« Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique » : différence entre les versions

C'est une notion à la fois difficile à définir très proprement et à la fois très intuitive : on se contentera de l'intuition. Un '''ensemble''' est donc une "« collection" » d'objets qu'on appelle ces '''éléments'''. On note <math>x\in E</math> pour signifier que l'élément <math>x</math> appartient à l'ensemble <math>E</math>, et <math>x \notin E</math> pour dire le contraire.

Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux ensembles. On dit que <math>E</math> est inclus dans (où est une partie de , où encore est un sous ensemble de) <math>F</math>, et on note <math>E\subset F</math>, ssi <math>\forall x, \; x\in E \Rightarrow x\in F</math>. On note <math>\mathcal{P}(F)</math> l'l’'''ensemble de ces parties''' <math>E\subset F</math>. AnisiAinsi <math>E\subset F\Leftrightarrow E\in\mathcal{P}(F)</math>. Enfin on note <math>E\subsetneq F</math> pour signifier <math>E\subset F</math> et <math>E\neq F</math>.

Deux ensembles <math>E</math> et <math>F</math> sont égaux et on écrit <math>E=F</math> ssi <math>E\subset F</math> et <math>F\subset E</math>, ''ie.'' qu'ils ont exactement les mêmes éléments.

On a le droit de définir l'ensemble des éléments d'un ensemble <math>E</math> vérifiant un prédicat <math>\mathcal{P}</math>, on le note <math>\{x\in E / \mathcal{P}(x)\}</math>. On parle de définition en '''compréhension'''. Il est crucial de préciser l'ensemble d'origine des éléments <math>x</math>. Sinon on pourrait considérer l'ensemble <math>E:=\{x/x\notin x\}</math> : a-tont-on <math>E\in E</math> ?

Il existe un ensemble qui ne contient aucun élément : en effet on considère un ensemble <math>E</math> quelconque et l'ensemble <math>\emptyset:=\{x\in E / E \neq E \}</math>. De plus <math>\emptyset</math> appartient à tous les ensembleensembles. Un tel autre ensemble <math>E</math> vérifierait alors <math>\emptyset\subset E</math> et <math>E\subset\emptyset</math>, d'où l'égalité. On parle alors de '''l'ensemble vide'''.

EtantÉtant donnés deux objets <math>x</math> et <math>y</math> on peut définir l'ensemble les contenant exactement : il s'agit de la '''paire''' <math>\{x,y\}</math>. Ce procédé s'entend également pour construire des ensembles à plus de deux éléments et on écrit par exemple <math>\mathcal{P}(\{x,y\})=\{\emptyset,\{x\},\{y\},\{x,y\}\}</math>. Lors d'une telle énumération, on dit qu'on définit l'ensemble '''en extension'''. On a par exemple <math>\{a,b\}=\{b,a\}=\{a,b,a\}</math>.

Pour que l'ordre des éléments aïtait une importance on définit le '''couple''' <math>(a,b)</math> par <math>(a,b):=\{a,\{a,b\}\}</math>, on vérifie en effet la

* <math>\Leftarrow</math> est triviale.

* <math>\Rightarrow</math> : Si <math>=\{a,\{a,b\}\}=\{c,\{c,d\}\}</math> montrons que <math>a=c</math> et <math>b=d</math>.<br />

On appelle alors '''produit cartésien''' de deux ensembles <math>E</math> et <math>F</math>, l'ensemble des couples <math>(x,y),\; x\in E,\, y\in F</math>. On le note <math>E\times F</math>, lire "« ''E'' croix ''F"'' ». ceciCeci s'étend pour définir des '''triplets''' <math>(a,b,c)</math>; des quadruplets <math>(a,b,c,d)</math>; des <math>n</math>-uplets <math>(a_1,a_2,\dots,a_n)</math>.

En particulier on définit pour une partie ''A'' d'un ensemble ''E'' son '''complémentaire''' dans ''E'', noté <math>\complement_E A</math> ou <math>A^c</math> s'il n'est pas nécéssairenécessaire de préciser ''E''.

Exercice : Queque dire de <math>A\setminus\emptyset</math> ; <math>\emptyset\setminus A</math>; <math>A\setminus A</math>, pour <math>A\in\mathcal{P}(E)</math> ?

On appelle '''intersection''' de deux parties quelconques ''A'' et ''B'' d'un ensemble ''E'', l'ensemble noté <math>A\cap B:=\{x\in E / x\in A \text{ et } x\in B\}</math>, lire "« ''E'' inter ''F"'' ».

# Faire le lien entre connsecteursconnecteurs logiques/quantificateurs et différence/réunion/intersection. On en déduit facilement la :

Alors <math>(A\cup B) \setminus (A\cap B)</math>=<math>(A\setminus B)\cup (B\setminus A)</math>.<br />

On appelle '''différence symétrique''' de ''A'' et ''B'' cet ensemble qu'on note <math>A\Delta B</math>, il est formé des éléments qui sont ou bien dans ''A'' ou bien dans ''B''.