« Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique » : différence entre les versions
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m →Notion d'ensemble : orthographe - typographie |
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Étant donnés deux objets <math>x</math> et <math>y</math> on peut définir l'ensemble les contenant exactement : il s'agit de la '''paire''' <math>\{x,y\}</math>. Ce procédé s'entend également pour construire des ensembles à plus de deux éléments et on écrit par exemple <math>\mathcal{P}(\{x,y\})=\{\emptyset,\{x\},\{y\},\{x,y\}\}</math>. Lors d'une telle énumération, on dit qu'on définit l'ensemble '''en extension'''. On a par exemple <math>\{a,b\}=\{b,a\}=\{a,b,a\}</math>.
Pour que l'ordre des éléments ait une importance on définit le '''couple''' <math>(a,b)</math> par <math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math>, on vérifie en effet la
{{Théorème|
<math>\forall a,b,c,d, \; (a,b)=(c,d) \Leftrightarrow a=c \text{ et }b=d</math>
}}
Ligne 184 :
{{boîte déroulante|align=left|alignT=center|titre=Preuve|contenu=
* <math>\Leftarrow</math> est triviale.
* <math>\Rightarrow</math> : Si <math>=\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}</math> montrons que <math>a=c</math> et <math>b=d</math>.<br />
On suppose d'abord <math>a=c</math> alors <math>\{a,b\}=\{c,d\}</math> et comme <math>a=c</math>, <math>b=d</math>.<br />
Sinon <math>a\neq c</math>, mais alors <math>\{a\}=\{c,d\}</math> et <math>\{a,b\}=\{c\}</math>. Par suite <math>\{c\}=\{a,b\}=\{c,d,b\}</math> et donc <math>a=b=c=d</math> qui est absurde ici.
}}
Ligne 214 :
{{définition|contenu=
[[Image:Venn-or.svg|200px|left]]
On appelle '''réunion''' de deux parties quelconques ''A'' et ''B'' d'un ensemble ''E'', l'ensemble noté <math>A\cup B:=\{x\in E / x\in A \text{ ou } x\in B\}</math>.
}}
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