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« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions

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{{Exemple|titre=Exemples d'applications uniformément continues|contenu=
{{Wikipédia|Application lipschitzienne}}{{Wikipédia|Condition de Hölder}}
*Toute application '''[[w:Rudolf Lipschitz|lipschitzienne]]''', c'est-à-dire vérifiant, pour une certaine constante <math>k</math> :<center><math>\forall x,y\in E\quad{d'(f(x),f(y))}\le {k\ d(x,y)}</math>,</center>est uniformément continue.
* En effet, plus généralement, toute application '''[[w:Otto Hölder|höldérienne]]''', c'est-à-dire vérifiant, pour un certain <math>a\in\left]0,1\right]</math> et une certaine constante <math>k</math> :<center><math>\forall x,y\in E\quad{d'(f(x),f(y))}\le {k\ {d(x,y)}^a}</math>,</center>est uniformément continue (en choisissant <math>\delta\le(\varepsilon/k)^{1/a}</math>).
*La fonction puissance d'exposant <math>a</math>, pour <math>0<a\le1</math>, est <math>a</math>-höldérienne (cf. [[Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités|cet exercice corrigé]] de la leçon « [[Fonctions d'une variable réelle]] »).
*Pour d'autres exemples et des contre-exemples, voir [[Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme]].
* En particulier, la fonction <math>f:\R_+\to\R,\ x\mapsto\sqrt x</math> est <math>\tfrac12</math>-höldérienne. En effet, [[Fonction racine carrée|on démontre facilement]] la majoration suivante :<center><math>\forall x,y\in\R_+\quad\left|\sqrt x-\sqrt y\right|\le\sqrt{\left|x-y\right|}</math>.</center>
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{{Exemple|titre=Exemple d'application non uniformément continue|contenu=
L'application <math>g:\R\to\R,\ x\mapsto x^2</math> n'est pas uniformément continue. En effet, montrons que :<center><math>\exists\varepsilon>0\quad\forall\delta>0\quad\exists x,y\in\R\quad\left|x-y\right|\le\delta\text{ et }\left|g(x)-g(y)\right|>\varepsilon</math>.</center>Il suffit de choisir <math>\varepsilon=2</math>. Pour tout <math>\delta>0</math>, soit <math>x</math> (resp. <math>y</math>) le réel égal à <math>\frac1{\delta}+\delta</math> (resp. <math>\frac1{\delta}</math>). Alors :<center><math>\left|x-y\right|\le\delta\quad\text{et}\quad\left|g(x)-g(y)\right|=\left(\frac1{\delta^2}+2\delta\frac1{\delta}+\delta^2\right)-\frac1{\delta^2}=2+\delta^2>\varepsilon</math>,</center>ce qui termine la démonstration.
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