Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage

Exemple de télescopage
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Exercices no1
Leçon : Série numérique
Chapitre du cours : Séries à termes positifs

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Série harmonique
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Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage
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Exercice 1Modifier

Soit   un réel strictement positif. Pour tout entier  , on pose  .

  1. Calculer  .
  2. Donner un équivalent de la suite  .
  3. En déduire que pour tout réel  , la série de Riemann   converge.

Exercice 2Modifier

Pour tout entier  , on pose  .

  1. Montrer que   diverge.
  2. À l'aide du théorème des accroissements finis, démontrer que  .
  3. En déduire que la série   diverge.
  4. En déduire que la série de Bertrand   ( ) diverge si   et  , ou si  .

Exercice 3Modifier

Soit   un réel strictement positif. Pour tout entier  , on pose  .

  1. Calculer  .
  2. À l'aide du théorème des accroissements finis, démontrer que  .
  3. En déduire que pour tout  , la série   converge.
  4. En déduire que la série de Bertrand   converge aussi si   (avec   quelconque, ce qui étend le cas   de l'exercice 1).
  5. Retrouver le résultat de la question précédente en utilisant l'exercice 1.
Remarque
L'étude des séries de Riemann et de Bertrand peut aussi se faire par comparaison série-intégrale.

Exercice 4Modifier

On veut affiner l'équivalent ln(n!) ~ n ln(n). Pour tout entier  , on pose

  et  .
  1. Montrer que la suite   est bien définie et que  .
  2. Montrer que   converge et, par télescopage, en déduire que la suite   converge.
  3. En déduire l'équivalent de De Moivre :
     .
(En fait,   : voir Intégration de Riemann/Devoir/Fonction Gamma et formule de Stirling).

Exercice 5Modifier

Calculer  , où  .

Exercice 6Modifier

On se propose, pour

 ,

de démontrer que

 .
  1. Pour tout  , décomposer la fraction rationnelle   en éléments simples.
  2. En déduire, par double télescopage, la valeur de   en fonction de  .
  3. En déduire que  .
  4. Conclure.

Exercice 7Modifier

Soit  .

  1. Calculer  .
  2. En déduire que la suite   converge si et seulement si la série   converge.
  3. Étudier la série  , pour un réel  .
  4. Étudier la série  , pour   et  .