Sommation/Exercices/Calculs élémentaires

Calculs élémentaires
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Exercices no2
Leçon : Sommation
Chapitre du cours : Définition et premiers calculs

Exercices de niveau 14.

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Exercice 2-1Modifier

  1. Montrer que la somme des n premiers nombres impairs est n2.
  2. Soit   un nombre semi-premier impair (c'est-à-dire produit de deux nombres premiers impairs). De combien de façons peut-on écrire   comme somme d'entiers positifs impairs consécutifs ?

Exercice 2-2Modifier

Montrer que  .

Exercice 2-3Modifier

Calculer :

 .

Exercice 2-4Modifier

Calculer par télescopage :

 .

Exercice 2-5Modifier

Démontrer que :

 .

Exercice 2-6Modifier

À l'aide de la formule connue  , on va retrouver celles qui donnent   puis   (cf. chapitre 1, sommation par télescopage).

L'exercice 3-6 présente la même méthode de façon plus efficace.

Question 1.

(a) Recopiez en complétant chaque ligne sur le modèle des deux premières :

 

(b) Sommez ces égalités par colonnes.

(c) Isolez   pour conclure.

Question 2. Calculer   avec la même méthode.

Question 3. Montrer que  .

Exercice 2-7Modifier

Calculer de deux façons différentes :

 .

Exercice 2-8Modifier

Soient n et p deux entiers tels que 0 ≤ p ≤ n et E, un ensemble à n éléments. Soit F l’ensemble des couples (A, B) de sous-ensembles de E disjoints et dont l'union a pour cardinal p.

En dénombrant de deux façons différentes le nombre d'éléments de F, établir la formule :

 

Voir aussi l'exercice 5-1.

Exercice 2-9Modifier

Montrer par récurrence que :

 

Exercice 2-10Modifier

En utilisant un encadrement, calculer :

 

(  étant la fonction partie entière).

Exercice 2-11Modifier

  1. En admettant (cf. Exercice 6-3) que
     ,
    démontrer les formules :
     ,
    où par définition (cf. Combinatoire/Arrangements sans répétition),   (pour  ).
  2. On pose  . Utiliser les formules  ,   et   pour retrouver  ,   et   (voir supra).
  3. Calculer de même  

Exercice 2-12Modifier

Calculer  .

Exercice 2-13Modifier

Soit  .

  1. Calculer  .
  2. Déterminer   tels que  .
  3. En déduire la valeur de  .
  4. Retrouver cette valeur par télescopage.