−
a
101
1
−
a
=
a
5
1
−
a
96
1
−
a
{\displaystyle D={\frac {a^{5}-a^{101}}{1-a}}=a^{5}{\frac {1-a^{96}}{1-a}}}
E
=
∑
0
≤
2
k
≤
100
a
k
{\displaystyle E=\sum _{0\leq 2k\leq 100}a^{k}}
Solution
Pour mieux comprendre comment calculer cette série, il n’est pas inutile d'écrire les premiers termes. Ici c’est
1
+
a
2
+
a
4
+
⋯
+
a
100
{\displaystyle 1+a^{2}+a^{4}+\cdots +a^{100}}
Les k sont donc pairs ⇔ k = 2n avec n entre 0 et 50.
E
′
=
∑
0
≤
2
n
≤
50
a
2
n
=
∑
n
=
0
50
a
2
n
=
1
−
(
a
2
)
51
1
−
a
2
=
1
−
a
102
1
−
a
2
{\displaystyle E'=\sum _{0\leq 2n\leq 50}a^{2n}=\sum _{n=0}^{50}a^{2n}={\frac {1-(a^{2})^{51}}{1-a^{2}}}={\frac {1-a^{102}}{1-a^{2}}}}
F
=
∑
k
=
1
100
a
3
k
+
2
{\displaystyle F=\sum _{k=1}^{100}a^{3k+2}}
Solution
F
=
∑
k
=
1
100
a
3
k
a
2
=
a
2
∑
k
=
1
100
(
a
3
)
k
=
a
2
a
3
−
a
303
1
−
a
3
{\displaystyle F=\sum _{k=1}^{100}a^{3k}a^{2}=a^{2}\sum _{k=1}^{100}(a^{3})^{k}=a^{2}{\frac {a^{3}-a^{303}}{1-a^{3}}}}
G
=
∑
k
=
1
100
(
a
3
k
+
2
)
{\displaystyle G=\sum _{k=1}^{100}(a^{3k}+2)}
Solution
G
=
∑
k
=
1
100
a
3
k
+
2
∑
k
=
1
100
1
=
a
3
−
a
303
1
−
a
3
+
2
×
(
100
−
1
+
1
)
{\displaystyle G=\sum _{k=1}^{100}a^{3k}+2\sum _{k=1}^{100}1={\frac {a^{3}-a^{303}}{1-a^{3}}}+2\times (100-1+1)}
H
=
∑
k
=
m
n
a
p
k
+
q
{\displaystyle H=\sum _{k=m}^{n}a^{pk+q}}
Solution
H
=
∑
k
=
m
n
a
p
k
+
q
=
a
q
∑
k
=
m
n
a
p
k
=
a
q
(
a
p
m
−
a
p
(
n
+
1
)
1
−
a
p
)
{\displaystyle H=\sum _{k=m}^{n}a^{pk+q}=a^{q}\sum _{k=m}^{n}a^{pk}=a^{q}({\frac {a^{pm}-a^{p(n+1)}}{1-a^{p}}})}
I
=
∑
k
=
m
n
(
a
k
+
b
)
{\displaystyle I=\sum _{k=m}^{n}(ak+b)}
Solution
Cf. Somme des termes d'une suite arithmétique :
I
=
n
−
m
+
1
2
(
a
n
+
b
+
a
m
+
b
)
=
a
(
n
+
m
)
(
n
−
m
+
1
)
2
+
b
(
n
−
m
+
1
)
{\displaystyle I={\frac {n-m+1}{2}}(an+b+am+b)=a{\frac {(n+m)(n-m+1)}{2}}+b(n-m+1)}
J
=
∑
m
≤
k
≤
n
,
k
impair
a
p
k
+
q
{\displaystyle J=\sum _{m\leq k\leq n,\ k{\text{ impair}}}a^{pk+q}}
Solution
J
=
∑
m
≤
2
j
+
1
≤
n
a
p
(
2
j
+
1
)
+
q
=
a
p
+
q
∑
m
−
1
2
≤
j
≤
n
−
1
2
a
2
p
j
=
a
p
+
q
∑
j
=
M
N
a
2
p
j
=
a
p
+
q
a
2
p
M
−
a
2
p
(
N
+
1
)
1
−
a
2
p
{\displaystyle J=\sum _{m\leq 2j+1\leq n}a^{p(2j+1)+q}=a^{p+q}\sum _{{\frac {m-1}{2}}\leq j\leq {\frac {n-1}{2}}}a^{2pj}=a^{p+q}\sum _{j=M}^{N}a^{2pj}=a^{p+q}{\frac {a^{2pM}-a^{2p(N+1)}}{1-a^{2p}}}}
avec
2
p
M
=
{
2
p
m
−
1
2
=
p
(
m
−
1
)
si
m
est impair
2
p
m
2
=
p
m
si
m
est pair
{\displaystyle 2pM={\begin{cases}2p{\frac {m-1}{2}}=p(m-1)&{\text{si }}m{\text{ est impair}}\\2p{\frac {m}{2}}=pm&{\text{si }}m{\text{ est pair}}\end{cases}}}
2
p
(
N
+
1
)
=
{
2
p
(
n
−
1
2
+
1
)
=
p
(
n
+
1
)
si
n
est impair
2
p
(
n
−
2
2
+
1
)
=
p
n
si
n
est pair.
{\displaystyle 2p(N+1)={\begin{cases}2p\left({\frac {n-1}{2}}+1\right)=p(n+1)&{\text{si }}n{\text{ est impair}}\\2p\left({\frac {n-2}{2}}+1\right)=pn&{\text{si }}n{\text{ est pair.}}\end{cases}}}
