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→Exercice 1-6 : transfert d'un exo de Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage, hors-sujet là-bas |
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Ligne 168 :
== Exercice 1-6 ==
À l'aide de la formule connue <math>\sum_{k=1}^n k = \tfrac{n(n+1)}2</math>, on va trouver celle qui donne <math>\sum_{k=1}^n k^2</math>.
===Question 1===
====(a)====
Recopiez en complétant chaque ligne sur le modèle des deux premières :
Combien de y a-t-il de lignes ?
{| border="0"
|-----
| <math>(n+1)^3</math>
| <math>-</math>
| <math>n^3</math>
| <math>=</math>
| <math>3n^2</math>
| <math>+</math>
| <math>3n</math>
| <math>+</math>
| <math>1</math>
|-----
| <math>(n)^3</math>
| <math>-</math>
| <math>(n-1)^3</math>
| <math>=</math>
| <math>3(\cdots)^2</math>
| <math>+</math>
| <math>3(\cdots)</math>
| <math>+</math>
| <math>1</math>
|-----
| <math>(n-1)^3</math>
| <math>-</math>
| <math>(n-2)^3</math>
| <math>=</math>
| <math>\cdots</math>
| <math>+</math>
| <math>\cdots</math>
| <math>+</math>
| <math>\cdots</math>
|-----
| <math>\vdots</math>
| <math>-</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>=</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>+</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>+</math>
| <math>\vdots</math>
|-----
| <math>3^3</math>
| <math>-</math>
| <math>2^3</math>
| <math>=</math>
| <math>\cdots</math>
| <math>+</math>
| <math>\cdots</math>
| <math>+</math>
| <math>\cdots</math>
|-----
| <math>2^3</math>
| <math>-</math>
| <math>1^3</math>
| <math>=</math>
| <math>\cdots</math>
| <math>+</math>
| <math>\cdots</math>
| <math>+</math>
| <math>\cdots</math>
|}
{{BDdebut|titre=Solution}}
{| border="0"
|-----
| <math>(n+1)^3</math>
| <math>-</math>
| <math>n^3</math>
| <math>=</math>
| <math>3n^2</math>
| <math>+</math>
| <math>3n</math>
| <math>+</math>
| <math>1</math>
|-----
| <math>(n)^3</math>
| <math>-</math>
| <math>(n-1)^3</math>
| <math>=</math>
| <math>3(n-1)^2</math>
| <math>+</math>
| <math>3(n-1)</math>
| <math>+</math>
| <math>1</math>
|-----
| <math>(n-1)^3</math>
| <math>-</math>
| <math>(n-2)^3</math>
| <math>=</math>
| <math>3(n-2)^2</math>
| <math>+</math>
| <math>3(n-2)</math>
| <math>+</math>
| <math>1</math>
|-----
| <math>\vdots</math>
| <math>-</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>=</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>+</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>+</math>
| <math>\vdots</math>
|-----
| <math>3^3</math>
| <math>-</math>
| <math>2^3</math>
| <math>=</math>
| <math>3 \times 2^2</math>
| <math>+</math>
| <math>3 \times 2</math>
| <math>+</math>
| <math>1</math>
|-----
| <math>2^3</math>
| <math>-</math>
| <math>1^3</math>
| <math>=</math>
| <math>3 \times 1^2</math>
| <math>+</math>
| <math>3 \times 1</math>
| <math>+</math>
| <math>1</math>
|}
Comment vérifier rapidement que la deuxième ligne du tableau donne bien le résultat espéré ? Il faut utiliser l'astuce de calcul suivante :
<math>n^3 = ((n-1)+1)^3</math>, ce qui donne <math>1 \times (n-1)^3 + 3 \times (n-1)^2 + 3 \times (n-1)^1 + 1</math>. Ce sont les coefficients du triangle de Pascal, ou encore du développement de la formule du binôme.
{{BDfin}}
====(b)====
Sommez ces égalités par colonnes.
{{BDdebut|titre=Solution}}
{| border="0"
|-----
| <math>\sum_{k=2}^{n+1} k^3</math>
| <math>-</math>
| <math>\sum_{k=1}^n k^3</math>
| <math>=</math>
| <math>3 \sum_{k=1}^n k^2</math>
| <math>+</math>
| <math>3 \sum_{k=1}^n k</math>
| <math>+</math>
| <math>\sum_{k=1}^n 1</math>
|}
{{BDfin}}
====(c)====
Isolez <math>\sum_{k=1}^n k^2</math> pour conclure.
{{Solution
| contenu =
On remarque que <math>\sum_{k=2}^{n+1} k^3 - \sum_{k=1}^n k^3</math> se simplifie facilement en regardant la question (a). Il ne reste que le premier terme ainsi que le dernier, donc on obtient : <math>(n+1)^3 - 1</math>.
De plus, <math>\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}2</math> et <math>\sum_{k=1}^n 1 = (n-1+1) \times 1 = n</math> donc on obtient :
<math>(n+1)^3 - 1 = 3 \sum_{k=1}^n k^2 + 3 \left( \frac{n(n+1)}2\right) + n</math>,
soit :
<math>\frac13\left((n+1)^3 - 1 - \frac{3n(n+1)}2- n \right)= \sum_{k=1}^n k^2</math>.
Après quelques simplifications élémentaires, on peut conclure que <math>\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6</math>.
}}
===Question 2===
Calculer <math>\sum_{k=1}^n k^3 </math> et <math>\sum_{k=1}^n k^4</math> avec la même méthode.
====(a)====
{{BDdebut|titre=Solution}}
On trouve le tableau suivant :
{| border="0"
|-----
| <math>(n+1)^4</math>
| <math>-</math>
| <math>n^4</math>
| <math>=</math>
| <math>4 n^3</math>
| <math>+</math>
| <math>6 n^2</math>
| <math>+</math>
| <math>4 n</math>
| <math>+</math>
| <math>1</math>
|-----
| <math>n^4</math>
| <math>-</math>
| <math>(n-1)^4</math>
| <math>=</math>
| <math>4(n-1)^3</math>
| <math>+</math>
| <math>6(n-1)^2</math>
| <math>+</math>
| <math>4(n-1)</math>
| <math>+</math>
| <math>1</math>
|-----
| <math>(n-1)^4</math>
| <math>-</math>
| <math>(n-2)^4</math>
| <math>=</math>
| <math>4(n-2)^3</math>
| <math>+</math>
| <math>6(n-2)^2</math>
| <math>+</math>
| <math>4(n-2)</math>
| <math>+</math>
| <math>1</math>
|-----
| <math>\vdots</math>
| <math>-</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>=</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>+</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>+</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>+</math>
| <math>\vdots</math>
|-----
| <math>3^4</math>
| <math>-</math>
| <math>2^4</math>
| <math>=</math>
| <math>4 \times 2^3</math>
| <math>+</math>
| <math>6 \times 2^2</math>
| <math>+</math>
| <math>4 \times 2</math>
| <math>+</math>
| <math>1</math>
|-----
| <math>2^4</math>
| <math>-</math>
| <math>1^4</math>
| <math>=</math>
| <math>4 \times 1^3</math>
| <math>+</math>
| <math>6 \times 1^2</math>
| <math>+</math>
| <math>4 \times 1</math>
| <math>+</math>
| <math>1</math>
|}
{{BDfin}}
====(b)====
{{BDdebut|titre=Solution}}
{| border="0"
|-----
| <math>\sum_{k=2}^{n+1} k^4</math>
| <math>-</math>
| <math>\sum_{k=1}^n k^4</math>
| <math>=</math>
| <math>4 \sum_{k=1}^n k^3</math>
| <math>+</math>
| <math>6 \sum_{k=1}^n k^2</math>
| <math>+</math>
| <math>4 \sum_{k=1}^n k</math>
| <math>+</math>
| <math>\sum_{k=1}^n 1</math>
|}
{{BDfin}}
====(c)====
{{Solution
| contenu =
<math>\sum_{k=2}^{n+1} k^4 - \sum_{k=1}^n k^4 = (n+1)^4 - 1</math>
On vient de trouver la formule pour <math>\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math> donc :
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{4} \left( (n+1)^4 - 1 - (n(n+1)(2n+1) + 2n(n+1) + n) \right)</math>
En factorisant successivement par ''(n+1)'' et ''n'' on trouve la forumule suivante :
<math>\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \left( \sum_{k=1}^{n} k \right)^2</math>
}}
{{Solution|titre=Solution (non détaillée) pour <math>\sum_{k=1}^n k^4</math>
| contenu =
<math>\sum_{k=1}^n k^4 = \frac{1}{30} n(n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n - 1)</math>
}}
===Question 3===
Montrer que :
Ligne 190 ⟶ 488 :
}}
== Exercice 1-7 ==
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