Calculer les sommes suivantes où a désigne un paramètre réel ≠ 1 et ≠ -1 :
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Exercice : Mise en routeSommation/Exercices/Mise en route », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercices de base
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A = ∑ k = 0 100 a k {\displaystyle A=\sum _{k=0}^{100}a^{k}}
Solution
Avant de regarder les solutions suivantes, il faut connaître la formule suivante, si S est une série numérique, alors sa somme peut se simplifier :
S : ∑ k = p q a k = a p − a q + 1 1 − a {\displaystyle S:\sum _{k=p}^{q}a^{k}={\frac {a^{p}-a^{q+1}}{1-a}}}
A = ∑ k = 0 100 a k = 1 − a 101 1 − a {\displaystyle A=\sum _{k=0}^{100}a^{k}={\frac {1-a^{101}}{1-a}}}
B = ∑ k = 0 100 a 2 k {\displaystyle B=\sum _{k=0}^{100}a^{2k}}
Solution
B = ∑ k = 0 100 ( a 2 ) k = 1 − ( a 2 ) 101 1 − a 2 = 1 − a 202 1 − a 2 {\displaystyle B=\sum _{k=0}^{100}(a^{2})^{k}={\frac {1-(a^{2})^{101}}{1-a^{2}}}={\frac {1-a^{202}}{1-a^{2}}}}
C = ∑ k = 1 100 a k {\displaystyle C=\sum _{k=1}^{100}a^{k}}
Solution
C = a 1 − a 100 1 − a {\displaystyle C=a{\frac {1-a^{100}}{1-a}}}
D = ∑ k = 5 100 a k {\displaystyle D=\sum _{k=5}^{100}a^{k}}
Solution
D = a 5 − a 101 1 − a = a 5 1 − a 96 1 − a {\displaystyle D={\frac {a^{5}-a^{101}}{1-a}}=a^{5}{\frac {1-a^{96}}{1-a}}}
E = ∑ 0 ≤ 2 k ≤ 100 a k {\displaystyle E=\sum _{0\leq 2k\leq 100}a^{k}}
Solution
Pour mieux comprendre comment calculer cette série, il n’est pas inutile d'écrire les premiers termes. Ici c’est
1 + a 2 + a 4 + ⋯ + a 100 {\displaystyle 1+a^{2}+a^{4}+\cdots +a^{100}}
Les k sont donc pairs ⇔ k = 2n avec n entre 0 et 50.
E ′ = ∑ 0 ≤ 2 n ≤ 50 a 2 n = ∑ n = 0 50 a 2 n = 1 − ( a 2 ) 51 1 − a 2 = 1 − a 102 1 − a 2 {\displaystyle E'=\sum _{0\leq 2n\leq 50}a^{2n}=\sum _{n=0}^{50}a^{2n}={\frac {1-(a^{2})^{51}}{1-a^{2}}}={\frac {1-a^{102}}{1-a^{2}}}}
F = ∑ k = 1 100 a 3 k + 2 {\displaystyle F=\sum _{k=1}^{100}a^{3k+2}}
Solution
F = ∑ k = 1 100 a 3 k a 2 = a 2 ∑ k = 1 100 ( a 3 ) k = a 2 a 3 − a 303 1 − a 3 {\displaystyle F=\sum _{k=1}^{100}a^{3k}a^{2}=a^{2}\sum _{k=1}^{100}(a^{3})^{k}=a^{2}{\frac {a^{3}-a^{303}}{1-a^{3}}}}
G = ∑ k = 1 100 ( a 3 k + 2 ) {\displaystyle G=\sum _{k=1}^{100}(a^{3k}+2)}
Solution
G = ∑ k = 1 100 a 3 k + 2 ∑ k = 1 100 1 = a 3 − a 303 1 − a 3 + 2 × ( 100 − 1 + 1 ) {\displaystyle G=\sum _{k=1}^{100}a^{3k}+2\sum _{k=1}^{100}1={\frac {a^{3}-a^{303}}{1-a^{3}}}+2\times (100-1+1)}
Exercices plus difficiles
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H = ∑ k = m n a p k + q {\displaystyle H=\sum _{k=m}^{n}a^{pk+q}}
Solution
H = ∑ k = m n a p k + q = a q ∑ k = m n a p k = a q ( a p m − a p ( n + 1 ) 1 − a p ) {\displaystyle H=\sum _{k=m}^{n}a^{pk+q}=a^{q}\sum _{k=m}^{n}a^{pk}=a^{q}({\frac {a^{pm}-a^{p(n+1)}}{1-a^{p}}})} .
I = ∑ k = m n ( a k + b ) {\displaystyle I=\sum _{k=m}^{n}(ak+b)}
J = ∑ m ≤ k ≤ n , k impair a p k + q {\displaystyle J=\sum _{m\leq k\leq n,\ k{\text{ impair}}}a^{pk+q}} .
Solution
J = ∑ m ≤ 2 j + 1 ≤ n a p ( 2 j + 1 ) + q = a p + q ∑ m − 1 2 ≤ j ≤ n − 1 2 a 2 p j = a p + q ∑ j = M N a 2 p j = a p + q a 2 p M − a 2 p ( N + 1 ) 1 − a 2 p {\displaystyle J=\sum _{m\leq 2j+1\leq n}a^{p(2j+1)+q}=a^{p+q}\sum _{{\frac {m-1}{2}}\leq j\leq {\frac {n-1}{2}}}a^{2pj}=a^{p+q}\sum _{j=M}^{N}a^{2pj}=a^{p+q}{\frac {a^{2pM}-a^{2p(N+1)}}{1-a^{2p}}}} avec
2 p M = { 2 p m − 1 2 = p ( m − 1 ) si m est impair 2 p m 2 = p m si m est pair {\displaystyle 2pM={\begin{cases}2p{\frac {m-1}{2}}=p(m-1)&{\text{si }}m{\text{ est impair}}\\2p{\frac {m}{2}}=pm&{\text{si }}m{\text{ est pair}}\end{cases}}}
2 p ( N + 1 ) = { 2 p ( n − 1 2 + 1 ) = p ( n + 1 ) si n est impair 2 p ( n − 2 2 + 1 ) = p n si n est pair. {\displaystyle 2p(N+1)={\begin{cases}2p\left({\frac {n-1}{2}}+1\right)=p(n+1)&{\text{si }}n{\text{ est impair}}\\2p\left({\frac {n-2}{2}}+1\right)=pn&{\text{si }}n{\text{ est pair.}}\end{cases}}}